《1.2.2 空间两条直线的位置关系——2.异面直线(2)》教学案1

《1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)》教学案教学目标：

1．深化对异面直线定义的理解；

2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；

3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．

教材分析及教材内容的定位：

两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础．异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．

教学重点：

异面直线所成角的定义．

教学难点：

将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．

教学方法：

合作探究法．

教学过程：

一、问题情境

1．操场上旗杆所在的直线和一条跑道所在的直线有何关

系？是否存在一个平面同时经过这两条直线？

2．不同的异面直线间的相互倾斜程度也不同，怎样来刻画这种不同呢？

3．如图在正方体中和对角线C1A异面的棱有哪几条？D1

B1

A1

C1

D A

B C

A

1

二、学生活动

1．回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？(进一步理解异面直线定义的实质)

2．每两位同学一组，把桌面作为平面α，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线l ，另一位同学持一支笔(表示另一条直线m )使其一端经过桌面上一点B ，观察并思考什么情况下直线l 和直线m 是异面直线？(由此引导学生得出异面直线的判定定理)

3．借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？(由此导出异面直线所成角的定义)

4．利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？(由此得出探求异面直线所成角的一般步骤)

三、建构数学

1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

2．异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外(如下图所示)．

3．异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

符号表示：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线． (可以引导学生用反证法给予证明)

4．两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a ，b 是两条异面直线，在空间中任选一点O ，过O 点分别作 a ，b 的平行线 a ′和 b ′，则这两条直线a ′和 b ′所成的锐角θ(或直角)，称为异面直线a ，b 所成的角．

若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直． 异面直线a 与b 垂直也记作a ⊥b ．

异面直线所成角θ的取值范围：(0,90]︒︒．

四、数学运用

1．例题．

例1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求直线A 1A 与直线CB 所成的角的度数； (2)求直线A 1B 与直线C 1C 所成的角的度数； (3)求直线A 1B 与直线B 1C 所成的角的度数．

例2 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点， (1)若BC ＝AD ＝2EF ，求直线EF 与AD 所成角的大小． (2)若AB ＝8，CD ＝6，EF ＝5，求AB 与CD 所成角的大小．

2．练习．

(1)指出下列命题是否正确，并说明理由．

①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③若a ∥b ，c ⊥a 则b ⊥c ． ④若c ⊥a ，b ⊥c 则a ∥b ．

⑤分别与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 一定异面．

(2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1所成角为60︒的面对角线有_____条． (3)已知不共面的三直线a ，b ，c 相交于点O ，M ，P 是a 上两点，N ，Q 分别在b ，c 上 ．求证：MN ，PQ 异面．

B

C

D

A

E

F

C

D 1

B 1

A 1

C 1

D

A

B

C

N

α

a

c

b

O

M

Q

P

(4)如图在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． ①求证：四边形EFGH 是平行四边形； ②若AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 是菱形；

③当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形？

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容： 1．异面直线的判定定理； 2．异面直线所成角的定义；

3． 通过平移将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角去求，平移的方法主要有：构造中位线，构造平行四边形或成比例线段等等．

A B

F

C

D H

E

G