第二章测量系统的基本特性

①理论拟合；②端点连线平移拟合；③端点连线拟合； ④过零旋转拟合；⑤最小二乘拟合；⑥ 最小包容拟合
直线拟合方法
a)理论拟合
b)过零旋转拟合
c)端点连线拟合 d)端点连线平移拟合
最小二乘法拟合
设拟合直线方程： y=kx+b
若实际校准测试点有n个，则第i 个校准数据与拟合直线上响应 值之间的残差为
y yi
R (2 ~ 3 )/y F S 1% 00
4．灵敏度与灵敏度误差
传感器输出的变化量 y与引起该变化量的输入变化量 x之比即为其静态灵敏度，其表达式为
K=Δy/Δx
可见，传感器输出曲线的斜率就是其灵敏度。对线性 特性的传感器，其特性曲线的斜率处处相同，灵敏度 k是一常数，与输入量大小无关。
n
k
b
xi2 yi xi xiyi n xi2 xi 2
将k和b代入拟合直线方程，即可得到拟合直线，然后 求出残差的最大值Lmax即为非线性误差。
2．迟滞
y
传感器在正(输入量增大)反 （输入量减小）行程中输出
yFS ⊿Hmax
输入曲线不重合称为迟滞。
6．稳定性
稳定性是指传感器在长时间工作的情况下输出量发生 的变化，有时称为长时间工作稳定性或零点漂移。
测试时先将传感器输出调至零点或某一特定点，相隔 4h、8h或一定的工作次数后，再读出输出值，前后两 次输出值之差即为稳定性误差。它可用相对误差表示, 也可用绝对误差表示。
7．温度稳定性
温度稳定性又称为温度漂移，是指传感器在外界温度下 输出量发生的变化。 测试时先将传感器置于一定温度(如20℃),将其输出调 至零点或某一特定点，使温度上升或下降一定的度数 (如5℃或10℃),再读出输出值，前后两次输出值之差即 为温度稳定性误差。
静态特性曲线可实际测试获得。在获得特性曲线之后， 可以说问题已经得到解决。但是为了标定和数据处理 的方便，希望得到线性关系。这时可采用各种方法， 其中也包括硬件或软件补偿，进行线性化处理。
一般来说，这些办法都比较复杂。所以在非线性误差不 太大的情况下，总是采用直线拟合的办法来线性化。
在采用直线拟合线性化时，输出输入的校正曲线与其拟 合曲线之间的最大偏差，就称为非线性误差或线性度
t
温度稳定性误差用温度每变化若干℃的绝对误差或相对 误差表示,每℃引起的传感器误差又称为温度误差系数。
8．抗干扰稳定性
指传感器对外界干扰的抵抗能力，例如抗冲击和振动的 能力、抗潮湿的能力、抗电磁场干扰的能力等。 评价这些能力比较复杂，一般也不易给出数量概念，需 要具体问题具体分析。
9．静态误差
静态误差是指传感器在其全量程内任一点的输出值与其 理论值的偏离程度。
W( j)为一复数，它可用代数形式及指数形式表示，即
W( j) = k1jk2kej K= k12 k22 tank2/k1 式中 k1、k2 —分别为W( j) 的实部和虚部；
k、 —分别为W( j) 的幅值和相角 ；
可见，K值是ω的函数，称为幅频特性，以K(ω)表示。 Φ（ω）为相频特性
1．动态响应（正弦和阶跃）
静态误差的求取方法如下：把全部输出数据与拟合直线 上对应值的残差,看成是随机分布,求出其标准偏差,即
1 n
n1 i1
yi
2
yi—各测试点的残差； n一测试点数。
取2 σ和3 σ值即为传感器的静态误差。静态误差也可用
相对误差来表示，即
3 /yFS 1% 00
H 2 L 2R 2S 2
10、精确度
不同阻尼比情况下相对幅频特性即动态特性与静态灵敏 度之比的曲线如图。
2.4
阻尼比的影响较大。
2.2
2.0
ξ=0
1.8
当ξ→0时，在
1.6 1.4
ξ=0.2
ωτ=1处k(ω)趋近
1.2 1.0
ξ=0ξ.=40.6
0.8 0.6
ξ=1 ξ=0.8
0.4
ξ=0.707
无穷大，这一现 象称之为谐振。 随着ξ的增大，
3．重复性
重复性是指传感器在输入按 同一方向连续多次变动时所 得特性曲线不一致的程度。
y
⊿Rmax2
重复性误差可用正反行程的最
⊿Rmax1
大偏差表示，即
0
R R m/a y F x S1% 0△0 Rmax1正行程的最大重复性偏x 差， △Rmax2反行程的最大重复性偏差。
