00-计算材料学概论
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A simulation can never be better than the model on which it relies.
第一章 引言
量化微结构的演化与微结构性质之间的关系？ 实验
微结构的演化
模型
微结构的性质
第一章 引言
模型化和模拟方法的典型步骤：
定义变量
自变量 因变量
建立数学模型，并 进行公式化处理
状态方程 演化方程
第一章 引言
由模型到数值求解的过程
变量选择
建立方程
差分方程
初始条件 边界条件
自变量 因变量
状态方程 演化方程
问题的解
状态变量、状态方程、演化方程的合理选择是基于第 一性原理的概念或者现象观测。
这是模型化的基础，反映了研究者对于该问题所采取 物理近似方法。
第一章 引言
微结构模拟应该能针对技术应用中未曾研究过或未经实验 检验的情况，给出对材料性质及其微结构演化的预言和理 解。
2.2.6 结构演化方程
自变量----------态变量值(测量) 自变量----------态变量值（建立模型方程） “演化方程”或“结构演化方程”。
Dr. Herbert Gleiter (~1980) what happens if full of grain boundaries?
（grain size < 100 nm） The farther of nanostructured materials
※可参考：肥皂泡筏中位错的理论研究，重庆大学硕士学位论文，梁潇
对固体来说，运动学方程常用于计算一些相关参数。例如， 应变、应变率、刚体自转，以及在考虑到外部与内部约束 条件时晶体重新取向率。运动学约束条件常常是由样品制 造过程和研究时的实验过程所施加的。例如，在旋转的时 候，材料中任何近表面的部分不容许有垂直于旋转平面的 位移。
2.2.5 状态方程
状态方程是与路径无关的函数。把物性与态变量的实际取 值联系起来(参见表2.2)，诸如电阻、屈服应力、自由焓等。
应变或位移 均匀位错密度，Taylor因子
在元胞壁和元胞内的位错密度
互作用原子间距
原子间距和角位置 原子或波色子浓度
胡克定律
Kocks-Mecking模型中的 Taylor方程
高级双参数和叁参数塑性 统计模型
球对称互作用原子对势函 数
紧束缚势
Ginzburg-Landau模型中的 Landau形式自由能
2.2.1大于原子尺度的模型化概念
为了获得关于微结构的合理而简单的模型，首先要对所研 究的真实系统进行实验观察，由此推导出合乎逻辑的、富 有启发性的假说，或者据此推出理论上进行从头计算的依 据。根据已获得的物理图像，通过包括主要物理机制在内 的唯象本构性质，就可以在大于原子尺度的层次上对系统 特性进行描述。
‘modeling’ and ‘simulation’
model
It describes the classical scientific method of formulating a simplified imitation of a real situation with preservation of its essential features. In other words, a model describes a part of a real system by using a similar but simpler structure.
modeling without computers
grain boundaries
Bubble Raft modeling
W.L. Bragg (1947)：does dislocation exist？
(see the Feynman Lectures on Physics (Vol. II) 30-9/10) Modeling simply by thinking!
