HPM视角下的配方法教学

HPM 视角下的一元二次方程的配方法教学*

沈志兴1洪燕君2

（1上海师范大学附属罗店中学，上海，201908；2华东师范大学数学系，上海，200241）“一元二次方程的解法”是沪教版8年级上册数学的教学内容，共分为7个学时，其中“配方法”安排在第4个学时，之前学生已经学过直接开平方法和因式分解法，这节课的学习将为后面学习公式法奠定推导基础，并且可以解决许多其它综合性问题。

由于本节课中研究的方程不具备直接采用开平方法和因式分解法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在此前的学习中缺少类似经验，对“完全平方”的理解也存在一定的困难。数学史告诉我们，在没有符号代数的情况下，古人是借助直观的几何图形来解一元二次方程的，今天的代数意义上的“配方”对应于几何上的“将长方形割补成正方形”。我们希望通过几何图形的操作来降低配方法的难度，同时，提升学生的两种语言之间的转化能力。基于HPM 的视角，我们将本节课的教学目标拟定为：

（1）让学生经历配方法的发现过程，体会“方”的魅力；

（2）通过数形结合，加深对“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”这一核心步骤的理解；

（3）培养学生几何图形语言与代数符号语言之间的转化能力，体会类比、转化等思想方法；

（4）让学生体会古今方法的异同，感悟数学历史的演进性，欣赏数学文化。1配方法溯源

历史上，最早出现的一元二次方程是A x =2，属于“已知正方形的面积求边长”的问题，可用“开平方法”加以解决。古埃及祭司将问题进行拓展，提出“已知长方形面积以及长和宽之比，求长和宽”的问题，也用开平方法来解。古巴比伦祭司则解决了更一般的问题：“已知长方形面积以及长、宽之差，求长和宽”。除了不接受负根外，祭司给出的解法与今天的求根公式一致。数学史家们推测[1]，祭司是通过长方形的割补，将问题转化为“已知正*华东师范大学与上海市宝山区教育局合作项目“HPM 与初中数学教师专业发展”系列教学案例之一。

方形面积求边长”来解决的。

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了几何意义下的配方法，该书卷二命题5

相当于说[2]：()2222b b x x b x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，欧几里得先将长为x b +，宽为x 的矩形转化为一个矩尺形，然后补上边长为2b 的小正方形，即得边长为2

b x +的大正方形。在中国汉代的《九章算术》中，一元二次方程2x bx

c +=的一次项bx 被称为“从法”，

解方程的方法也叫“开方”，有理由相信，中算家也用了“割补化方”的方法。

公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（al-Khwarizmi,780?-850?）继承了古希腊人的“几何代数”传统，在其《代数学》中载有很多一元二次方程的问题，都是借助几何图形来求解的[3]。花拉子米给出的其中一个问题是：“一平方与十根等于三十九迪拉姆，求根”（即求解方程21039x x +=）。花拉子米将方程左边2

10x x +看作边长为x 的正方形和长为x 、宽为10的矩形面积之和。他用两种方法来“配方”：一种是平分面积为10x 的矩形，移动其中一半至邻边上，形成一个矩尺形，再补上边长为5的一个小正方形，得到一个大正方形，如图1所示；另一种是将矩形四等分，分别将其中三块移到另外三边上，形成一个十字形，再补上四个边长为5/2的小正方形，得到一个大正方形，如图2所示。利用大正方形的面积，得到大正方形的边长，进而求出x 。

图1

图2我们按照2x c =→()2x p c ±=→2x bx c +=→2x bx c -=（b ，c 和p 均为正数）

的顺序，对配方法的历史进行重构，让学生经历配方法的发现过程，加深对配方法的理解；对花拉子米的上述方程进行改编，使之不易直接用因式分解法解决，以凸显配方法的必要性，创造学生的学习动机；同时，介绍花拉子米的数学成就，融入人文元素，让学生感悟数学文化。

2教学设计与实施

2.1复习旧知

“开平方法”是“配方法”解题中的关键步骤之一，为了让本节“配方法”的学习内容顺利开展，在进入新课之前，教师给出了以下练习题：（1）162=x ；（2）()3652=+x ；

（3）()922=-x ，一方面帮助学生巩固学过的“开平方法”，另一方面通过要求学生把上述方程转化成几何语言，为学习古代数学家花拉子米的几何解法做铺垫：将2x 、2(5)x +、2(2)x -分别看成边长为x 、5x +、2x -的正方形面积，转而求相应边长，进而求出未知数x ，如图3-5所示。

图3

图4图5

2.2新课引入

（1）提出问题教师给出花拉子米的一元二次方程问题：9世纪阿拉伯著名数学家花拉子米在他的《代数学》中提出以下问题：一平方与十根等于二十迪拉姆，求根；并作解释：在花拉子米所生活的时代，阿拉伯人将未知数称为“根”，未知数的平方称为“平方”，迪拉姆是阿拉伯货币单位，在这个问题中并无实际实义。

教师引导学生列出一元二次方程21020x x +=。

（2）方法引导

师：古人通过正方形的面积从而想到可以用开平方法来求边长，那么我们今天要解决21020x x +=这个问题是不是也可以借助几何图形来解决呢？请同学们观察一下，这个方程的左边可以表示成什么图形？

生1：我知道了，这个方程的左边就是边长为x 的正方形面积，加上一个长和宽分别为

x 和10的长方形。

师：将它们拼在一起，能得到什么图形？

生：长为x +10，宽为x 的长方形。

师：请画到黑板上，让大家看看。

生1在黑板上作出一个长方形，如图6所示。

师：但问题又来了，这不是一个正方形，不能直接开平方吧。

生：要把它变成一个正方形，用截补的方法。

图6

图7

生2在黑板上将生1所作的长方形补成正方形，如图7。

师：我们一起来看看，此时这个图形的面积是怎么表示的？

生：表示为220100x x ++。师：对比一下原来的方程，这里的一次项与原题的一次项有出入，怎么办？

生3：在等式右边也加上10x 。

生4：不行，这样不满足开平方法的特征呀。

生：左边满足（开平方法），右边不行，加的（项）太复杂了。

师：右边多了一个一次项，那怎么办？能不能不让它多出来？

学生们积极展开小组讨论，生5在黑板上给出了图8所示的作图法。

图8