第一章不等式复习
第一章 一元一次不等式复习11
一元一次不等式复习班 学号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆第一章 一元一次不等式复习 课前准备 本章从现实背景出发，通过建立模型，引入不等式，、一元一次不等式、一元一次不等式组的概念及其解法。
之后又将获取的知识应用于解决实际问题。
在学习中要注意体会数形结合的思想，体会不等式建模解决实际问题的过程。
这部分内容是中考的必考内容之一，中考交会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质、解集的概念和把解集在数轴上表示出来，不等式的应用性问题还是近年中考的热点内容，考查可能与日常生活相联系，也可能与其它章节内容，如方程、函数及几何内容相结合。
复习准备 请同学们总结这一章的内容，自备纸张进行列举，然后和同伴进行交流，看谁列举的全面。
同时，看自己遗漏了哪些知识。
结合自己列举的本章主要内容，回答课本37页回顾与思考中提出的问题。
典型例析（参考分析，完成解答） 例1若a>b 且c 为有理数，则( )A ac>bcB ac<bcC ac 2>bc 2D ac 2≥bc 2分析：醒主要是考查不等式性质的应用，要比较ac 与bc, ac 2与bc 2的大小由c 来决定，因此解本题时要从c 从的的取值入手。
由于C 的正负性不确定，因此ac 与bc 的大小也不确定。
例2不等式｛3x ≤6x+1>0的整数解是 。
分析：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内可能是有限的。
如自然数解，非负整数解，整数解等等，对于这类问题通常是先求出不等式组的解集，然后再确定某些范围内不等式（组）的解。
例3.已知y 1=2x+3,y 2=x+4,当x 取何值时，y 1<y 2？ 分析；本题是不等式与一次函数的简单组合，可以用两种方法解决。
方法一：将函数转化为不等式，解不等式即可。
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第5节二次函数与一元二次方程、不等式
第五节二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.必备知识·整合〔知识梳理〕1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a，b，c为常数，且a≠0）.提醒解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)时,不要忘记讨论当a=0时的情况.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实根ax2+bx+c>0(a> 0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xx≠−b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀提醒a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展1.简单分式不等式（1）f(x)g(x)≥0(≤0)⇔{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.（2）f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).2.不等式ax2+bx+c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0, c＞0或{a＞0,Δ＜0.（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0,c＜0或{a＜0,Δ＜0.〔课前自测〕1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.（1）ax2+bx+c<0为一元二次不等式.( × )（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式ax2+bx+ c<0的解集一定不是空集.( √ )（4）x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0.( × )2. [2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( D )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}[解析]由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.3. [2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x−12<x<13}，则a−b的值是( A )A. −10B. −14C. 10D. 144. 易错题不等式(x−2)(3−2x)≥0的解集为( B )A. (32,+∞) B. [32,2] C. [2,+∞) D. (−∞,32][解析]由(x−2)(3−2x)≥0，得(x−2)(2x−3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[32,2].易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.5. （新教材改编题）若关于x的不等式x2−2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为(−3√2,3√2).[解析]由题意得4a2−4×18<0，解得−3√2<a<3√2.关键能力·突破考点一一元二次不等式的解法角度1 简单分式不等式的解法例1≥0的解集为( C )（1）不等式1−x2+xA. [−2,1]B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−2,1]D. (−∞,−2]∪(1,+∞)≥2的解集为( B )（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x−2x+3A. (−∞,−3]∪[8,+∞)B. (−∞,−3)∪[8,+∞)C. (−3,8]D. (−∞,−3)∪(8,+∞)−2≥0，[解析]原不等式可化为3x−2x+3≥0，即(x−8)(x+3)≥0且x+3≠0，即x−8x+3∴x<−3或x≥8.所以原不等式的解集为(−∞,−3)∪[8,+∞).方法感悟将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.角度2 不含参数的不等式的解法例2（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2−x−6≤0}，则A∩(∁R B)=( B )A. {3}B. {8}C. {−2,3,8}D. {−2}[解析]由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则B ={x|x 2−x −6≤0}=[−2,3],∁R B ={x|x <−2或x >3} ，则A ∩(∁R B)={8} .（2） [2022广东潮州月考]不等式0<x 2−x −2≤4 的解集为{x|−2≤x < −1或2<x ≤3} .[解析]原不等式等价于{x 2−x −2>0，x 2−x −2≤4，即{x 2−x −2>0，x 2−x −6≤0，即{(x −2)(x +1)>0，(x −3)(x +2)≤0，解得{x >2或x <−1，−2≤x ≤3. 借助数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|−2≤x <−1或2<x ≤3} .方法感悟解一元二次不等式的步骤角度3 含参数的不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).[答案]原不等式可化为ax2+(a−2)x−2≥0.①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤−1.②当a>0时，原不等式可化为(x−2a )(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤−1.