From Raabe, D. ( 1998)
David L. McDowell, Materials Science and Engineering R 62 (2008) 67–123
All materials show “multiscale” characteristics
Understanding materials depends on Fundamental theory, practical methods, new techniques
在微结构力学中，还经常作进一步的区分：
显含态变量：表示占有空间的微结构性质的一类量，诸如 粒子或晶粒大小。
隐含态变量：表示了介观平均值或宏观平均值。
在用有限元方法计算微结构的性质时，后一类态变量具有 特别的实用性。材料模型中的态变量常被看作是依赖于时 间和空间的张量变量。
2.2.4 运动学方程
一般把时间和空间坐标x＝(x1, x2, x3)作为自变量。
xi 原子
xi
分子动力学
演变轨迹
位错(2D) xi
位错结(3D)
xi
离散位错动力学
材料的行为和特性
xi 晶体塑性有限元
单元
xi
各部分的应力应变状态
2.2.3 态变量和因变量
态变量是自变量的函数。因变量的取值决定了系统在任一 时刻所处的状态。在经典热力学中，态变量分为广延变量 (与质量成正比)和强度变量(与质量无关)。
表2.1 材料科学中对数学模型进行公式化的基本步骤
步骤
内
容
1 定义自变量，例如空间和时间。
2 定义因变量，亦即强度和广延因变量或隐含和显含因变量，例如温度、 位错密度、位移及浓度等。
3 建立运动学方程，亦即在不考虑实际作用力时，确定描述质点坐标变化 的函数关系。例如，在一定约束条件下，建立根据位移梯度计算应变和 转动的方程。
从头分子动力学和蒙特卡罗方法---------原子级别微结构的
行为
（材料物理）
有限元方法----------大尺度结构问题 （材料科学机械工程）
平均本构定律
计算材料学的研究对象跨度巨大。
第一章 引言
模型的时间空间跨度大，在集成不同尺度的模型过程中有 两种近似的方法。
顺序集成法（串联） 通过对空间和时间的离散化，采用非平均化方法在相对恰 当的较小尺度模拟推知本构定律，应用于下一个尺度。随 着模型尺度的增加唯象特征逐渐增加。
状态参数状态变量状态方程应力屈服应力屈服应力互作用原子势互作用原子势自由能应变或位移均匀位错密度taylor因子互作用原子间距原子间距和角位臵原子或波色子浓度胡克定律kocksmecking模型中的taylor方程高级双参数和叁参数塑性统计模型球对称互作用原子对势函紧束缚势ginzburglandau模型中的landau形式自由能表22计算材料学中状态方程的例子自变量态变量值测量自变量态变量值建立模型方程演化方程或结构演化方程
之间的关系。 关键：确定和描述材料的晶格缺陷，以及晶格缺
陷的静态和动态特性。
第一章 引言
微结构的演变方向由热力学判断，而微结构实际 的演变路径则由动力学原理决定。热力学非平衡 机制会给出各种可能的、复杂的微结构。研究表 明，这样的微结构不是平衡态，而是处于远离平 衡的状态。正是这些非平衡状态，使得材料显示 出各种独特性质。
Simulation
Simulation is essentially the putting of numbers into the model and deriving the numerical end-results of letting the model run on a computer.
Orowan’s “experiment”
Egon Orowan, 1901—1989
Together with G.I. Taylor and Michael Polanyi, he was responsible for the introduction of the crystal dislocation into physics as the essential mediator of plastic deformation.
唯象构想只有转换成数学模型才有实用价值。采用基于所 谓“广义态变量概念”的方法，这一转换过程要求定义或 恰当选择相应的自变量(独立变量)、态变量(因变量)。并 进而确立运动方程、状态方程、演化方程、物理参数、边 界条件和初值条件，以及对应的恰当算法。关于变量和方 程的这样一个唯象理论的基本框架，就构成了众多微结构 模型的基础。
模型是将真实情况简单化处理，建立一个反映真 实情况本质特征的模型，并进行公式化描述。
2.1 模型化的基本思想
如何建立模型？
下面将讨论关于模型化概念的一些基本思路，并 重点介绍广义态变量的概念。广义态变量方法是 Argon和Kocks等人在1975年处理塑性本构模型的 过程中引入的。
从态变量的意义上讲，建立模型就是建立相应的 状态及其演化方程。作为一个工具，状态方程的 概念可用于在不同尺度范围内设计模型的基本结 构。
第二章 材料中的模型化与模拟
2.2 广义态变量
2.2.1 大于原子尺度的模型化概念 就建立微结构演化模型来说，最好的方法可能就
是分别求解我们所研究材料的所有原子的运动方 程；这一方法能给出所有原子在任一时刻的位置 坐标和速度，也就是说，由此可预测微结构的时 间演化。在这种模拟方法中，构造模型所需要的 附加经验性条件越少，其对原子之间相互作用力 的描述就越详尽。
同步集成法（并联） 同一模型中不同区域采用不同的模拟方法，区域之间用过 渡区进行连接。同时进行不同尺度的模拟。
第二章 材料中的模型化与模拟
2.1 模型化的基本思想
Rosenblueth和wiener在1945年曾指出，科学研究 的根本目的在于认识世界、改造世界。
科学抽象意味着借助模型来研究现实世界某一方 面的规律。设计和建立模型的过程被认为是模型 化中的基本步骤和最重要的环节。
图1.1和图1.2给出了不同晶格缺陷所确立的微结构 体系与其特征尺度之间的对应关系。
Characteristic ‘time & length’ scales
Kinetics of materials
Raabe, D. ( 1998) Computational Materials Science (Wiley-VCH, Weinheim).
