2019-2020学年安徽省安庆七年级(下)期末数学试卷(含解析)

2019-2020学年安徽省安庆七年级（下）期末数学试卷1.下列A，B，C，D四幅图案中，能通过平移图案得到的是( )
A. B. C. D.
2.9的平方根是( )
A. 81
B. 3
C. ±3
D. ±√3
3.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5
B. a2⋅a3=a5
C. (a2)3=a5
D. a10÷a2=a5
4.如图，AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=50∘，则∠2的度
数是( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
5.若x>y，则下列式子错误的是( )
A. x−3>y−3
B. −3x>−3y
C. x+3>y+3
D. x
3>y
3
6.细菌非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．某种细菌的半径为
0.00000045米，请将数0.00000045用科学记数法表示为( )
A. 4.5×10−7
B. 4.5×10−6
C. 45×10−6
D. 45×10−5
7.如果分式x2−1
2x+2
的值为0，则x的值是( )
A. 1
B. 0
C. −1
D. ±1
8.已知a+b=−5，ab=−4，则a2−ab+b2=( )
A. 29
B. 37
C. 21
D. 33
9.如图，已知AD//EF//BC，BD//GF，且BD平分∠ADC，
则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
10. 我圆古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所
著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式(a +b)n 的展开式的各项系数，此三角形数陈称为“杨辉三角“，根据此规律，请你写出第22行第3个数是( )
A. 190
B. 210
C. 231
D. 253
11. 8的立方根是______.
12. 因式分解：a 2−4a =______.
13. 若分式方程m x−1+31−x =2的解为正数，则m 的取值范围是______ .
14. 若x ，y 是整数且满足x +y +2xy =25，则x +y =______ .
15. 计算：(−3)2−√273
+(√2020−1)0−√16.
16. 求不等式组{x +2(x −1)≤41+4x 3
>x 的解集，并在数轴上表示解集.
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，将△ABC 向
右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A 1B 1C 1.
(1)在网格中画出三角形A 1B 1C 1.
(2)A 1B 1与AB 的位置关系______ .
(3)三角形A 1B 1C 1的面积为______ .
18. 先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2−1
x+2，其中x =2.
19. 如图，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，垂足分别是D 、
F.∠1=∠2，∠3=100∘，试求∠BAC 的度数.
20.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.
例如：8=32−12，16=53−32，24=72−52，则8、16、24这三个数都是奇特数.
(1)32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)设两个连续奇数是2n−1和2n+1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的
奇特数是8的倍数吗？为什么？
21.我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书
的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．
(1)文学书和科普书的单价各多少钱？
(2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进
一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
22.已知13=1=1
4×12×22，13+23=9=1
4
×22×32，13+23+33=36=
1
4
×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
(1)13+23+33+43+53=______ =1
4
×______ 2×______ 2.
(2)猜想：13+23+33+…+n3=______ .
(3)利用(2)中的结论计算：(写出计算过程)113+123+133+143+153+
163+…+393+403.
23.如图，已知AM//BN，∠A=60∘，点P是射线AM上
一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和
∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
(1)求∠CBD的度数；
(2)当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；
若变化，请找出变化规律；
(3)当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，求此时∠ABC的度数．
答案和解析
【答案】
1. B
2. C
3. B
4. D
5. B
6. A
7. A
8. B
9. D10. B
11. 2
12. a(a−4)
13. m>1且m≠3
14. 25或9或−27或−11
15. 解：(−3)2−√27
3+(√2020−1)0−√16
=9−3+1−4
=3.
16. 解：，
由①得x≤2，
由②得x>−1，
则不等式组的解集为−1<x≤2.
在数轴上表示为：
17. 平行9
2
18. 解：原式=x+2−1
x+2⋅x+2
(x+1)(x−1)
=
x+1
x+2
⋅
x+2
(x+1)(x−1)
=1
x−1
，
当x=2时，原式=1
2−1
=1.
19. 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD//EF，
∴∠1=∠BAD，∠1+∠B=90∘，∠2+∠GDC=90∘，∵∠1=∠2，∠3=100∘，
∴∠CGD=80∘，∠B=∠GDC，
∵∠DGC+∠C+∠GDC=180∘，
∴∠B+∠C=100∘，
∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，
∴∠BAC=180∘−(∠B+∠C)=180∘−100∘=80∘，
故∠BAC的度数为80∘.
20. 解：(1)32是奇特数，32=92−72，
2020不是奇特数；
(2)两个连续奇数是2n−1和2n+1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵(2n+1)2−(2n−1)2
=[(2n+1)+(2n−1)][(2n+1)−(2n−1)]
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n，
∵n为正整数，
∴8n是8的倍数，
即两个连续奇数是2n−1和2n+1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
21. 解：(1)设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本(x+4)元，依题意得：
12000 x+4=8000
x
，
解得：x=8，
经检验x=8是方程的解，并且符合题意．
∴x+4=12.
∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．
②设购进文学书550本后还能购进y本科普书．依题意得550×8+12y≤10000，
解得y≤4662
3
，
∵y为整数，
∴y的最大值为466
∴至多还能购进466本科普书．
22. 225561
4
×n2×(n+1)2
23. 解：(1)∵AM//BN，
∴∠ABN=180∘−∠A=120∘，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=1
2
(∠ABP+∠PBN)=
1
2
∠ABN=60∘.
(2)不变．理由如下：
∵AM//BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=1
2∠PBN=1
2
∠APB，即∠APB：∠ADB=2：1.
(3)∵AM//BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD−∠CBD=∠CBN−∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=1
4
∠ABN=30∘.
【解析】
1. 解：观察图形可知，B图案能通过平移图案得到．
故选B.
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.
