新教材高中数学第二章平面解析几何6双曲线及其方程1双曲线的标准方程学案新人教B版选择性

双曲线的标准方程
课标解读课标要求素养要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻
画现实世界和解决实际问题中的作用，
2.了解双曲线的定义、标准方程.
1.数学抽象、逻辑推理——借助试验引入
双曲线的概念并推导出椭圆的方程.
2.数学运算——能根据具体的题目条件
求解双曲线的标准方程并能够应用.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一双曲线的定义
一般地，如果F1,F2是平面内的两个定点，F是一个① 正常数，且2F<|F1F2|，则平面上满足||FF1|−|FF2||=2F的动点F的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1,F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线② 焦距 .
要点二双曲线的标准方程
F轴上的双曲线的标准方程：F2
F2−F2
F2
=1(F>0,F>0)，其中F2=F2−F2 . 此时，
双曲线的焦点为F1(−F,0),F2(F,0) .
F轴上的双曲线的标准方程：③ F2
F2−F2
F2
=1(F>0,F>0)，其中F2=F2−F2 . 此时，
双曲线的焦点为F1(0,−F),F2(0,F) .
自主思考
F(1,0),F(−1,0)，若|FF|−|FF|=2，则点F的轨迹是双曲线吗？
答案：提示不是. 因为|FF|=2=|FF|−|FF|=2，所以F点的轨迹是一条射线.
F2 F2−F2
F2
=1(F>0,F>0)的焦点在F轴上，且，对吗？
答案：提示不对. 双曲线F 2
F2−F2
F2
=1(F>0,F>0)的焦点在F轴上，但是不一定F＞F .
名师点睛
（1）定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支，设F1,F2|FF1|−|FF2|=2F，则点M在右支上；若|FF2|−|FF1|=2F，则点F在左支上.
（2）双曲线定义的双向运用：
①若||FF 1|−|FF 2||=2F (0＜2F＜|F 1F 2|)，则动点F 的轨迹为双曲线； ②若动点M 在双曲线上，则|FF 1|−|FF 2|=2F .
（1）只有当双曲线的两焦点F 1,F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.
（2）标准方程中的两个参数F 和F 确定了双曲线的形状，是双曲线的定形条件，这里F 2=
F 2−F 2，与椭圆中F 2=F 2−F 2相区别，且椭圆中F＞F ,F＞F ，但F ,F 的大小关系
不确定，而双曲线中，F ,F 的大小关系不确定.
互动探究·关键能力 探究点一求双曲线的标准方程
精讲精练
例分别根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）经过点F (3,15
4),F (−
16
3
,5)； （2）F =√6，经过点(-5,2)，焦点在F 轴上.
答案：（1）设双曲线的方程为FF 2+FF 2=1(FF＜0) . ∵F ,F 两点在双曲线上， ∴{9F +
225
16
F =1,
256
9
F +25F =1,解得{F =−1
16,
F =19.
∴所求双曲线的标准方程为F 2
9
−
F 2
16
=1 .
（2）依题意可设双曲线的方程为F 2
F
2
−F 2F
2
=1(F＞0,F＞0)，
则{F 2+F 2=6,25F 2−4
F
2=1,解得{F 2=5,F 2=1.∴所求双曲线的标准方程为F 25−F 2=1 . 解题感悟
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出F ,F 的值. 若焦点位置不确定，可按焦点在F 轴和F 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为FF 2+FF 2=
1(FF <0)，通过解方程组即可确定F ,F 的值，避免了讨论.
迁移应用
1.求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦距为26，且经过点F (0,12)； （2）与双曲线
F 216
−
F 24
=1有公共焦点，且过点(3√2,2) .
答案：（1）∵双曲线经过点F (0,12),∴F (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，则设双曲线的方程为
F 2F 2
−
F 2F 2
=1(F＞0,F＞0)，且F =12 .
又2F =26,∴F =13,∴F 2=F 2−F 2=25 .
∴双曲线的标准方程为F 2144−F 2
25
=1 .
（2）设双曲线的标准方程为F 2
F 2
−F 2F 2
=1(F＞0,F＞0) .由题意，知F =2√5 .
∵双曲线过点(3√2,2),∴
18F 2
−
4F 2
=1 .
又F 2+F 2=(2√5)2,∴F 2=12,F 2=8 .
故双曲线的标准方程为F 2
12
−F 28
=1 .