③当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0.当2a >−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；当2a <−1，即−2<a<0时，解得2a≤x≤−1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥2a 或x≤−1}；当−2<a<0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.方法感悟含参数的一元二次不等式的解题策略（1）二次项中若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，需要讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.1. [2023广东湛江模拟]已知全集U=R，集合A={x|2x2−3x−2<0,x∈R}，B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B=( B )A. (12,1)∪(1,3) B. [2,3) C. {0,1} D. {1}[解析]由2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)<0，得−12<x<2，所以A={x−12<x<2}，则∁U A={xx≤−12或x≥2}，又B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B={x|2≤x<3}=[2,3).2. [2023山东济南一模]不等式x−12x+1≥0的解集为(−∞，−12)∪[1,+∞).[解析]x−12x+1≥0⇒{(x−1)(2x+1)≥0，2x+1≠0⇒x≥1或x<−12.3. 求不等式12x2−ax>a2(a∈R)的解集. [答案]原不等式可化为12x2−ax−a2>0，即(4x+a)(3x−a)>0，令(4x+a)(3x−a)=0，解得x1=−a4，x2=a3.当a>0时，不等式的解集为{x<x−a4或x>a3}；当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<a3或x>−a4}.考点二三个两次的关系例4 [2021广东东莞高三期末]多选题若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则( AD )A. 相应的一元二次函数的图象开口向下B. b >0 且c >0C. a +b +c >0D. 不等式ax 2−cx +b ≤0 的解集是R[解析]由题意知a <0 ，所以A 正确；由题意可得−1 ，2是方程ax 2−bx +c =0 的两个根，所以{−1+2=ba ，−1×2=c a ，所以{b =a,c =−2a ，得b <0,c >0 ，所以B 不正确；因为−1 是方程ax 2−bx +c =0 的根，所以把x =−1 代入方程得a +b +c =0 ，所以C 不正确；把b =a ，c =−2a 代入不等式ax 2−cx +b ≤0 ，可得ax 2+2ax +a ≤0 ，因为a <0 ，所以x 2+2x +1≥0 ，此时不等式的解集为R ，所以D 正确. 方法感悟（1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，则不等式cx 2+bx +a <0 的解集是( A ) A. {x −1<x <12} B. {x <x −1或x >12} C. {x −12<x <1}D. {x <x −12或x >1}[解析]因为ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，所以−1 ，2是方程ax 2+bx +c =0 的两实数根，且a <0 ，由根与系数的关系得{−1+2=−ba ，−1×2=ca ， 所以b =−a ，c =−2a ，所以不等式cx 2+bx +a <0⇒−2ax 2−ax +a <0 ，即2x 2+x −1<0 ，解得−1<x <12 ,故不等式cx 2+bx +a <0 的解集为{x −1<x <12} .考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题例5 不等式ax(x +1)−1<0 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 (−4,0] .[解析]由ax(x +1)−1<0 ，得ax 2+ax −1<0 .当a =0 时，−1<0 恒成立；当a ≠0 时，有{a <0，Δ=a 2+4a <0⇒−4<a <0 .综上所述，实数a 的取值范围是(−4,0] .角度2 在给定区间上的恒成立问题例6 [2022广东深圳月考]若对于任意的x ∈[0,2] ，不等式x 2−2x +a >0 恒成立，则a 的取值范围为( B ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)[解析]不等式x 2−2x +a >0 可化为a >−x 2+2x ，设f(x)=−x 2+2x ，x ∈[0,2] ，则f(x)=−(x −1)2+1 ，当x =1 时，f(x)max =f(1)=1 ，所以实数a 的取值范围是(1,+∞) .角度3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx2−mx−1<0对任意m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围是(1−32,1+32).[解析]设g(m)=mx2−mx−1=(x2−x)m−1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则{g(1)<0, g(2)<0,即{x2−x−1<0, 2x2−2x−1<0,解得1−√32<x<1+√32，故x的取值范围为(1−√32,1+√32).方法感悟（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.（2）一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论（也可采用分离参数的方法求解）.5. 函数f(x)=x2+ax+3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，只需Δ=a2−4(3−a)≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−6,2].（2）当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]由题意，可得x2+ax+3−a≥0在[−2,2]上恒成立，令g(x)=x2+ ax+3−a,则有①g(x)中Δ≤0或②{Δ>0,−a2<−2,g(−2)=7−3a≥0或③{Δ>0,−a2>2,g(2)=7+a≥0,解①得−6≤a≤2，解②得无实数解，解③得−7≤a<−6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[−7,2].（3）当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. [答案]令ℎ(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时，ℎ(a)≥0恒成立，只需{ℎ(4)≥0,ℎ(6)≥0,即{x2+4x+3≥0, x2+6x+3≥0,解得x≤−3−√6或x≥−3+√6.∴实数x的取值范围是(−∞,−3−√6]∪[−3+√6,+∞).考点四一元二次方程根的分布例8 [2023湖南益阳开学考]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. [解析]设函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若方程有两根，其中一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；[答案]易知f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(−1,0)和(1,2)内，画出示意图，得{ f(0)=2m +1<0，f(−1)=2>0，f(1)=4m +2<0，f(2)=6m +5>0，∴{m <−12，m ∈R m <−12，m >−56，∴−56<m <−12 .