数学中的“特殊与一般”思想方法

A
B
C
D 数学中的“特殊与一般”思想方法
在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。

在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。

由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。

所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。

由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。

在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。

高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。

一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立
辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。

相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。

解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。

例1．（2005年北京春季高考题）若不等式n
n
n a 1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A ),2[23-
B ),2(23-
C ),3[23-
D ),3(23
-
解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n
，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成
立，应有2≤-a ，即2-≥a ；
当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又23121
12,≥-≤n
n ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成
立，应有23<a 。

综合得，答案为（A ）。

点评：本题所给的不等式对于n 为正奇数和n 为正偶数来说差异较大，所以需要对两种特殊情况进行分类讨论。

这两种情形相对于正整数n 是两个个体，回到整体后，使不等式恒成立的a 必须对两个个体都成立。

例2（2004年湖北高考题）已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：c a b a ⋅=⋅，则乙,:c b =（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：若c b =，则必有c a b a ⋅=⋅；现在，取)1,0(),0,1(),1,1(===c b a ，则c a b a ⋅=⋅=1，但
c b ≠。

由此可见，甲是乙的必要条件但不是充分条件，选（B ）。

点评：在本题中⇒=c b c a b a ⋅=⋅，这对于使c b =的每一个个体也就是整体都成立；而当
c a b a ⋅=⋅成立时，存在特殊的个体使得c b =不成立。

命题对整体成立有理论依据，对整体不成立有个
体不成立的反例，它们分别是数学的论证和反驳。

例3．设有四面体ABCD （如图），试证明：必存在一个顶点，
它出发的三条棱可组成一个三角形。

解析：设AB 为最大棱（极端化），可证A 、B 两点中至少有一点为所求。

反之，则有AB ≥AC+AD ，AB ≥BC+BD,
相加得，2AB ≥AC+AD+BC+BD>2AB （矛盾），所以，命题得证。

例4．（2007年福建高考题）已知对任意实数x ，有
()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ()0()0f x g x ''>>，
B ()0()0f x g x ''><，
C ()0()0f x g x ''<>，
D ()0()0f x g x ''<<，
解析：由()()()()f x f x g x g x -=--=，可得f(x)是R 上的奇函数，g(x) 是R 上的偶函数，又由已知“0x >时，()0()0f x g x ''>>，”得奇函数f(x)在),0(+∞上单调递增，偶函数g(x) 在),0(+∞上也单调递增。

于是f(x)在)0,(-∞上单调递增，g(x) 在)0,(-∞上单调递减，即0x <时
()0()0f x g x ''><，，选（B ）。

点评：本题作为选择题也可用特殊化方法。

由条件得f(x)是R 上的奇函数，g(x) 是R 上的偶函数，
设f(x)=x,g(x)=x 2
，则x x g x f 2)(,1)(='='，从而易得结果是（B ）。

练习1.（2007年安徽高考题）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期 若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
A 0
B 1
C 3
D 5
提示：注意到f(0)=0这一特殊结论，则0)()()()()0(22==-==-=T
T f f T f T f f 。

二．将特殊问题放到更一般性的大背景下研究
将特殊问题放到更一般性的大背景下研究，称为“一般化思想方法”，即数学解题中的“以退为进”策略。

它具有很强的辩证性，是通过解决比原命题更为一般的命题以最终求得原命题的解决。

用一句名言来概括，就是“退一步海阔天空”。

例5．求证：1999
1000!1999<
解析：这是一道由具体数表示的不等式，因其牵涉到的数较大而变得很可憎。

我们不妨转而研究更
为一般的一个问题：求证当n ≥2,n ∈N 时n
n n )(!2
1
+<。

事实上，根据基本不等式， n
n n n
n n n )()(21!2121++⋅⋅⋅++=<⨯⋅⋅⋅⨯⨯=成立，从而命题得证。

（令n=1999） 例6．若a 、b 、c 、d 、e ≥1,证明16(abcde+1)≥(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e)。

解析：直接展开右式很麻烦。

设法构造一个更为一般的辅助问题：设a i ≥1(i=1,2,…,n), 证明)1()1)(1()(2
21211
n n n a a a a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅-。

该辅助问题很容易用数学归纳法证明。

而n=5
的情形即为本题结论。

例7．一个阶梯共12级台阶，某人从下而上，每次只许跨一级台阶或两级台阶，问一共有多少种不同的走法？
解析：问一个更一般性的问题：假设是共n 级台阶又如何呢？当然还是从特殊情形开始考虑。

当n=1时，只有1种走法，记为F 1=1；当n=2时，有2种走法，记为F 2=2；当n=3时，有3种走法，这3种走法是怎样实现的呢？可以由第一级台阶跨两级而得，也可以由第二级台阶跨一级而得，因此
F 3=F 1+F 2=1+2=3；…以此类推，)3(12≥+=--n F F F n n n 。

数列{}n F 就是著名的费波拉契数列，依次写出前12项：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