探究点二双曲线的定义
精讲精练
例如图所示，已知定圆F 1:F 2+F 2+10F +24=0，定圆F 2:F 2+F 2−10F +9=0动圆M 与定圆F 1,F 2都外切，求动圆圆心F 的轨迹方程.
答案：圆F 1:(F +5)2+F 2=1，∴圆心F 1(−5,0)，半径F 1=1 . 圆F 2:(F −5)2+F 2=42，∴圆心F 2(5,0)，半径F 2=4 . 设动圆M 的半径为F ，则有|FF 1|=F +1,|FF 2|=F +4， ∴|FF 2|−|FF 1|=3＜|F 1F 2| .
∴点F 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线的左支，且F =32
,F =5,F 2=F 2−F 2=914
. ∴轨迹方程为4
9F 2−4
91F 2=1(F ≤−3
2) . 解题感悟
（1）求解与双曲线有关的点的轨迹问题常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
（2）求解轨迹为双曲线的问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
迁移应用
1.（2021河北保定第二中学高二期末）圆F的半径为F，F是圆F外一个定点，F是圆上任意一点. 线段FF的垂直平分线F和直线FF相交于点F，当点P在圆上运动时，点F的轨迹是( )
C.椭圆
D.双曲线（一支）
答案：F
解析：连接FF，因为F是线段FF的垂直平分线，所以|FF|=|FF|，因为|FF|−|FF|=F，所以|FF|−|FF|=F＜|FF|，所以点F的轨迹是以点F,F为焦点的双曲线的一支，故选D.
F到定点F1(−4,0)的距离比它到定点F2(4,0)的距离大6，则动点F的轨迹方程是 .
答案：F 2
9−F2
7
=1(F＞0)
解析：由|FF1|−|FF2|=6＜8=|F1F2|知，F点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支.
易知F=3,F=4，所以F2=F2−F2=7，
所以动点F的轨迹方程是F2
9−F2
7
=1(F＞0) .
探究点三双曲线的定义和标准方程的应用精讲精练
例（1）（2021天津南开高二月考）已知方程F 2
m2+F −F2
3 m2−F
=1表示双曲线，且该双曲线两焦
点间的距离为4，则F的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(−1,√3) C.(0,3)D.(0,√3)
（2）（2020湖南衡阳田家炳实验中学高二期中）已知双曲线F 2
4−F2
F2
=1(F＞0)的左、右
焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线的右支于F、F两点，若△FFF1是等腰三角形，且∠F=120∘，则△FFF1的周长为( )
A.16√3
3
+8 B.4(√2−1) C.
4√3
3
+8 D.2(√3−2) （3）（2020
山东聊城一中高二月考）已知双曲线
F 2
9
−F 27
=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，
若双曲线上存在一点F 使得∠F 1FF 2=60∘，则△F 1FF 2的面积为( ) A.
7√33 B.14√3
3
C.7√3
D.14√3 答案：（1）F （2）F （3）F
解析：（1）由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，所以m 2+F +3 m 2−F =4，解得m 2=1，即
F 21+F −F 23−F
=1，因为方程
F 21+F −F 2
3−F
=1表示双曲线，所以{
1+F >0,3−F >0,解得{F >−1,
F <3,
所以
F 的取值范围是(-1,3)，故选A.
（2）由双曲线F 2
4
−F 2F 2
=1(F＞0)可得F =2 . 设|FF 2|=F ,|FF 2|=F . 因为
|FF 1|−|FF 2|=2F =4,|FF 1|−|FF 2|=2F =4，所以|FF 1|=4+F ,|FF 1|=
4+F .
因为△FFF 1是等腰三角形，且∠F =120∘，
所以|FF 1|=|FF |，即4+F =F +F ，所以F =4，所以|FF 1|=8,|FF |=4+F ， 在△FFF 1中，由余弦定理得，|FF 1|2=|FF 1|2+|FF |2−2×|FF 1|×|FF |×cos F ， 即82=(4+F )2+(4+F )2−2(4+F )2×(−1
2)， 所以3(4+F )2=64，解得F =
8√3
3
−4， ∴△FFF 1的周长=|FF |+|FF 1|+|FF 1|=16+2F =8+16√3
3
. （3）∵
F 29
−
F 27
=1，所以F =3,F =√7,F =4，
∵点F 在双曲线上，设|FF 1|=F ,|FF 2|=F ,∴|F −F |=2F =6 ①. ∵∠F 1FF 2=60∘，
∴在△F 1FF 2中，根据余弦定理可得
|F 1F 2|2=|FF 1|2+|FF 2|2−2|FF 1||FF 2|⋅cos 60∘，故64=m 2+F 2−FF ②. 由①②可得FF =28，
∴△F 1FF 2的面积F =1
2|FF 1|⋅|FF 2|⋅sin ∠F 1FF 2=1
2FF ⋅sin 60∘=7√3 . 解题感悟
（1）求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||FF1|−|FF2||=2F；
②利用余弦定理表示出|FF1|,|FF2|,|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|FF1|⋅|FF2|的值；
④利用公式F△FF
1F2=1
2
×|FF1|⋅|FF2|sin∠F1FF2求得面积.