2. 解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3，
故选(C)
根据平方根的概念即可求出答案．
本题考查平方根的概念，属于基础题型．
3. 解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a5，正确；
C、应为(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2=a10−2=a8，故本选项错误．
故选：B.
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
4. 【分析】
本题考查平行线的性质，属于基础题．
根据题意，可得∠ABD=2∠ABC=100∘，即可得解．
【解答】
解：∵AB//CD，
∴∠ABC=∠1=50∘，∠ABD+∠BDC=180∘，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=100∘，
∴∠BDC=180∘−∠ABD=80∘，
∴∠2=∠BDC=80∘.
故选D.
5. 解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．
故选：B.
根据不等式的性质在不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键.
6. 解：数0.00000045用科学记数法表示为4.5×10−7，
故选：A.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7. 解：由分式的值为零的条件得x2−1=0，2x+2≠0，
由x2−1=0，得x=±1，
由2x+2≠0，得x≠−1，
综上，得x=1.
故选：A.
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．8. 【分析】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键，把a+b=5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值，原式变形后，把各自的值代入计算即可求出值.
【解答】
解：把a+b=5两边平方得：(a+b)2=a2+b2+2ab=25，
将ab=−4代入得：a2+b2=33，
则a2−ab+b2=33−(−4)=37.
故选B.
9. 解：如图，
∵AD//EF//BC，BD//GF，
∴∠1=∠ADB=∠DBC=∠FGC=∠EFG，∠1=∠EHB，
又∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=∠CFG，
∴图中与∠1相等的角(∠1除外)共有7个，
故选：D.
依据AD//EF//BC，BD//GF，即可得到∠1=∠ADB=∠DBC=∠FGC=∠EFG，∠1=∠EHB，再根据BD平分∠ADC，即可得到∠ADB=∠CDB=∠CFG.
此题主要考查了平行线的性质，此题充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题．
10. 解：观察所给数据可得，第22行第3个数是(a+b)21的第三项系数，
找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2；
(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3；
(a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现(a+b)n的第三项系数为1+2+3+…+(n−2)+(n−1)，
∴(a+b)21第三项系数为1+2+3+…+20=210，
故选：B.
观察所给数据可得，第22行第3个数是a+b)21的第三项系数，找到第三项的系数规律进行求解即可．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
11. 解：8的立方根为2，
故答案为：2.
利用立方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12. 解：原式=a(a−4).
故答案为：a(a−4).
直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13. 解：原方程可变形为：m
x−1−3
x−1
=2，
去分母，得m−3=2x−2，整理，得2x=m−1，
所以x=m−1
2
.
因为方程的解为正数，
所以m−1
2>0且m−1
2
≠1.
解得m>1且m≠3.
故答案为：m>1且m≠3.
先解分式方程，用含m的代数式表示x，再根据方程的解为正数，求出m的范围．
本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式的一般步骤，是解决本题的关键．
14. 解：∵x+y+2xy=25，
∴2x+2y+4xy=50，
∴2x+2y+4xy+1=50+1，
即(2x+1)(2y+1)=51，
∵x，y是整数，
∴2x+1，2y+1是整数，
∵51=1×51=3×17=(−1)×(−51)=(−3)×(−17)，
∴2x+1=1，2y+1=51，
解得x=0，y=25，
则x+y=25；
或2x+1=3，2y+1=17，
解得x=1，y=8，
则x+y=9；
或2x+1=−1，2y+1=−51，
解得x=−1，y=−26，
则x+y=−27；
或2x+1=−3，2y+1=−17，
解得x=−2，y=−9，
则x+y=−11.
综上所述，x+y=25或9或−27或−11.
故答案为：25或9或−27或−11.
根据x+y+2xy=25，可得(2x+1)(2y+1)=51，再根据整数的定义，由51=
1×51=3×17=(−1)×(−51)=(−3)×(−17)进行讨论即可求解．
本题考查了因式分解的应用，本题中根据51=1×51=3×17=(−1)×(−51)= (−3)×(−17)分类讨论是解题的关键．
15. 首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16. 分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分，然后在数轴上表示即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，要分别求出不等式的解
集，再求其公共部分，要明确：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17. 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)由平移的性质知A1B1//AB，
故答案为：平行；
(3)三角形A1B1C1的面积为1
2×3×3=9
2
，
故答案为：9
2
.
(1)分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
(2)根据平移的性质可得；
(3)直接利用三角形的面积公式计算可得．
本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
18. 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 根据平行线的判定与性质可求得∠CGD=80∘，∠B=∠GDC，再结合三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，垂线的定义，平行线的性质等知识的综合运用．20. (1)根据题意，可以判断32和2020这两个数是否为奇特数，然后将是奇特数的数表示出来即可；
(2)先判断，然后根据平方差公式，即可说明理由．
本题考查因式分解的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
21. (1)设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本(x+4)元，根据用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等建立方程求出其解就可以了；
(2)设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书，根据购书总价不超过10000元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列分式方程和列一元一次不等式的运用，分式方程的解法和一元一次方程的解法的运用，解答时找到不相等关系建立不等式是关键．
22. 解：(1)13+23+33+43+53=225=1
4
×52×62
(2)猜想：13+23+33+…+n3=1
4
×n2×(n+1)2
(3)利用(2)中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403.
解：原式=13+23+33+...+393+403−(13+23+33+ (103)
=1
×402×412−
1
×102×112
=672400−3025
=669375
(1)根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果；
(2)根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3=1
4
×n2×(n+1)2；(3)113+123+313+143+153+163+...+393+403转化为13+23+33+ (393)
403−(13+23+33+…+103)后利用总结的规律即可求得答案．
本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键．
23. 本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据角平分线的定义只要证明∠CBD=1
2
∠ABN即可；
(2)不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=1
2
∠PBN；
(3)想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题.。