第12项233即为所求结果。

例8．（2004年江苏高考调研测试（A 卷）第12题）已知A 、B 是抛物线y 2
=2x 上异于点P （2，2）的两个动点，若0=•PB PA ，则直线AB 必过定点（ ）
A （3，-2）
B （3，2）
C （4，2）
D （4，-2）
解析：将本题一般化就成了研究：若抛物线y 2
=2px(p>0)的内接直角三角形PAB 的直角顶点为定点P （x 0,y 0），则其斜边AB 所在的直线恒过定点。

如图，设A （x 1,y 1）, B(x 2,y 2) ，则y 12=2px 1 ，y 22
=2px 2 ，
∴K AB =
2
12
1212y y p x x y y +--=
，而
p
y y p
y y p
y y x x 24)(42212
21222121-
=
=
+++，
故AB 中点为（
224)(2
1212
21,y y p
y y p y y ++-） ∴AB 方程为][24)
(22
2
12
212
121p
y y p
y y y y p y y x y +-=
-
+++
即0)(22121=++-y y y y y px …………① ∵AP ⊥BP ，∴1)
)((402012
-==
++y y y y p BP AP K K ，∴2
0210221)(4y y y y p y y -+--=，
代入①得，AB 方程为0))(()2(20210=++---y y y y p x x p ，
因此直线AB 恒过定点（x 0+2p,-y 0）。

以上这种思路将（y 1+y 2）作为一个整体，较为简捷。

令x 0=2,y 0=2,p=1,易得本题中直线AB 必过定点（4，-2），故选（D ）。

点评：事实上以上结论还可以更一般化：若抛物线y 2=2px(p>0)的内接三角形PAB 顶点P 为定点，两边PA 、PB 所在直线的斜率之积为定值，则其另一边AB 所在的直线恒过定点。

设P （x 0,y 0），A
（x 1,y 1）, B(x 2,y 2)，m K K BP AP =（定值），则类似可证明直线AB 恒过定点),(020y x m
p --
，证明略。

若令m=-1就是上面的结论。

练习2.设11
)(+-=x x x f ，记f)n ]}()([{)(个共⋅⋅⋅⋅⋅⋅=x f f f x f n ，则=)(2008x f ______。

提示：探究一般性规律。

1
1
1)(+-=
x x x f ，x x f x f x f x x x =-=-=-+)(,)(,)(411
312，)()(15x f x f =，
)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，可见)}({x f n 是以4为周期的序列，所以
=)(2008x f x x f =)(4。

故结论为填x 。

三．特殊探路，结合演绎推理而得一般结论
由特殊探路，而解决一般性问题，让合情推理与演绎推理协同作战，使解题过程层次分明，显得非常优美，提高了数学思维的流畅性。

这也是数学中的“特殊与一般”思想方法的重要体现。

例9．如果函数f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线8π-=x 对称，那么实数a=_____。

解析：f(x) 的图象关于直线8π-=x 对称，则满足)()(4x f x f --=π，令x=0得，0+a=-1+0，故
a=-1。

要验证a=-1是否符合题意，只要将a=-1代入原函数得f(x)=sin2x-cos2x=)2sin(24π-x ，图象确实关于直线8π-=x 对称，这样a=-1就是结论。

点评：由特殊情形得到的结果a=-1只能作为题目的必要条件，要看它是否同时是充分条件，需要进行检验，研究它是不是一般性结论。

本题解法是特殊与一般思想的典型应用。

例10．（2000年 全 国 高 考 题） 设｛a n ｝是首项为1的正项数列，且
),3,2,1(0)1(12
21 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是 。

解析：把等式看作递推关系式。

由 =1a 1得=2a 21，=3a 31， =4a 41，猜想：n
a n 1
=？若将条件变形为0])1)[(()(1112
1221=-++=++-+++++n n n n n n n n n na a n a a a a a a a n ，这样n n na a n =++1)1(，即
｛n na ｝是常数数列，∴1)1(--=n n a n na ……=1·a 1=1，∴n
a n 1
=，从而猜想成立。

例11．求质数p ，使p+10与p+14仍为质数。

解析：先取若干质数作试验：
p=2时，p+10=12，p+14=16，不合； p=3时，p+10=13，p+14=17，合； p=5时，p+10=15，p+14=19，不合； p=7时，p+10=17，p+14=21，不合； p=11时，p+10=21，p+14=25，不合； p=13时，p+10=23，p+14=27，不合。

归纳猜想：仅p=3为所求质数。

下面用演绎法来给予证明：
若p=3k+1(+∈N k ),则p+14=3k+15=3(k+5)为合数；
若p=3k+2(+∈N k ),则p+10=3k+12=3(k+4)也为合数。

因此，仅当p=3k 有可能使p+10与p+14仍为质数。

但3k 中只有一个质数——3， 所以，所求质数p=3 。

点评：本题是合情推理与演绎推理协同作战的一个范例。

先根据对特殊事例的研究，发现规律，归纳猜想一般性结论。

但所猜结论的正确性又需要经由演绎推理给予严格意义上的证明。

例12．等比数列{}n a 的首项为1，公比为2。

问是否存在一个等差数列{}n b ，使得等式
n n n n n n na C b C b C b =+⋅⋅⋅++2211对于任意正整数n 都成立？若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存
在，说明理由。