（2）由双曲线的方程求参数的值或取值范围的关键是将方程化为标准方程，找到F,F,F，利用F,F,F的关系即可解决问题.
迁移应用
F2
3
−F2=1的左、右焦点分别为F1,F2,F为双曲线右支上一点，且满足|FF1|2−
|FF2|2=4√15，则△FF1F2的周长为( )
A.2√5
B.2√5+2
C.2√5+4
D.2√3+4
答案：F
解析：由题意可得F=3,F=1，则F=2，
由F为双曲线右支上一点，可得|FF1|−|FF2|=2F=2√3，
因为|FF1|2−|FF2|2=(|FF1|+|FF2|)⋅(|FF1|−|FF2|)=4√15，
所以|FF1|+|FF2|=2√5，则△FF1F2的周长为2√5+2F=2√5+4，故选C.
2.（2021山东济南历城二中高二期中）已知双曲线F 2
2
−F2=1，点F1,F2为其两个焦点，点F为双曲线上一点，若FF1⊥FF2，则△F1FF2的面积是( )
A.4
B.2
C.1
D.1
2
答案：F
解析：由双曲线F 2
2
−F2=1,可知F=√2,F=1,F=√F2+F2=√3，
所以||FF1|−|FF2||=2F=2√2，两边平方可得|FF1|2+|FF2|2−2|FF1|⋅|FF2|=8 .
因为FF1⊥FF2，所以|FF1|2+|FF2|2=4F2=12，
因此可得|FF1|⋅|FF2|=2，所以F△F
1FF2=1
2
|FF1|⋅|FF2|=1 .
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F为双曲线F2−F2
4
=1右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左，右焦点，若|FF2|=4，则|FF1|= ( )
答案：F
2.（2021北京昌平一中高二期中）已知双曲线F 2
F
−F2=1(F＞0)的一个焦点坐标是(2,0)，则F的值为( )
答案：F
3.（2020山东滨州高二期中）已知双曲线F:F2
F2−F2
F2
=1(F＞0,F＞0)的焦距为10，且F
F
=1
2
，
则F的方程为( )
A.F 2
20−F2
5
=1 B.F2
5
−F2
20
=1
C.F 2
80−F2
20
=1 D.F2
20
−F2
80
=1
答案：F
F1,F2分别是双曲线F2−F2
3
=1的两个焦点，F是双曲线上的一点，且3|FF1|=5|FF2|，则△FF1F2的面积等于( )
A.2√2
B.4√3
答案：F
素养演练
数学运算——利用双曲线的定义求最值
F是双曲线F2
4−F2
12
=1的左焦点，定点F(1,4),F是双曲线右支上的动点，则|FF|+|FF|
的最小值为( )
答案：F
解析：审：已知定点F，双曲线的方程及双曲线上的动点F，求|FF|+|FF|的最小值. 联：设双曲线的右焦点为F，作出图形，根据双曲线的定义可得|FF|=|FF|+4，则|FF|+|FF|=4+|FF|+|FF|，利用F、F、F三点共线时，|FF|+|FF|取得最小值即可得解.
解：∵F是双曲线F2
4−F2
12
=1的左焦点∴F=2,F=2√3,F=4,F(−4,0)，
如图，设双曲线的右焦点为F，则F(4,0)，由双曲线的定义可得①|FF|−|FF|=4，则|FF|=|FF|+4，
所以|FF|+|FF|=4+|FF|+|FF|≥4+|FF|=4+√(4−1)2+(0−4)2=4+
5=9，
当且仅当②F、F、F三点共线时，等号成立，因此，|FF|+|FF|的最小值为9. 故答案为C.
思：求解双曲线有关的线段长度和、差的最值时，都可以通过双曲线的定义分析问题，当三点共线时，可得到最值.。