4 确立状态方程，亦即从因变量的取值出发，确定描述材料实际状态且与 路径无关的函数。
5 演化方程，亦即根据因变量值的变化，给出描述微结构演化的且与路径 有关的函数关系。
6 相关物理参数的确定。
7 边界条件和初值条件。
8 确定用于求解由步骤1～7建立的联立方程组的数值算法或解析方法。
2.2.2 自变量
What are great challenges in modern materials science and engineering?
R.W. Cahn, The Coming of Materials Science (Amsterdam: Pergamon, 2001). Chinese version:“走进材料科学” 化学工业出版社（2008）
状态方程提供了如何根据恰当的态变量值来计算材料性质 的基本方法。
通常，微结构状态方程可以把材料关于态变量取值引起的 内部和外部变化的响应定量化。
不同的状态方程表示了材料的不同特性。 对于液体、弹塑性刚体、粘塑性材料和蠕变固体来讲，其
屈服应力对位移的依赖关系是完全不同的。 状态方程的典型例子有：分子动力学中互作原子间的势函
数，位错动力学中的弹性胡克定律，聚合物力学中的非线 性弹性定律，本征塑件定律中的屈服应力与位错密度之间 的关系。以及Ginzburg-Landau模型和与其相关的微结构相 场模型中的自由能函数。
表2.2 计算材料学中状态方程的例子
状态参数
状态变量
状态方程
应力 屈服应力
屈服应力
互作用原子势
互作用原子势 自由能
计算材料学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 引言
Performance
Composition
Processing Structure
现代材料研究从某种意义上来说就是对微结构的研究。
第一章 引言
微结构，是指横跨埃到米的空间尺度上所有热力 学非平衡态晶格缺陷的集合。
空间尺度：几个埃～几米。 时间尺度: ps ～几年。 材料的研究目标之一：确定宏观性能与微观结构
The watch
Cu-Ni 合金
牛骨
Conclusion
(1) Observation based on single experiment underlies many possibilities (2) Understanding of material behavior depends on observations into details
第一章 引言
量化微结构的演化与微结构性质之间的关系？ 实验
微结构的演化
模型
微结构的性质
第一章 引言
模型化和模拟方法的典型步骤：
定义变量
自变量 因变量
建立数学模型，并 进行公式化处理
状态方程 演化方程
第一章 引言
由模型到数值求解的过程
变量选择
建立方程
差分方程
初始条件 边界条件
自变量 因变量
状态方程 演化方程
问题的解
状态变量、状态方程、演化方程的合理选择是基于第 一性原理的概念或者现象观测。
这是模型化的基础，反映了研究者对于该问题所采取 物理近似方法。
第一章 引言
微结构模拟应该能针对技术应用中未曾研究过或未经实验 检验的情况，给出对材料性质及其微结构演化的预言和理 解。
2.2.6 结构演化方程
自变量----------态变量值(测量) 自变量----------态变量值（建立模型方程） “演化方程”或“结构演化方程”。
Dr. Herbert Gleiter (~1980) what happens if full of grain boundaries?
（grain size < 100 nm） The farther of nanostructured materials
※可参考：肥皂泡筏中位错的理论研究，重庆大学硕士学位论文，梁潇
对固体来说，运动学方程常用于计算一些相关参数。例如， 应变、应变率、刚体自转，以及在考虑到外部与内部约束 条件时晶体重新取向率。运动学约束条件常常是由样品制 造过程和研究时的实验过程所施加的。例如，在旋转的时 候，材料中任何近表面的部分不容许有垂直于旋转平面的 位移。
2.2.5 状态方程
状态方程是与路径无关的函数。把物性与态变量的实际取 值联系起来(参见表2.2)，诸如电阻、屈服应力、自由焓等。
应变或位移 均匀位错密度，Taylor因子
在元胞壁和元胞内的位错密度
互作用原子间距
原子间距和角位置 原子或波色子浓度
胡克定律
Kocks-Mecking模型中的 Taylor方程
高级双参数和叁参数塑性 统计模型
球对称互作用原子对势函 数
紧束缚势
Ginzburg-Landau模型中的 Landau形式自由能
2.2.1大于原子尺度的模型化概念
为了获得关于微结构的合理而简单的模型，首先要对所研 究的真实系统进行实验观察，由此推导出合乎逻辑的、富 有启发性的假说，或者据此推出理论上进行从头计算的依 据。根据已获得的物理图像，通过包括主要物理机制在内 的唯象本构性质，就可以在大于原子尺度的层次上对系统 特性进行描述。
‘modeling’ and ‘simulation’
model
It describes the classical scientific method of formulating a simplified imitation of a real situation with preservation of its essential features. In other words, a model describes a part of a real system by using a similar but simpler structure.