重复性误差也常用绝对误差表示。检测时也可选取几个测试点， 对 应 每 一 点 多 次 从 同 一 方 向 趋 近 ， 获 得 输 出 值 系 列 yi1 ， yi2 ， yi3，…，yin ，算出最大值与最小值之差或3σ作为重复性偏差ΔRi， 在几个ΔRi中取出最大值ΔRmax 作为重复性误差。
标准输入有三种：
u正弦变化的输入 u阶跃变化的输入 u线性输入
经常使用的是前两种。
1．数学模型与传递函数
分析传感器动态特性，必须建立数学模型。线性系统的 数学模型为一常系数线性微分方程。对线性系统动态特 性的研究，主要是分析数学模型的输入量x与输出量y之 间的关系，通过对微分方程求解，得出动态性能指标。
1 j
时间常数 τ越小， 系统的频率特性越好
幅频特性： W(j)
K
1( )2
相频特性：()arctan)( 负号表示相位滞后
Ø二阶传感器 很多传感器，如振动传感器、压力传感器等属于二阶 传感器，其微分方程为：
m 2 y /d d2 tc/ d d y k t y x (t)
s 2 /ω n 2 s /ω n 1 Y KX
第二章-测量系统的基本特性
一、静态特性技术指标
1．线性度
传感器的输出输入关系或多或少地存在非线性。在不 考虑迟滞、蠕变、不稳定性等因素的情况下，其静态 特性可用下列多项式代数方程表示：
y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 式中：y—输出量； x—输入量； a0—零点输出；
a1—理论灵敏度； a2、a3、 … 、 an—非线性项系数。 各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式。
d n y / dtn ——输出量对时间t的n阶导数；
返回1
dmx/dtm ——输入量对时间t的m阶导数
返回2
动态特性的传递函数在线性或线性化定常系统中是指 初始条件为0时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉 氏变换之比。
当传感器的数学模型初值为0时，对其进行拉氏变换， 即可得出系统的传递函数
Y X((ss))W (s)ba m n ssm n a1 b s1s ab 00
准确度：说明传感器输出值与真值的偏离程度。如,某 流量传感器的准确度为0.3m3/s，表示该传感器的输出 值与真值偏离0.3m3/s。准确度是系统误差大小的标志， 准确度高意味着系统误差小。同样，准确度高不一定 精密度高。
精确度：是精密度与准确度两者的总和，精确度高表示 精密度和准确度都比较高。在最简单的情况下，可取两 者的代数和。机器的常以测量误差的相对值表示。
y=kx+b
0
xI
x
最小二乘拟合法
Δi=yi-(kxi+b)
最小二乘法拟合直线的原理就是使2i 为最小值，即
n
n
2
2 i yi kixb min
i1
i1
2i 对k和b一阶偏导数等于零，求出a和k的表达式
k 2 i2 yiki xb xi0
b 2 i2 yiki xb 1 0
即得到k和b的表达式
通常用相对误差γL表示： γL=±(ΔLmax/yFS)×100%
ΔLmax一最大非线性误差； yFS—量程输出。 非线性偏差的大小是以一定的拟合直线为基准直线而得 出来的。拟合直线不同，非线性误差也不同。所以，选 择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差。 另外，还应考虑使用是否方便，计算是否简便。
（1）正弦输入时的频率响应
Ø零阶传感器
在零阶传感器中，只有a0与b0两个系数，微分方程为
a0y= b0x
y(b0/a0)xKx
K——静态灵敏度
零阶输入系统的输入量无论随时间如何变化，其输出 量总是与输入量成确定的比例关系。在时间上也不滞 后，幅角等于零。如电位器传感器。在实际应用中， 许多高阶系统在变化缓慢、频率不高时，都可以近似 地当作零阶系统处理。
（a）准确度高而精密度低 （b）准确度低而精密度高 （c）精确度高