（2） 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m 的取值范围.[答案]易知f(x) 的图象与x 轴的交点在区间(0,1) 内，画出示意图，得{ f(0)>0，f(1)>0，Δ≥0，0<−m <1，∴{ m >−12，m >−12，m ≥1+√2或m ≤1−√2，−1<m <0，∴−12<m ≤1−√2 .方法感悟一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点： （1）一元二次函数图象的开口方向； （2）一元二次函数对应方程的根的判别式；（3）一元二次函数图象的对称轴与区间的关系； （4）一元二次函数在区间端点处函数值的符号.6. [2023广东茂名期中]已知方程2x 2−(m +1)x +m =0 有两个不等的正实根，则实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) . [解析]设f(x)=2x 2−(m +1)x +m ， 由{Δ>0，−−(m+1)2×2>0，f(0)>0，得{(m +1)2−8m >0，m >−1，m >0，∴{m <3−2√2或m >3+2√2，m >−1,m >0，∴0<m <3−2√2 或m >3+2√2 ，即实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) .分层突破训练 基础达标练1. 不等式−x 2+3x +10>0 的解集为( A ) A. (−2,5) B. (−∞,−2)∪(5,+∞) C. (−5,2)D. (−∞,−5)∪(2,+∞)[解析]由x 2−3x −10<0 ，解得−2<x <5 .2. 多选题 下列不等式的解集为R 的是( BC ) A. x 2+2√5x +5>0 B. x 2+6x +10>0 C. −x 2+x −2<0D. 2x 2−3x −3<0[解析]对于A 选项，x 2+2√5x +5=(x +√5)2>0 ，故解集为{x|x ≠−√5} ； 对于B 选项，x 2+6x +10=(x +3)2+1>0 ，解集为R ； 对于C 选项，−x 2+x −2=−(x −12)2−74<0 ，解集为R ；对于D 选项，2x 2−3x −3<0 ，对应的二次函数图象开口向上，Δ=9−4×2×(−3)=33>0 ，故不等式的解集不是R .故选BC.3. [2023山东东营模拟]设x ∈R ，则“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x 2≤3x ，得0≤x ≤3 ，所以“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的必要不充分条件.4. [2022江苏南通模拟]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. (−∞,0]D. (−∞,0)[解析]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，故Δ=(−2)2+4(1+a)≤0 ，解得a ≤−2 ，故实数a 的取值范围是(−∞,−2] . 5. [2022湖北华中师大一附中模拟]不等式2x+1≤1 的解集是( A ) A. (−∞,−1)∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. (−∞,−1)D. (−1,1)[解析]原不等式可化为2x+1−1≤0 ，即x−1x+1≥0 ，得(x −1)(x +1)≥0 且x +1≠0 ，得x <−1 或x ≥1 ，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪[1,+∞) . 6. [2022天津耀华中学模拟]对于任意实数x ，不等式(a −1)x 2−2(a −1)x −4<0 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (−3,1)D. (−3,1][解析]当a =1 时，−4<0 恒成立； 当a ≠1 时，有{a −1<0,Δ<0, 解得−3<a <1 .综上，实数a 的取值范围是(−3,1] .7. 已知二次函数f(x)=(m +2)x 2−(2m +4)x +3m +3 的图象与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为(−2,−12) . [解析]由题意得，(m +2)⋅f(1)<0 ， 即(m +2)⋅(2m +1)<0 ， ∴−2<m <−12 ，即m 的取值范围为(−2,−12) .8. [2023辽宁丹东期末]某种杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.[解析]设定价为x 元，销售总收入为y 元，由题意得，y =(80 000−x−2.50.1×2 000)x =−2 0000x 2+130 000x ，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y =−20 000x 2+130 000x ≥200 000 ，解得52≤x ≤4 ，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.9. [2023河北保定模拟]已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3} ，集合B ={x ∈R ∣x−m x−2<0} ，且A ∩B =(−1,n) ，则m = −1 ，n = 1.[解析]A ={x ∈R ||x +2|<3}={x|−5<x <1} ，B ={x ∈R ∣x−m x−2<0}={x ∣(x −m)(x −2)<0} ，因为A ∩B =(−1,n) ，所以−1 是方程(x −m)(x −2)=0 的根，则−1−m =0 ，解得m =−1 ，所以B ={x|−1<x <2} ，A ∩B =(−1,1) ，则n =1 .10. [2022广东化州第三中学月考]已知集合A ={−5,−1,2,4,5} ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是(x +4)(x −6)>0 （答案不唯一）.[解析]不等式(x +4)(x −6)>0 的解集为{x|x >6或x <−4} ，解集中只有−5 在集合A 中.11. [2021江西南昌莲塘第一中学模拟]已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 . （1） 解关于a 的不等式f(1)>0 ； [答案]∵f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 ， ∴f(1)=−3+a(6−a)+6=−a 2+6a +3 ， ∴ 原不等式可化为a 2−6a −3<0 ， 解得3−2√3<a <3+2√3 .∴ 原不等式的解集为{a|3−2√3<a <3+2√3} .（2） 若不等式f(x)>b 的解集为(−1,3) ，求实数a ,b 的值.[答案]f(x)>b 的解集为(−1,3) 等价于方程−3x 2+a(6−a)x +6−b =0 的两根为−1 ，3， 即{−1+3=a(6−a)3,−1×3=−6−b3,解得{a =3±√3,b =−3.能力强化练12. [2022重庆南开中学模拟]三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2+2y 2 对任意x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] 恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析.” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再进行分析.” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再进行分析.”