modeling without computers
grain boundaries
Bubble Raft modeling
W.L. Bragg (1947)：does dislocation exist？
(see the Feynman Lectures on Physics (Vol. II) 30-9/10) Modeling simply by thinking!
From Raabe, D. ( 1998)
David L. McDowell, Materials Science and Engineering R 62 (2008) 67–123
All materials show “multiscale” characteristics
Understanding materials depends on Fundamental theory, practical methods, new techniques
在微结构力学中，还经常作进一步的区分：
显含态变量：表示占有空间的微结构性质的一类量，诸如 粒子或晶粒大小。
隐含态变量：表示了介观平均值或宏观平均值。
在用有限元方法计算微结构的性质时，后一类态变量具有 特别的实用性。材料模型中的态变量常被看作是依赖于时 间和空间的张量变量。
2.2.4 运动学方程
一般把时间和空间坐标x＝(x1, x2, x3)作为自变量。
xi 原子
xi
分子动力学
演变轨迹
位错(2D) xi
位错结(3D)
xi
离散位错动力学
材料的行为和特性
xi 晶体塑性有限元
单元
xi
各部分的应力应变状态
2.2.3 态变量和因变量
态变量是自变量的函数。因变量的取值决定了系统在任一 时刻所处的状态。在经典热力学中，态变量分为广延变量 (与质量成正比)和强度变量(与质量无关)。
表2.1 材料科学中对数学模型进行公式化的基本步骤
步骤
内
容
1 定义自变量，例如空间和时间。
2 定义因变量，亦即强度和广延因变量或隐含和显含因变量，例如温度、 位错密度、位移及浓度等。
3 建立运动学方程，亦即在不考虑实际作用力时，确定描述质点坐标变化 的函数关系。例如，在一定约束条件下，建立根据位移梯度计算应变和 转动的方程。
从头分子动力学和蒙特卡罗方法---------原子级别微结构的
行为
（材料物理）
有限元方法----------大尺度结构问题 （材料科学机械工程）
平均本构定律
计算材料学的研究对象跨度巨大。
第一章 引言
模型的时间空间跨度大，在集成不同尺度的模型过程中有 两种近似的方法。
顺序集成法（串联） 通过对空间和时间的离散化，采用非平均化方法在相对恰 当的较小尺度模拟推知本构定律，应用于下一个尺度。随 着模型尺度的增加唯象特征逐渐增加。
状态参数状态变量状态方程应力屈服应力屈服应力互作用原子势互作用原子势自由能应变或位移均匀位错密度taylor因子互作用原子间距原子间距和角位臵原子或波色子浓度胡克定律kocksmecking模型中的taylor方程高级双参数和叁参数塑性统计模型球对称互作用原子对势函紧束缚势ginzburglandau模型中的landau形式自由能表22计算材料学中状态方程的例子自变量态变量值测量自变量态变量值建立模型方程演化方程或结构演化方程
之间的关系。 关键：确定和描述材料的晶格缺陷，以及晶格缺
陷的静态和动态特性。
第一章 引言
微结构的演变方向由热力学判断，而微结构实际 的演变路径则由动力学原理决定。热力学非平衡 机制会给出各种可能的、复杂的微结构。研究表 明，这样的微结构不是平衡态，而是处于远离平 衡的状态。正是这些非平衡状态，使得材料显示 出各种独特性质。
Simulation
Simulation is essentially the putting of numbers into the model and deriving the numerical end-results of letting the model run on a computer.
Orowan’s “experiment”
Egon Orowan, 1901—1989
Together with G.I. Taylor and Michael Polanyi, he was responsible for the introduction of the crystal dislocation into physics as the essential mediator of plastic deformation.