解析：1
2-=n n a 。

要研究是否存在这样的一个等差数列{}n b ，有一种思路是假设存在，设d n b b n )1(1-+=，代入等式122112-=+⋅⋅⋅++n n n n n n
n C b C b C b ，利用恒等变形求出b 1和d 。

但这种思路实施起来有相当的难度。

更合理的做法可以是这样：令n=1则b 1=1，令n=2则b 2=2，因此如果等差数
列{}n b 存在的话只能是n b n =。

那么，n b n =究竟符合还是不符合题意呢？就是看
n n n n C n C C ⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯2121是否恒等于1
2-n n 。

令S=n n n n C n C C ⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯2121，利用倒序相加
S=1101)1(-⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯n n n n C C n C n ，从而n n n n n n C C C n S 2)(210=+⋅⋅⋅++=，故1
2-=n n S 。

这样得
到，存在一个等差数列{}n b 符合题意，n b n =。

例13．已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：①当x 1,x 2是定义域中的数时，有)
()(1)()(211221)(x f x f x f x f x x f -+=
- ；②f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数)；③当0<x<2a 时，f(x)<0 。

试问：（1）f(x)的奇偶性如何？说明理由；（2）f(x)的单调性如何？说明理由。

解析：由题设知f(x)是y=-cotx 的抽象函数，从而由y= -cotx 及题设条件猜想：f(x)是奇函数且在(0,2a)上是增函数(这里把a 看作4π进行猜想)。

解：（1）∵f(x)的定义域关于原点对称，且)
()(1)()(211221)(x f x f x f x f x x f -+=-，
∴)()()]([21)
()(1
)()(12211221x x f x x f x x f x f x f x f x f --=-
=-=---+ ，
令x 1-x 2=x ，则有f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数。

（2）设0<x 1<x 2<2a ，则0<x 2-x 1<2a ， ∵在(0,2a)上有f(x)<0，
∴f(x 1)、f(x 2)、f(x 2-x 1) 均小于0，从而由条件)
()(1)()(211221)(x f x f x f x f x x f -+=
-得f(x 1)-f(x 2)<0，于是
f(x 1)<f(x 2)，∴在(0,2a)上f(x)是增函数。

例14．（2000年北京•安徽春季高考题）如图，点A 和B 为抛物线y 2=4x 上原点O 以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解析：动点M 随着A 、B 的运动而动，使其轨迹变得不易捉摸。

有什么特殊性呢？如果探求出动直线AB 过定点，则问题迎刃而解。

解：设AB 方程为x=my+a （a ≠0），代入y 2=4x 得y 2－4my －4a=0
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），⎩⎨
⎧-==+a y y m
y y 442
121，
∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即))((21a my a my +++y 1y 2=0 ，
∴—4a+a 2=0，即a=4，也就是直线AB 恒过定点P （4，0）。

设M （x ，y ），∵OM ⊥AB ，∴M 轨迹为以OP 为直径的圆（去掉原点）。

∴M 轨迹方程为4)2(2
2
=+-y x （x ≠0）。

例15．已知x,y 是正数，y x y y
x x y x y y
x x b a +++++=
+=2222,，试问：是否存在常数c ，使不等式a ≤c
≤b 对任意正数x,y 都成立？
解析：取x=y=1，得a=b=32，下面证明对任意正数x,y 有y x y y
x x
y
x y
y x x
+++++≤
≤+
223222，
而 23
222)(0)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y x y y x x y x y y x x
-≤⇔++≤+++⇔≤+
++ 2223
2)(20)2(3)2(3)2)(2(2y x y x y y x x y x y x y x y y
x x
-≤⇔+++≤++⇔+≤
++
所以，该不等式成立。

因此，存在常数c=32使a ≤c ≤b 对任意正数x,y 都成立。

点评：该题退到令人担心的特殊情形取x=y=1，这是因为这样能够把常数c 找出来，题目的解答过程充分反映了特殊与一般思想的魅力。

之所以取x=y ，因为观察发现当x=y 时a=b ，而取它们都等于1就比较自然了。

从一般退到特殊前，首先要对所解问题进行观察，然后再确定解题方案，这对洞察力提出了要求。

事实上解数学题离开观察是寸步难行的。

练习3.是否存在常数a 、b 、c ，使得)()1(3221212
)1(2
22c bn an n n n n ++=
++⋅⋅⋅+⋅+⋅+对于一切正
整数n 都成立？证明你的结论。

提示：先特殊探路，令n=1、2、3代入等式，得⎪⎩⎪
⎨⎧===⇒⎪⎩
⎪⎨⎧++=++=++=10
1133970)24(22)(42
161c b a c b a c b a c b a ，然后用数学归纳法证明对一切正整数n ，)10113()1(3221212
)1(2
22++=
++⋅⋅⋅+⋅+⋅+n n n n n n 都成立。

从而
a=3,b=11,c=10 。