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是( B ) A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,4)D. [−1,6][解析]选择用丙的方法.因为xy ≤ax 2+2y 2 ，x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] ， 所以xy −2y 2≤ax 2 等价于xy−2y 2x 2≤a ，即yx −2(yx )2≤a . 令y x =t ，则t ∈[1,3] .原式化为t −2t 2≤a 对任意t ∈[1,3] 恒成立，因为t −2t 2=−2(t −14)2+18 ，所以当t =1 时，(t −2t 2)max =−1 . 所以−1≤a ，即a ∈[−1,+∞) . 故选B.13. [2022重庆质量检测]若方程x 2+(m −2)x +6−m =0 的两根都大于2，则m 的取值范围是(−6,−2√5] .[解析]令f(x)=x 2+(m −2)x +6−m ，其图象的对称轴方程为x =2−m 2，由题意得，{2−m2>2，f(2)>0，Δ≥0，即{2−m2>2,4+2m −4+6−m >0,(m −2)2−4(6−m)≥0,解得−6<m ≤−2√5 ，故m 的取值范围是(−6,−2√5] .14. [2023江苏南京二模]已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1−x)+f(1+x)=2 ，当x ∈[0,1] 时，f(x)=2x −x 2 ，若f(x)≥x +b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为−14 .[解析]因为f(1+x)+f(1−x)=2 ，所以f(x) 的图象关于点(1,1) 中心对称， 当x ∈[−1,0] 时，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，作出f(x) 的图象和直线y =x +b ，如图所示，结合图象可得，只需当x ∈[−1,0] 时，f(x)=x 2+2x ≥x +b 即可， 即b ≤(x +12)2−14 ， 故b ≤−14 .故b的最大值为−1.415. 某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为a kW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW⋅h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y（元）与实际电价x（元/kW⋅h）的函数关系式；kW⋅h，∴下调电价后的总用电量为(a+ [答案]下调电价后新增的用电量为kx−0.4k)kW⋅h，x−0.4)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75).∴y=(a+kx−0.4（2）设k=0.2a，问：电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×（实际电价−成本价）.)(x−0.3)≥a×(0.8−0.3)×(1+20%)，0.55≤x≤[答案]由已知得(a+0.2ax−0.40.75，整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.故电价最低定为0.60元/kW⋅h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.+b，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3). 16. 已知函数f(x)=x+ax（1）求实数a，b的值；[答案]因为关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，所以不等式x2+bx+a<0的解集为(1,3)，所以{1+3=−b，1×3=a，解得{a=3,b=−4，所以f(x)=x+3x−4.（2）求关于x的不等式xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)的解集；[答案]由xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)，得x2+3−4x<(m−3)(x−1)，即x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0.所以当m<1时，不等式的解集为(m,1)；当m=1时，不等式无解；当m>1时，不等式的解集为(1,m).（3）若不等式f(2x)−k⋅2−x−2k≥0在R上恒成立，求实数k的取值范围.[答案]令t=2x(t>0)，则f(t)−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t+3t −4−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t 2−(2k+4)t+3−kt≥0在(0,+∞)上恒成立，即t2−(2k+4)t+3−k≥0在(0,+∞)上恒成立，令g(t)=t2−(2k+4)t+3−k.当2k+42≤0，即k≤−2时，g(t)图象的对称轴在y轴的左侧，所以g(0)=3−k≥0，即k≤3，所以k≤−2；当2k+42>0 ，即k >−2 时，g(t) 图象的对称轴在y 轴的右侧，则Δ=(2k −4)2−4(3−k)≤0 ，所以3−√52≤k ≤3+√52 .综上，k ≤−2 或3−√52≤k ≤3+√52 .素养综合练17. [2022河北石家庄二中模拟]若函数f(x) 满足对任意的x ∈[n,m](n <m) ，都有n k ≤f(x)≤km 成立，则称函数f(x) 在区间[n,m](n <m) 上是“被k 约束的”.若函数f(x)=x 2−ax +a 2 在区间[1a ,a](a >0) 上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是( A )A. (1,2]B. (1,√323]C. (1,√2]D. (√2,2] [解析]由题意得12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 对任意的x ∈[1a ,a](a >0) 都成立.由a >1a 且a >0 ，得a >1 ，则f(1a )=1a 2−1+a 2>2−1=1>12a 恒成立. 由f(a)=a 2−a 2+a 2=a 2≤2a ，且a >1 ，得1<a ≤2 .因为a >1 ，所以f(1a )=1a 2−1+a 2<1−1+a 2=a 2 .f(x)=x 2−ax +a 2 图象的对称轴方程为x =a 2 ，由f(a 2)=3a 24≥12a ， 得a ≥√233 .因为√233<1 ，所以a 的取值范围为(1,2] .故选A.。
2025版高考数学一轮总复习知识必备第一章集合与常用逻辑用语不等式1
1.3 等式性质与不等式性质课程标准有的放矢梳理等式的性质，理解不等式的概念，驾驭不等式的性质.必备学问温故知新【教材梳理】1.基本事实（1）.（2）.（3）.2.等式的基本性质性质1：假如，那么；性质2：假如,，那么；性质3：假如,那么；性质4：假如,那么;性质5：假如,,那么.3.不等式的基本性质序号性质简称性质1 对称性传递性性质2,性质3 可加性性质4乘法法则,；,性质5相加法则,相乘法则性质6,性质7 乘方法则常用结论1.基本性质的推论（1）开方法则：.（2）倒数法则：,.（3）异向相减：,.（4）异向相除：,.2.分数性质若，，则（1）真分数性质：；.（2）假分数性质：；.其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（浓度变大）；糖水析出糖后，糖水变淡（浓度变小）.”自主评价牛刀小试1. 推断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若，则.（×）（2）一个不等式的两边加上或乘同一个实数，不等号方向不变.（×）（3）一个非零实数越大，则其倒数就越小.（×）（4），.（×）（5）若，且,则,,.（×）2. （教材题改编）已知,,，则,的大小关系是（A）A. B. C. D. 不能确定解：由题意，得,因此.故选.3. 若，则（C）A. B. C. D.解：，故正确，易知,,错误.故选.4. （教材题改编）一个两位数，个位数字是，十位数字是，且这个两位数大于70，用不等式表示为.解：由题意，得.故填.。