唯象构想只有转换成数学模型才有实用价值。采用基于所 谓“广义态变量概念”的方法，这一转换过程要求定义或 恰当选择相应的自变量(独立变量)、态变量(因变量)。并 进而确立运动方程、状态方程、演化方程、物理参数、边 界条件和初值条件，以及对应的恰当算法。关于变量和方 程的这样一个唯象理论的基本框架，就构成了众多微结构 模型的基础。
模型是将真实情况简单化处理，建立一个反映真 实情况本质特征的模型，并进行公式化描述。
2.1 模型化的基本思想
如何建立模型？
下面将讨论关于模型化概念的一些基本思路，并 重点介绍广义态变量的概念。广义态变量方法是 Argon和Kocks等人在1975年处理塑性本构模型的 过程中引入的。
从态变量的意义上讲，建立模型就是建立相应的 状态及其演化方程。作为一个工具，状态方程的 概念可用于在不同尺度范围内设计模型的基本结 构。
第二章 材料中的模型化与模拟
2.2 广义态变量
2.2.1 大于原子尺度的模型化概念 就建立微结构演化模型来说，最好的方法可能就
是分别求解我们所研究材料的所有原子的运动方 程；这一方法能给出所有原子在任一时刻的位置 坐标和速度，也就是说，由此可预测微结构的时 间演化。在这种模拟方法中，构造模型所需要的 附加经验性条件越少，其对原子之间相互作用力 的描述就越详尽。
同步集成法（并联） 同一模型中不同区域采用不同的模拟方法，区域之间用过 渡区进行连接。同时进行不同尺度的模拟。
第二章 材料中的模型化与模拟
2.1 模型化的基本思想
Rosenblueth和wiener在1945年曾指出，科学研究 的根本目的在于认识世界、改造世界。
科学抽象意味着借助模型来研究现实世界某一方 面的规律。设计和建立模型的过程被认为是模型 化中的基本步骤和最重要的环节。
图1.1和图1.2给出了不同晶格缺陷所确立的微结构 体系与其特征尺度之间的对应关系。
Characteristic ‘time & length’ scales
Kinetics of materials
Raabe, D. ( 1998) Computational Materials Science (Wiley-VCH, Weinheim).
4 确立状态方程，亦即从因变量的取值出发，确定描述材料实际状态且与 路径无关的函数。
5 演化方程，亦即根据因变量值的变化，给出描述微结构演化的且与路径 有关的函数关系。
6 相关物理参数的确定。
7 边界条件和初值条件。
8 确定用于求解由步骤1～7建立的联立方程组的数值算法或解析方法。
2.2.2 自变量
What are great challenges in modern materials science and engineering?
R.W. Cahn, The Coming of Materials Science (Amsterdam: Pergamon, 2001). Chinese version:“走进材料科学” 化学工业出版社（2008）
状态方程提供了如何根据恰当的态变量值来计算材料性质 的基本方法。
通常，微结构状态方程可以把材料关于态变量取值引起的 内部和外部变化的响应定量化。
不同的状态方程表示了材料的不同特性。 对于液体、弹塑性刚体、粘塑性材料和蠕变固体来讲，其
屈服应力对位移的依赖关系是完全不同的。 状态方程的典型例子有：分子动力学中互作原子间的势函
数，位错动力学中的弹性胡克定律，聚合物力学中的非线 性弹性定律，本征塑件定律中的屈服应力与位错密度之间 的关系。以及Ginzburg-Landau模型和与其相关的微结构相 场模型中的自由能函数。
表2.2 计算材料学中状态方程的例子
状态参数
状态变量
状态方程
应力 屈服应力
屈服应力
互作用原子势
互作用原子势 自由能
计算材料学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 引言
Performance
Composition
Processing Structure
现代材料研究从某种意义上来说就是对微结构的研究。
第一章 引言
微结构，是指横跨埃到米的空间尺度上所有热力 学非平衡态晶格缺陷的集合。
空间尺度：几个埃～几米。 时间尺度: ps ～几年。 材料的研究目标之一：确定宏观性能与微观结构
The watch
Cu-Ni 合金
牛骨
Conclusion
(1) Observation based on single experiment underlies many possibilities (2) Understanding of material behavior depends on observations into details