在测量中我们希望得到精确度高的结果。
二、传感器的动态特性
动态特性指传感器对随时间变化的输入量的响应特性。
被测量随时间变化的形式可能是各种各样的，只要输 入量是时间的函数，则其输出量也将是时间的函数。 通常研究动态特性是根据标准输入特性来考虑传感器 的响应特性。
与精确度有关指标：精密度、准确度和精确度(精度)
精密度：说明测量传感器输出值的分散性，即对某一 稳定的被测量，由同一个测量者，用同一个传感器， 在相当短的时间内连续重复测量多次，其测量结果的 分散程度。例如，某测温传感器的精密度为0.5℃。 精密度是随即误差大小的标志，精密度高，意味着随 机误差小。注意：精密度高不一定准确度高。
Y(s)——传感器输出量的拉氏变换式； X(s)——传感器输入量的拉氏变换式
上式分母是传感器的特征多项式，决定系统的“阶”数。 可见，对一定常系统，当系统微分方程已知，只要把方 程式中各阶导数用相应的s变量替换，即求出传感器的 传递函数。
正弦输入下传感器的动态特性（即频率特性）由传 递函数导出
Y X ((jj ))H (j)b a m n ((j j )) m n a 1 b (1(j j )) a b 00
-150° -180°
ξ=0.ξ4=0 ξ=0.2
ξ=0.707 ξ=0.6
(b)
二阶传感器幅频与相频特性 （a）幅频特性（b）相频特性
（2）阶跃输入时的阶跃响应
Ø一阶传感器的阶跃响应
x
对一阶系统的传感器，设在t=0时，
1
x和y 均为0，当t>0时，有一单位阶
跃信号输入,如图。此时微分方程为
0
(dy/dt)+a0y= b1(dx/dt)+b0x
迟滞特性如图所示，它一般
是由实验方法测得。迟滞误 差一般以满量程输出的百分
0
x
迟滞特性
数表示,即 H 1 /2 H m /y a F x S 1% 00
式中△ Hmax—正反行程间输出的最大差值。
迟滞误差的另一名称叫回程误差。回程误差常用 绝对误差表示。检测回程误差时，可选择几个测试点。 对应于每一输入信号，传感器正行程及反行程中输出 信号差值的最大者即为回程误差。
由于某种原因，会引起灵敏度变化，产生灵敏度误差。 灵敏度误差用相对误差表示，即
γs=(Δk/k)×100%
5．分辨力与阈值
分辨力是指传感器能检测到的最小的输入增量。有些传 感器,当输入量连续变化时,输出量只作阶梯变化,则分辨 力就是输出量的每个“阶梯”所代表的输入量的大小。
分辨力用绝对值表示,用与满量程的百分数表示时称为 分辨率。在传感器输入零点附近的分辨力称为阈值。
对于线性定常（时间不变）系统，其数学模型为高阶 常系数线性微分方程，即
a n d n y / d n t a 1 d / d a y 0 y t b m d m x / d m t b 1 d / d b x 1 x
y——输出量； x——输入量；
t——时间
a0， a1，… ，an ——常数； b0， b1，… ，bm ——常数
ωn—固有角频率，ωn k/m ；ξ—阻尼比，c/2km
K—静态灵敏度，K=1/k，τ=1/ωn 时间常数
传递函数 H j K / ( s / ω n ) 2 2 s / ω n 1
频率特性 W j k /1 2 2 2 j
幅频特性 k()k/ (122)2(2)2
相频特性 () ar 2 c / 1 ( t 2 2 a ) n
Ø一阶传感器
微分方程除系数a1， a0 ，b0外其他系数均为0，则
a1(dy/dt)+a0y= b0x
a1 dy y b0 x
a0 dt
a0
dy y Kx
dt
τ—时间常数( τ= a1/a0)；K——静态灵敏度( K= b0/a0) 传递函数： W(s) K 1s
频率特性： W(j) K
0.2
谐振现象逐渐不
0
0.5
1
1.5
2
(a)
2.5
ωτ 明显。当ξ≥0.707
0 -30°
0.5
1
1.5
2
ξ=0 ξ=0.2 ξ=0.4
2.5 ωτ 时，不再出现谐 振，这时k(ω)将
-60° ξ=0.707 -90° ξ=0.8
-120°
ξ=1
ξ=0.6
ξ=0.8 ξ=1
随着ωτ的增大而 单调下降。