第一章 命题、不等式
第一章 命题、不等式第一节 命题与条件【知识梳理】1.四种命题及其相互关系；2.充分条件和必要条件。
【例题精析】[例1]（1）下面有四个命题：①集合N 中最小的数是；②若a -不属于，则a 属于N ；③若,a Nb N ∈∈则ab+的最小值为；④212x x +=的解可表示为{1,1}.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若(,)a b o a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若0a≠，且0(,)b ab R ≠∈则220a b +≠C ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ （3）若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （4）给出以下四个条件：①0ab >；②0a>或0b>；③2a b +>；④0a>且0b>.其中可以作为“若,a b R ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是__________.（5）设有两个命题：p :不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题q :()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是__________.[例2] 写出命题“若都是偶数，则a b+是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.[例3] 证明是无理数.[例4] 已知方程22(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个实数大于1的实数根的充要条件。
一元一次不等式与不等式组复习大纲
（2）在同一数轴表达不等式的解集。
x x 1 1 32
解：x 6 x 1 6 1 6
3
2
2x 3(x 1) 6
2x 3x 3 6
-x3
x 3
2x 1 5 ① x 2 1 ②
解：解不等式① 得，x 2
解不等式 ② 得，x 3
-1 0 1
2
34
所以原方程组的解为：2 x 3
第一章一元一次不等式（组）
复习大纲
一、不等式（组）概念 二、不等式的性质 三、一元一次不等式（组）的解法 四、一元一次不等式（组）的应用 五、一元一次不等式（组）与一次函
数的关系。
一、不等式（组）有关概念
1.不等式：用不等号连接的式子。 如：2>-1, a<b, x+y>0等
2.不等式的解：使得不等式成立的未知数的值。 3. 不等式的解集：使得不等式成立的全部未知 数的值。 4.一元一次不等式：（1）只含有一种未知数
惯用不等式性质：
1.若a b, 那么b a。 2.若a - b 0, 那么a b。 3.若a - b 0, 那么a b。
4.若a b, c 0那么ac bc。
5.若a b, c 0那么ac bc。
三、不等式（组）的解法：
1.项合并同类项 （4）系数化为1 2.解不等式组环节： （1）解出不等式的解集
（2）未知数的次数是1 （3）分母中不含有未知数 5.一元一次不等式组的解集：各个不等式的解集 的公共部分。
二、不等式的性质
（1）不等式的两边都加上（或减去） 同一种整式，不等号的方向不变。
（注：移项要变号，但不等号不变。）
（2）不等式的两边都乘以（或除以） 同一种正数，不等号的方向不变。
第一章：一元一次不等式与一元一次不等式组复习总结
一元一次不等式和一元一次不等式组复习【基础知识导引】一、不等式及其基本性质1．定义：凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)“≠”连接的式子叫做不等式．2．性质性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．二、不等式的解集1．不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．2．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式．三、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示．四、一元一次不等式组和它的解法1．一元一次不等式组的解集一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．2．解不等式组求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．3．解一元一次不等式组的两个步骤(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【典型习题】1.填空题(1)若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k的取值范围是_________．(2)若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a 的取值范围是_____________． (3)在下面横线上填上等号或不等号．设m ＞n ，那么m-5________n-5；-5m__________-5n ；10m _____________10n；mp____________np 。
(4)有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________．(5)已知0≤a ≤15，且a ≤x ≤15，则当x_________时，式子｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小． 2.计算题 (1)16144<--+x x (2) 56541331-≤-⎪⎭⎫⎝⎛---x(3)（2012北京，14，5分）解不等式组：4342 1.x x x x ->⎧⎨+<-⎩，(4)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥+>+-21312823x x x x )x (．并把它的解集在数轴上表示出来．（5）（2012广西南宁，20，6分）解不等式组()213214x x x x <+⎧⎪⎨--≤⎪⎩， 并把解集在数轴上表示出来．（6）（2012山东枣庄，19，8分） 解不等式组，()11338312x x x x -+⎧+⎪⎨⎪--<-⎩≥①②并把解集在数轴上表示出来．(7)（2012四川巴中，23，5分）解不等式组并写出不等式组的整数解.(8)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+3122413x x x )x (，并写出此不等式组的整数解．3.解答题(1)求使方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x,y 都是正数的m 的取值范围．(2) p 为何值时，方程)6(213)72(21)3(51p x p x p x x --=+++-有负数解．(3)分别解不等式2x-3≤5(x-3)和13161>+--y y ，并比较x ，y 的大小．(4)当a 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=-62384y x y ax 的解是正数．(5)某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。
03 第一章 第三节 不等式的性质与基本不等式
2．函数y＝
1
2
解析：因为x＞0，所以y＝
x
1
1
1
＝
≤
，当且仅当x＝
，即x＝1时，等号
x2 +1 x+1 2
x
x
成立．
9
3．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是____．
2
4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________.
