第5章 行程问题

第5章行程问题
教学内容：
基本行程问题
相遇类问题
追及类问题
混合问题及其他
一基本行程问题
典型题型
直接用三量关系求解（已知或易求其中两量）类
例：骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【拓展】A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
往返变速类1：已知往返速度与总时间，求路程
例：小明从甲地到乙地,去时每小时走6千米,回来时每小时走9千米,来回共用5小时,小明来回共走了多少千米?
往返变速类2：已知往返速度，求平均速度
例：汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.
往返变速类3：已知往返总时间、往返速度之差及前一半时间与后一半时间的路程差，求路程
例：一艘轮船,从甲码头到乙码头往返共用去4小时.去时顺水,这样就比返回时逆水每小时多行10千米,因此前2小时比后2小时多行18千米.求甲乙两码头间的距离.
比较法（盈亏）类
例：一从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到，那么摩托车的速度应是多少？
用比例解的基本行程问题（只知道一种量的倍数关系以及另一种量其中一个的数值）
例：姐妹两人骑车从甲地去乙地，妹妹比姐姐早出发10分钟，结果两人同时到达，姐妹两人骑车速度比是5：4，求姐姐甲地去乙地用了多少时间？
【拓展】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们下山的速度是各自上山速度的2倍。

甲到达山顶时乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求山脚到山顶的距离？
A,B,C三两车同时从甲地到乙地，按原来速度A应比B早到10分钟，在他们同时出发20分钟后，因为天降大雨，A的速度下降1/4，C速度下降1/5，B速度不变，结果三车同时到达乙地，问，C车行完全程原定要用多少分钟？
单体周期性改变运动方向的问题
例：有一只小虫以2.5米/分钟速度爬行先向东爬1分钟，然后又向西爬3分钟，再向东爬5分钟，以此类推……，问100分钟小虫位于出发点的什么位置？
不均匀分段变速类1：非往返上下坡问题
例：一段路程分为上坡，平路，下坡三段路，割断路程长之比依次是1：2：3，某人走各段路所用时间之比是4：5：6，已知他上坡的时速为3千米，路程全长50千米。

问此人走完全程用了多少时间？
【拓展】李强从甲地去乙地，去时先骑自行车，途中又换乘汽车，3小时到达乙地；回来时全乘汽车，9/5小时就到达甲地.单乘汽车比既骑自行车又乘骑车少用的时间相当于去时骑自行车时间的3/5.那么李强从甲地到乙地全部骑车需要多少小时？
不均匀分段变速类2：含上下坡的往返问题
例：从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。

车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。

求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？
【拓展】小明上学时有上坡和下坡路，上坡和下坡的路程比为2：3，上坡和下坡的速度比为2：3，上学用了30分钟，问下学用多长时间？
自身或参照物具有长度的单体行程问题（火车过桥）
例：一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？
【拓展】一列火车的车身长800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧道。

火车从车头进入第一个隧道到车尾离开第一个隧道用了2分钟，从车头进入第二个隧道到车尾离开第二个隧道用了3分钟，火车从车头进入第一个隧道到车尾离开第二个隧道共用6分钟。

两座隧道之间相距多少米？
流水中的基本行程问题
例：两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时。

乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？
【拓展】船顺流航行速度是每小时8千米,逆流而上的速度是每时7千米,两船同时从同一地点出发,甲船顺流而下,然后返回,乙船逆流而上,然后返回,经过2时同时回到出发点,这2小时中,有多少时间,甲乙两船航行方向是相同的?
一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。

求水流的速度？
二相遇问题
典型题型
两人两地相向出发的迎面相遇
例1：甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地？
例2：甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。

他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。

求两次相遇地点的距离？
【拓展】甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。

已知甲上午8点经过邮局门口，乙上午10点经过邮局门口，问：甲、乙在中途何时相遇？
两人同地出发来回往返的迎面相遇
例：小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米，30分钟小平到家，然后立即原路返回，在离家350米处遇到了小红，小红每分钟走多少米？
直线上走走停停的相遇问题
例：一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每时比客车少行8千米，货车每行驶3时要停驶1时。

问：两地之间的铁路长多少千米？
【拓展】快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5时相遇。

已知慢车从乙地到甲地用12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间？
封闭路线上的迎面相遇问题
例1：两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B 点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？
例2：正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上的时速为90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米。

