平面几何法在求解圆锥曲线问题中的妙用

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B
P A
M
平面几何法在求解圆锥曲线问题中的妙用
代 银
(淮南市第三中学, 安徽 232001)
圆锥曲线问题是平面解析几何问题的重要组成部分，坐标法是求解圆锥曲线问题的最常用也是最基本的方法，但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解，往往要用到繁琐的推理和计算.若是能利用圆锥曲线本身的定义、几何性质，结合平面几何知识另辟蹊径，往往事半功倍、别样精彩.笔者在此给出几例，以求与大家共同探究此法的巧妙运用.
一、例题展示 抛砖引玉
例1. 已知点P(3,4)为圆C:2249x y +=内一点,圆周上有两个动点,A B 恒有0PA PB =求弦AB 中点M 的轨迹方程.
解：如图1，设(,)M x y ,连结OM ,则有OM AB ⊥.
∵0PA PB =,∴APB ∠=90°. 在RT APB 中,1
2
PM AB BM =
= 而2
2
2
BM OB OM =- ∴2
2
2
PM OB OM =-
即2222(3)(4)49()x y x y -+-=-+
∴方程2234120x y x y +---=为所求轨迹方程.
注：本题知识的考查是以圆和直角三角形为背景，求解中充分利用了直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”和圆的“垂径定理”等几何性质，经过推理便捷地找到了“求轨迹方程”最关键的一步---“寻找等量关系”，使得问题迎刃而解.
图 1
x
y
例2.（2001年广东、河南）已知椭圆2
212
x y +=的右准线l 与x 轴相交于点E ，
过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且//BC x 轴.
求证：直线AC 经过线段EF 的中点. 证明：如图2，记直线AC 与x 轴的交点 为点N ，过点A 作AD l ⊥，点D
因为点F 是椭圆的右焦点，直线l 是右准线，//BC x 轴，即BC l ⊥,得
AF BF e AD
BC
=
=（e ////AD FE BC ,
EN CN BF AD
CA
AB
∴
=
=
,
FN AF BC
AB =
,
即AD BF AD BC AF BC EN e FN AB
AB
AB
⋅⋅⋅=
=⋅
=
=
∴ N 为EF 的中点，即直线AC 经过线段EF 的中点N .
注：本题知识的考查以椭圆、焦点弦与准线构成的直角梯形为背景，求解中充分利用椭圆的第二定义和平面中截平行线段成比例的知识，采用数形结合的方法找到线段长度的相等，从而完成证明.
例3.证明：双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上任意一点P 和两焦点12
,F F 为顶点的三角形的内心的横坐标为定值.
证明：如图3，记12PF F 的内切圆I 与各边分别相切于点,,A B C ， 则PA PB =,11F A FC =,22F B F C =, 且12IC F F ⊥.
x
由双曲线的定义知：122PF PF a -=∴
122F A F B a -=
∴ 1
22FC F C a -= ∴ 222OF OC F C a +-= ∴ 22OC a =,即OC a =，
∴12PF F 的内切圆圆心I 注：本题知识考查以双曲线、双曲线的焦点三角形及其内切圆为背景，求解中将双曲线“第一定义”的几何性质与圆的“切线长定理”的几何性质有机结合，找到x 轴上两切线长度的差为定值，从而巧妙地解决了内切圆圆心横坐标这个原本较为棘手的问题.
例4.（2009年湖北高考）如图4，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 .
(Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1；
(Ⅱ)记△FMM 1、△FM 1N 1、△FNN 1的面积分别为S 1、S 2，S 3，试判断22134S S S =是否成立，并证明你的结论.
证明：(Ⅰ)由抛物线的定义得
1MF MM =,1NF NN =.
∴ 11MFM MM F ∠=∠,11NFN NN F ∠=∠， ∴ 112M MF MFM π∠=-∠,112N NF NFN π∠=-∠， 又11//MM NN ，
∴ 11M MF N NF π∠+∠=,即11(2)(2)MFM NFN πππ-∠+-∠=，
I
图 3
图 4
∴112
MFM NFN π
∠+∠=
，
∴ 112
M FN π
∠=
,即FM 1⊥FN 1.
(Ⅱ)记11MF MM r ==， 12NF NN r ==，1M MF θ∠=，则1NN F
πθ∠=-. ∴ 2111sin 2S r θ=
，2232211
sin()sin 22S r r πθθ=-=， ∴ 22213121
sin 4
S S r r θ=.
在1MM F 和1NN F 中,由余弦定理可得：
2
2112(1cos )M F r θ=-，2
222222[1(cos )]2(1cos )M F r r πθθ=--=+，
∴ 22
2222222111212114(1cos )(1cos )sin 44
S M F N F r r r r θθθ=
⋅=⨯-+=. ∴ 22134S S S =.
注：本题知识的考查以抛物线、焦点弦与准线构成的直角梯形为背景，求解中充分利用抛物线定义的几何性质和平行线所成角的几何性质，以及三角形正弦定理、余弦定理，化繁为简，攻克难关，思路巧妙而且清晰.
例 5. 已知圆锥曲线C 的一条焦点弦MN 被焦点F 分成MF 、NF 两段,且
MF ,NF 长分别为m n 、,焦点F 到其相应准线l 的距离为p ，圆锥曲线的离心率
为e ，则有
211
()e p m n
=+. 证明：（1）当MN 垂直于圆锥曲线C 的 焦点所在对称轴L 时，m n p e ==⋅ 故
211
()e p m n
=+； （2）当MN 不垂直于圆锥曲线C 的焦点 所在对称轴L 时，如图5，过焦点F 做
1FA MM ⊥垂足为A ，过点N 做焦点所在 对称轴的垂线NB ，垂足为B ，则AMF ∽BFN
MA BF
MF NF
∴
= 又,MF m NF n == 11,m n MM NN e e
∴=
= ∴ m p MA e MF m -=，n
p BF e NF n -
= m n p p e e m n
--
∴=
化简得 211()e p m n =+. 注：本题以一般的圆锥曲线及其准线、焦点弦为背景，考查圆锥曲线焦点弦上的两个焦半径长和焦准距、离心率之间的关系，求解中将圆锥曲线的“统一定义”与“三角形相似对应线段成比例”的几何性质相结合，使得问题迎刃而解. 二、总结心得 探幽索隐
1.平面几何法在求解圆锥曲线问题中的地位：
圆锥曲线问题的求解主要是坐标法，平面几何法只是求解部分圆锥曲线问题的较为简捷的一种方法，并非所有的圆锥曲线问题都可以用平面几何法. 2.哪些圆锥曲线问题适合选取平面几何法求解：
一般地，以特殊平面几何图形与圆锥曲线为背景，且这些几何图形的重要几何性质中涉及到的有关量与圆锥曲线的定义、几何性质有着紧密联系的试题都可以考虑用平面几何法求解.尤其是对以圆锥曲线焦点弦（包括通径）、焦半径、准线、渐近线等构成的几何图形为背景的试题，平面几何法的求解显得更为突出. 3.如何挖掘试题背后的几何性质利用平面几何知识求解圆锥曲线问题： 深入挖掘试题背后的有关几何性质是平面几何法求解圆锥曲线问题的关键.这就需要大家熟练掌握一些常见平面几何图形的几何性质，并能通过分析、联想、推理将圆锥曲线的定义、几何性质、特征量与之有机结合，寻找到问题解决的切入点与突破口，从而达到求解问题的目的.。