1
2
x+(1－x) 2
(0，10)
解析：由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3，所以－3<－
a<2.由不等式的性质可得－5<b－a<5，所以0<b－a<5.因为－2<c<0，所以0<－
c<2，所以0<－c(b－a)<10，即0<c(a－b)<10，所以c(a－b)的取值范围是(0，
10)．
第三节
(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不
可除．
第三节
不等式的性质与基本不等式
必备知识
核心考点
落实“四基”
提升“四能”
课时质量评价
利用基本不等式求最值
考向1
配凑法求最值
4
【例1】(1)若x＞2，则函数y＝x＋
的最小值为(
x－2
A．3
B．4
C．5
D．6
√
D
)
4
解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋
1 3
解析：x(3－3x)＝3x(1－x)≤3
一元一次不等式和一元一次不等式组的复习
a 2 > 0 （2）例 2：在 2 y 2- 3 y + 1 > 0 ， y 2+ 2 y + 1 = 0 ， - 6 < -2 ， ab 2 ， 3x 2 + 2 - 1 ，3- y < 0 ，7 x + 5 ≥ 5x + 6 中，是一元一次不等式的是 1 - a 则 a 的取值范围是 n > a ，那么 a 的取值范围是（a ， a 之间的大小关系是 m - 3 ，则 m 的取值范围是b > 1 ，则下列各式正确的是（ A. a B. a C. a b > -1 b < -1 b > 1 b < 1 b > 0 1、例 1：解不等式① x + 1 2 - x + 23 < x + 52 ② 学习好资料欢迎下载第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组的复习一、 不等式的概念和性质 （一）不等式的概念（1）例 1：已知① x + y = 1 ；② x > y ；③ x + 2 y ；④ x 2 - y ≥ 1 ；⑤ x < 0 其中属于不等式的有（）A. 2 个B. 3 个C.4 个 D.5 个2 x72 y - 1（二）不等式的性质：1、例：如果不等式 (a - 1) x > a - 1 的解集是 x < 1 ，那么 a 的取值范围是。
2、练习：A. ab 2＞0B. a 2＋ab ＞0C.a ＋b ＞0D. b⑽当 a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0 时，把 a 、b 、－a 、－b 四个数用“＜”连接是⑾若 x > y ，则 ax > ay ,那么一定有（ ）A. a ＞0B. a ＜0C. a ≥0D. a ≤0⑿若 x > y 则 ax ≤ ay ，那么一定有（ ）A. a ＞0B. a ＜0C. a ≥0D. a ≤0⒀若 x < y ，则 a 2 x < a 2 y 那么一定有（ ）A. a>0B. a<0C. a ≠0D. a 是任意实数 ⒁若 4a ＞5a 成立，那么一定有（ ）A. a ＞0B. a ＜0C. a ≥0D. a ≤0⒂ 已 知 x ＜ 0 ， － 1<y ＜ 0 ， 将 x ， xy ， xy 2 从 小 到 大 依 次 排⑴已知关于 x 的不等式 (1 - a) x > 2 的解集为 x < 2⑵如果 m < n < 0 那么下列结论错误的是（ ）。
第1章 1.2 基本不等式
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[再练一题] 4.求函数y＝xx2－＋18(x＞1)的最小值.
【导学号：38000005】
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【解】 因为x＞1，所以x－1＞0. 所以y＝xx2－＋18＝x－1x2－＋12x＋7＝x－12＋x－21x－1＋9＝(x－1)＋x－9 1＋2 ≥2 x－1·x－9 1＋2＝8， 当且仅当x－1＝x－9 1， 即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
【答案】 B
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【证明】 因为m＞0，n＞0，则m2＋n4≥2mn2，m4＋n2≥2m2n， 所以(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3， 当且仅当m＝n＝1时，取等号.
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利用基本不等式求最值 (1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；
第一章 §1.6 基本不等式
§1.6 基本不等式 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”． 微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( × )(2)(a ＋b )2≥4ab .( √ )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × )题组二 教材改编2．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( )A ．1B ．2C ．2 2D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．3．已知函数f (x )＝x ＋1x ，若方程f (x )＝a 有实数根，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－2] B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析 f (x )＝x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝x ＋1x ≥21＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．当x <0时，f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )≤－2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，等号成立．综上，f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25，即矩形场地的最大面积是25 m 2.题组三 易错自纠5．函数y ＝x x 2＋1(x >0)的最大值为________． 答案 12解析 y ＝x x 2＋1＝1x ＋1x≤12. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立． 6．函数y ＝x 2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 4解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (3－2x )的最大值为________．答案 98解析 x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号． (2)已知x >54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________． 答案 5解析 ∵x >54，∴4x －5>0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号． (3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.命题点2 常数代换法例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立， 所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选A.命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 方法一 (换元消元法)由已知得9－(x ＋3y )＝13·x ·3y ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号． 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6. 本例条件不变，求xy 的最大值．解 方法一 9－xy ＝x ＋3y ≥23xy ，∴9－xy ≥23xy ，令xy ＝t ，∴t >0，∴9－t 2≥23t ，即t 2＋23t －9≤0，解得0<t ≤3，∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，∴xy 的最大值为3.方法二 ∵x ＝9－3y 1＋y， ∴x ·y ＝9－3y 1＋y ·y ＝9y －3y 21＋y＝－3(y ＋1)2＋15(y ＋1)－12y ＋1＝－3(y ＋1)－12y ＋1＋15≤－23(y ＋1)·12y ＋1＋15＝3. 当且仅当3(y ＋1)＝12y ＋1，即y ＝1，x ＝3时取等号． ∴xy 的最大值为3.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x ⎝⎛⎭⎫x <12，则( ) A ．f (x )有最小值52B ．f (x )有最小值－32C ．f (x )有最大值－12D ．f (x )有最大值－32答案 D解析 ∵x <12， ∴12－x >0，f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤112－x ＋⎝⎛⎭⎫12－x ＋12≤－2＋12＝－32， 当且仅当112－x ＝12－x ，即x ＝－12时取等号，故f (x )有最大值－32. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18·(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12.题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， 所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝16n，即n ＝4时取等号， 所以S n ＋8a n 的最小值是92.命题点2 求参数值或取值范围例5 (2021·厦门联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m，即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故实数a 的最大值为22，故选B.思维升华 (1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2 (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B.(2)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( )A.23B.79C.13D.59答案 B解析 由题意结合正弦定理有3a ＝b ＋c ，结合余弦定理可得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 322bc＝89b 2＋89c 2－29bc 2bc ＝89b 2＋89c 22bc －19 ≥2×89b ×89c2bc －19＝79.当且仅当b ＝c 时等号成立．综上可得，cos A 的最小值是79.题型三 基本不等式的实际应用例6 小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)，由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10.因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y ＋(25－x )x＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－225＝9， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立， 所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．素养提升 (1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)构建数学模型，提升数学建模核心素养．跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元． 