已知从CD上的一点P同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B的中点上相遇。

那么如果从PC中点M点同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B上的一点N相遇。

求AN占AB的几分之几？
直线上或封闭路线上周期性改变速度大小或方向的相遇问题
例：一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就调头爬行。

那么，它们相遇时已经爬行的时间是多少秒？
【拓展】（1）AB两地相距125千米，甲乙二人骑自行车分别从AB两地同时出发，相向而行。

丙骑摩托车每小时行63千米。

与甲同时从A地出发，在甲乙二人之间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲车每小时行9千米，且当丙第二次与甲相遇时（出发时为第0次与甲相遇），甲乙二人相距45千米，问当甲乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？
（2）甲乙两辆车在一条长为10千米的环形公路上从同一地点同时反向开出，甲车开出4千米时两车相遇。

如果每次相遇后两车都提速10%，求第三次相遇时甲车离出发点多远？
封闭路线上走不同路线的相遇问题
例：下图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。

甲蚂蚁从A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。

两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？
【拓展】右上图是一个跑道的示意图，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A 到B的直线距离是75米。

甲、乙二人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑，每100米用21秒。

问：乙跑第几圈时第一次与甲相遇？出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？
速度改变导致相遇时间或相遇点变化的问题
例：小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。

若两人按原定速度前进，则4时相遇；若两人各自都比原定速度多1千米／时，则3时相遇。

甲、乙两地相距多少千米？
【拓展】（1）小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？
（2）甲乙二人分别从A,B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。

如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲乙还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲乙还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米，问甲原来的速度是多少？
出发时间变化导致相遇点或相遇时间变化的问题
例：杨平每天早晨按时从家出发步行上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，杨平步行每分行60米，李大爷步行每分行40米，他们每天都准时在途中相遇。

有一天杨平提前出门，因此比平时早9分与李大爷相遇，杨平比平时早出门多少分？
多人相遇问题
例：甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。

求丙车的速度？
单次接送问题（被接人出发时间改变）
例：红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到12分钟.汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时几千米？
【拓展】今天长途班车比往常早到站了.汽车站立即派人骑自行车将随班车的邮件送往邮局，自行车走了半小时，遇到邮局派出取邮件的摩托车，车手接过邮件后，一点也不耽搁掉头就返回邮局，结果比往常早到了20分钟.如果摩托车每天去车站取邮件的出发时间和行驶速度都一样，那么今天长途班车比往常到站时间提前了几分钟？
三追及问题
典型题型
1、两人两地出发的追及问题
例：小明和小丁一起去上学,他们以5千米/时的速度行走,走了18分钟,小明突然想起忘带数学书,于是赶紧
以10千米/时的速度往家跑,小丁仍以原速前进,若取书的时间忽略不计,小明仍以10千米/时的速度追赶小丁,多长时间才能追上?
【拓展】甲乙两车同时从AB两地出发往返于两地之间，经48分钟相遇，相遇后又经12分钟甲被从A地返回的乙追上，甲到达B地时被乙追上几次？
两人同地同向出发来回往返的追及问题
例：甲、乙二人从游泳池50米泳道的同一端同时开始来回往返游泳，已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒。

问多长时间甲第一次从后面追上乙？
队伍追及问题
例：自行车队出发12分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。

自行车队和摩托车每分各行多少千米？？
【拓展】一支解放军队伍全长900米，排尾的通讯员骑摩托车从排尾赶到排头将电报交给排头的首长，然后以原速的1/8回到排尾将命令传达给指挥官，这时队伍共前进了900米，已知队伍匀速前进，当通讯员赶到排头时，解放军队伍已经行走了多少米？这段时间通讯员共走了多少米？
封闭路线上的追及问题
例：在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒，5米/秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶.问16分钟内甲追上乙几次？
【拓展】（1）某校在400米环行跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。

在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。

那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
（2）甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕水池的边沿A，B，C，D，A的方向行走.甲的速度是每分钟50米，乙的速度是每分钟46米则甲、乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？
变速追及问题
例：甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每时行5千米，而乙第1时行1千米，第2时行2千米，以后每时都比前1时多行1千米。

问：经过多长时间乙追上甲？
速度改变导致追及时间或追及点变化的问题
例：大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。

大货车先走1.5时，小轿车出发4时后追上了大货车。

如果小轿车每小时多行5千米，那么出发后3时就可追上大货车。

问：小轿车实际上每时行多少千米？
多人追及问题
例：有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？
【拓展】（1）甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。

问：A，B相距多少米？如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？
（2）快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。

