高中数学 17《函数的单调性、奇偶性》学案 苏教版必修1

第17课时 函数的单调性．奇偶性的综合问题
【学习目标】
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；
2．熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．
【课前导学】
1．函数单调性．奇偶性的定义；
2．练习：
①设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是 ()π-f >()3f >()2-f ．
②如果奇函数()x f 在区间[]7,3上是增函数且最小值为5，那么它在 []3,7--上是( B )
A. 增函数且最小值为5-
B. 增函数且最大值为5-
C. 减函数且最小值为5-
D. 减函数且最大值为5-
③下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的有 （3） ．
（1）()842+-=x x x f ；（2）()3+=ax x g ；（3）()2
2+-=x x h ．
④若()x f 为()+∞∞-,上的减函数，R a ∈则()12+a f 与()a f 的大小关系是 ．
答案：()
12+a f < ()a f ⑤判断函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0320203222x x x x x x x x f 的奇偶性为 既不是奇函数也不是偶函数 ．
提示：可用图像法．
【课堂活动】
一．建构数学：
1．函数奇偶性的判定方法有几种？
答案：三种；定义法、图像法、等价形式法．
2．与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考？（数与形）
二．应用数学：
例1 已知函数2
()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．
解：∵2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，∴()()f x f x -=恒成立，
即2(2)()(1)()3m x m x --+--+=2(2)(1)3m x m x -+-+恒成立，
∴2(1)0m x -=恒成立，∴10m -=，即1m =．
例2 已知函数53()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f 的值．
分析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得,a b 的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题．
解：方法一：由题意得53(2)(2)(2)(2)8f a b -=-+-+--①
53(2)2228f a b =+⨯+⨯- ②
①＋②得：(2)(2)16f f -+=-；
∵(2)10f -=，∴(2)26f =-．
方法二： 构造函数()()8g x f x =+，
则53()g x x ax bx =++一定是奇函数，
又∵(2)10f -=，∴ (2)18g -=．
因此(2)18g =- 所以(2)818f +=-，即(2)26f =-．
例3 定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0， 求实数m 的取值范围．
解：因为f(m －1)+f(2m －1)>0，所以f(m －1)> －f(2m －1)；
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数，
所以f(m －1)>f(1－2m)，
所以2122122112m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩
，所以21<m <32． 【解后反思】此类问题既要运用函数的奇偶性，又要运用函数的单调性，同时还要优先考虑函数定义域的制约作用．
例4 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=
)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
分析：根据函数单调性的定义，可以设x 1<x 2<0，进而判断：
F(x 1) －F(x 2)= )(11x f －)(12x f =2112()()()()
f x f x f x f x -符号． 解：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则－x 1>－x 2>0，
因为y=f(x)在(0，+)∞上是增函数，且f(x)<0，
所以f(－x 2)<f(－x 1)<0，①
又因为f(x)是奇函数，所以f(－x 2)= －f(x 2)，f(－x 1)=f(x 1)②
由①②得f(x 2)>f(x 1)>0
于是F(x 1) －F(x 2)=
)(11x f －)(12x f 0>， 所以F(x)=)
(1x f 在(－∞，0)上是减函数． 例5 若(),()f x g x 是定义在R 上的函数，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且
21()()1
f x
g x x x +=-+，求()f x 的表达式． 解：由题意得：
221()()11()()1f x g x x x f x g x x x ⎧+=⎪⎪-+⎨⎪-+=⎪++⎩
则22111()()211
f x x x x x =--+++． 三．理解数学
1．下列结论正确的是 （3） ．
(1)偶函数的图象一定与y 轴相交；
(2)奇函数的图象一定过原点；
(3)偶函数的图象若不经过原点，则它与x 轴的交点的个数一定是偶数；
(4)定义在R 上的增函数一定是奇函数．
2．设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y =－| f （x ）|；②y =xf （x 2
）；③y =－f （－x ）；④y = f （x ）－f （－x ）．
中必为奇函数的有____②④ ____．（要求填写正确答案的序号）．
3. 设奇函数f （x ）的定义域为[－5,5] ．若当x ∈[0,5]时, f （x ）的图象如下图,则不等式()0f x <的解是 (2,0)(2,5)- ．
4.定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若
()
122++a a f <()1232+-a a f ,求a 的取值范围
.
【课后提升】
1．已知()y f x =是偶函数，其图象与x 轴共有四个交点，则方程()0f x =的所有实数解的
和是 0 ．
2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f (－x )=f (x )且f (x )在(0，+∞)上，则不等式f (a )<f (b )等价于 |a|<|b| ．
3. 定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=
++，则常数m = ０ ，n = ０ ． 4．已知函数ax 7+6x 5+cx 3+dx +8，且f (－5)= －15，则f (5)= 31 ．
5．函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围．
解： f x ()定义域是()-11，，∴-<-<-<-<⎧⎨⎩111
1112a a ， 即022002<<-<<<<⎧⎨⎩
a a a 或 ∴<<02a ， 又 f a f a ()()1102-+-> ，∴->--f a f a ()()112，
f x ()是奇函数， ∴->--=-f a f a f a ()()()11122，
f x ()在()-11，上是增函数 ，∴->-112a a 即a a 220+-<，
解之得 -<<21a ， 02
01<<∴<<a a
故a 的取值范围是01<<a ．
6．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x y R ，∈，有f x y f x y f x f y ()()()()++-=2且f ()00≠．
（1）求证f ()01=；（2）求证：y f x =()是偶函数．
解（1）令x y ==0，则有20202f f ()[()]=，
f f ()()0001≠∴=，
（2）令x =0，则有f y f y f f y f y ()()()()()+-=⋅=202，
∴-=f y f y ()()这说明f x ()是偶函数．。