答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫32×150%＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立)． 2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.一、利用柯西不等式求最值例1 已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值为________． 答案3解析 2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x )2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当x ＝y ＝33时取等号． 所以2x ＋y 的最大值为 3.例2 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________． 答案6437解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9， 所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立， 所以4x 2＋y 2的最小值为6437.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有222(111)n +++个(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e -xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1) 答案 C2．已知a >0，且b >0，若2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( ) A.14 B ．4 C.12 D ．2 答案 D解析 4＝2a ＋b ≥22ab ， 即2≥2ab ，两边平方得4≥2ab ，∴ab ≤2，当且仅当a ＝1，b ＝2时，等号成立， ∴ab 的最大值为2.3．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件答案 B解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 5．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ )已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a -b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．6．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2ab a ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 答案 ACD解析 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab，即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立； ∵a ＋b ≥2ab >0， ∴2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不一定成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b ≥2ab －ab ＝ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，∴a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故C 一定成立；∵(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4， 当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．7．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0,8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·322a b-＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.8．已知实数a ，b 满足|ln a |＝|ln b |，a ≠b ，则1a ＋4b 的最小值为________．答案 4解析 因为|ln a |＝|ln b |且a ≠b ，所以ln a ＝－ln b ， 即ln a ＋ln b ＝0， 所以ln(ab )＝0， 所以ab ＝1，a >0，b >0， 所以1a ＋4b≥24ab ＝4，当且仅当a ＝12，b ＝2时，等号成立． 9．若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为________． 答案 94解析 (a ＋1)(b ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋(b ＋1)22＝94，当且仅当a ＋1＝b ＋1，即a ＝b ＝12时取等号，故(a ＋1)(b ＋1)的最大值为94.10．命题“∀x ∈(1，＋∞)，x 2－ax ＋a ＋2>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，23＋2)解析 依题意∀x ∈(1，＋∞)，x 2－ax ＋a ＋2>0恒成立， 即a (x －1)<x 2＋2，即a <x 2＋2x －1恒成立，∵x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1 ＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．∴a <23＋2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ， 即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立， ∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 解 (1)所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 14．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________；2x ＋y 的最大值为________． 答案 15 2105解析 ∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x 时取等号，∵4x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y 时，取等号．15．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D 解析 ∵a >b >0， ∴a －b >0，∴a (a －b )>0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )＝1a (a －b )，ab ＝1ab ，即a ＝2，b ＝22时等号成立． ∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.16．已知a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数． (1)求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32； (2)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式－x 2＋mx ＋2≤a 2＋b 2＋c 2对所有满足题设条件的正实数a ，b ，c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． (1)证明 因为a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数，所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝16[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝16⎣⎢⎡3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c c ＋a ＋c ＋a b ＋c＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b c ＋a ＋a ＋c a ＋b ≥16(3＋2＋2＋2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号， 所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32得证．(2)解 因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)， 因此a 2＋b 2＋c 2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)， 所以(a 2＋b 2＋c 2)min ＝3，由题意得－x 2＋mx ＋2≤3恒成立， 即得x 2－mx ＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m 2－4≤0 ⇒－2≤m ≤2.故存在实数m ∈[－2,2]使不等式－x 2＋mx ＋2≤a 2＋b 2＋c 2成立．。
第一章：一元一次不等式知识点复习
8年级下册数学期末测试第一章：一元一次不等式知识点复习1、不等式的定义：一般地，用符号‘‘______________________”连接的式子叫做不等式。
例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥124x x->-； ⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。
2、不等式的基本性质记住：不等式两边同乘同除同一负数，不等号方向改变。
比如：不等式b >ax 的解集是abx <，一定会有0<a 。
如果0<<n m ，那么下列结论中错误的是（ ） 【答案C 】A ．99-<-n m B. n m ->- C. m n 11> D.1>nm3、不等式解集的数轴表示不等式3x <的解集在数轴上表示为（ ）．． C ．． 记住：小于向左，大于向右，有等实心，无等空心（数轴的箭头方向别忘了） 4、一元一次不等式的解法131321≤---x x 解不等式：解：去分母，得______________________ （不要漏乘哟！每一项都得乘） 去括号，得________________________ （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 _____________________ （移项要变号） 合并同类项，得 ____________________ （计算要正确） 系数化为1， 得 ___________ （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 5、不等式的特殊解：（先解除不等式，再取符合条件的值）不等式53-x ＜x +3的正整数解有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6、求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）关于不等式22x a -+≥的解集如图所示，a 的值是（ ） A 、0 B 、2 C 、－2 D 、－4 7、不等式组的解集解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．23112.2x x x -<⎧⎪⎨-+-⎪⎩， ① ≥ ②7、求不等式组中字母的取值已知不等式组3210x x a +⎧⎨-<⎩，≥无解，则a 的取值范围是记住：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！ 【（1a -≤）别忘等号】8、一元一次不等式（组）的应用（1）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到5个苹果。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1
>
������ ������2+1
,
故正确;对于选项
D,当 c=0 时不正确.