已知快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。

直线上走走停停的追及问题
例：甲、乙两人同时从A地到B地去。

甲骑车每分行250米，每行驶10分后休息20分；乙不间歇地步行，每分行100米。

结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。

问：A，B两地相距多远？
封闭路线上走走停停的追及问题
例：下图是一个边长为100米的正三角形，甲自A点、乙自B点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。

甲每分走120米，乙每分走150米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误10秒。

问：乙出发后多长时间在何处追上甲？
四混合问题及其他
典型题型
两地来回往返的相遇点分析问题（包含迎面和追及）
例：甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。

已知甲车的速度是15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。

求A，B两地的距离？
【拓展】AB两地相距2400米，甲从A地.乙从B地同时出发，在A.B间往返长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在35分钟后停止运动。

甲乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？
甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A、B两地之间.已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都杂途中C地，甲车的速度是乙车的几倍？
流水中的追及与相遇问题
例：一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。

客船和货船分别从甲乙两个码头同时出发向上游行使。

两船的静水速度相同且始终保持不变。

客船出发时有一物品从船上掉入水中，10分钟后此物品距离客船5千米。

客船在行使20千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇。

求水流的速度。

多人复杂的追及相遇
例：在同一路线上有ABCD四个人，每人的速度固定不变。

已知A在12时追上C，14时时与D迎面相遇，16时时与B迎面相遇。

而B在17时时与C迎面相遇，18时追上D，那么D在几时迎面遇到C。

发车间隔问题
例：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车.甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车.则电车总站每隔几分钟开出一辆电车？
【拓展】一条公路上有相距120千米的两个汽车站A和B,一天24小时中每逢整点就有一辆汽车从A站出发开往B站，同时也有一辆汽车从B站出发开往A站，所有汽车的速度都一样。

有一人早上7点钟骑自行车自A站出发沿公路向B站前进。

已知在途中有8辆从A站驶往B站的汽车超过他，还有一辆与他同时到达B站。

如果这个人在中途还遇到14辆从B站驶往A站的汽车，那么骑车的人平均时速最少是多少千米？
时钟问题
例1：现在是3点，问什么时间时针与分针第一次重合？
例2：一时钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？
例3：一时钟的时针与分针长度相等，问24小时内，有多少个时刻时间无法辨认？
【注】钟面的一周分为60格,每格为6°，每个数字间隔为5个格为30°，分针每分钟走一格,为6°，时针每分钟走
12
1格为0.5°，分针速度是时针的12倍。

多次接送问题（到达时间最少）
例：150人要赶到90千米外的某地去执行任务.装备一辆可乘坐50人，时速为70千米的卡车.若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150人全部到达目的地所用的时间最少。

交换交通工具类问题
例：AB 两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。

问有三人并配一辆摩托车从A 地到B 地最少需要多少小时？
自身或参照物具有长度的相遇和追及
例：某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

问：该列车与另一列长320米、速度为64.8千米／时的列车错车而过需要几秒？
分段变速的相遇和追及
例：甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。

他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。

每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的2/3，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度提高了1/5。

已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。

这条椭圆形跑道长多少米？
封闭路线上的多次相遇和追及
例：小明和小强从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。

当他们第一次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向。

小明每秒跑3米，小强每秒跑5米，则两人第99次的相遇点距出发点多少米？
运行图类问题
例：AB 两地均每10分钟发一辆车，全程需要1小时，A 车首发时间是早上6点。

问上午8点半时从B 站发出的车会遇到几辆从A 站发出的车？
扶梯问题（非牛吃草类）
例：自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯的顶部，而女孩走了18级到达顶部.问扶梯露在外面的部分有多少级？
假设法解行程问题
例：一只救生船从港口开到出事地点要行840千米，船速每小时20千米，船上一架直升飞机，每小时可飞行220千米，中途飞机起飞，提前赶到出事地点，这样从船离港口到飞机到达出事地点一共用了10小时，飞机在船离港口后多长时间起飞？
比例解复杂的追及与相遇问题
例：A、B两地相距22.4千米。

有一支游行队伍从A出发向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。

乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有多少千米？
最远到达问题
例：在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆车载运可行驶24天的汽油，现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完全任务后，沿原路返回，为了让甲车尽可能开出更远距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他油给甲车，求甲车能开行的最远距离。

换轮问题（何时交换以及交换方法）
例：有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，可以互换。

轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米。

使用两个新轮胎，这辆自行车最多能行驶千米？行多少千米时交换前后轮？。