答案:C
【做一做2-2】 下列命题中正确的有
.
①若a>b,则ac2>bc2;
②若
������ ������2
>
������ ������2
,
则a>b;
③若
a>b,ab≠0,则
1 ������
<
1 ������
;
④若 a>b,c>d,则 ac>bd;
C.
������ ������2+1
>
������ ������2+1
D.a|c|>b|c|
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都
为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
确;对于选项
C,由
1 ������2+1
>
0,a>b,可知
������ ������2+1
(3) 加(减) 如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b⇔a+c>b+c
(4)
乘(除)
如果 a>b,c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc
(5) 乘方 如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N*,且 n≥2)
(6) 开方 如果 a>b>0,那么������ ������ > ������ ������(n∈N*,且 n≥2)
北师大版八年级下数学第一章不等式复习课件
（2）m的2倍与n的5倍的差不大于7； 2m-5n≤7 （3）x与y的5倍的差最多为5.
x-5y≤5
3.如果a<b,用适当的符号填空. ＜ (1) a+c___b+c;
(3) 2a+10___2b+10; ＜ ＞ (2) -3a___-3b; ＜ (4) a-b___0;
自学指导二： （3分钟）
1.下列说法不正确的是( D ) A. 不等式x<3的整数解有无数个;
自学指导三： （5分钟）
1.下列式子:①3x2+2x>5; ②2x-5>3y+1;③3x+1<7;
2 ④-3>0. ⑤ － x +2<3; ⑥ y>0.中是一元一次不等式的
③⑥ 有_________.( 填序号)
2.如图是一次函数y=kx+b的图象, 观察图象回答问题:
y
2
0
1
x
(1)x 等于1时,y=0; (2) x 小于1 时.y>0; (3) x 大于1 时.y<0 3.移项 x-11 2x+1 3.求不等式 >-1的非负整数解. 1. 去分母 3 4 4.合并同类项 解： x -311 - 2x4- 1 < -12.去括号 4x - 6x < -12 + 44 - 3 5.系数化为1
1. （1）不等式x<3.5的非负整数解是 0, 1，2，3; （2）不等式x<－3.5的最大整数解是_______; －4 2. 已知关于x的不等式m-2x<3的解集如图，则m的值 －1 为_______.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
2.根据题意确定不等式组 3.已知关于x不等式-5x+a<3的负整数解为 -1,-2,求a的取 值范围. ∵ x取负整数是 -1，-2 a -3 解： -5x+a<3 5 ＜-2 ∴-3≤ a-3 -5x＜3-a 即 3≤ ＜-2 a-3 5 x＞ 5 解得：-12≤a＜-7 1.用含a的式子表示x的取值 3.解不等式组确定a的取值
中职数学第一抡复习讲义第01章 集合与不等式
答案（1）1.
（2）-3.
.
.
第二节 集合与集合的关系
知识清单
（一）集合的关系
1.子集
（1）定义：对于两个集合A与B，如果集合A中所有元素都
在集合B中，则称集合A为集合B的子集，记作
A⊆ B （或B⊇A）.
（2）性质：
①A ⊆ A.
②Φ ⊆ A.（空集是任何集合的子集）
C. = 2 + 1, ∈ D. = 2 − 1, ∈
答案 D
【点评】N表示自然数，Z表示正数，奇数为不能
被2整除的整数.
知识点3：集合的表示方法（描述法）
6.(1)若2∈ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是___.
(2)若4 ∉ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是
中职数学知识点通关秘籍
第一章 集合与不等式
第一节 集合的表示
第二节 集合的关系及运算
第三节 充要条件
第四节 不等式的性质及区间
第五节 一元二次不等式的解法
第六节 含绝对值的不等式的解法
第一节 集合的表示
知识清单
1.
（1）定义：由某些确定的对象组成的总体称为集合，常用
大写英文字母A，B，C，…表示.其中，组成集
③若A ⊆ B，B ⊆ C，则A ⊆ C.
④含有n个元素的集合子集的个数为 个，其中真子集的个
数为 -1个.非空真子集个数为 -2个。
2.相等集合
如果Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊇B，且B ⊇A，则称集合A与B相等，记作 = .
注意:若两个集合相等，则两个集合所含元素相同.
3.真子集
第一章 集合与不等式
第四节 不等式的性质及区间【知识梳理】1、不等式的基本性质（1）传递性：若a ＞b ，且b ＞c ，则a ＞c . （2）加法性质：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c. （3）乘法性质：若a ＞b ，且c ＞0，则a c ＞b c ； 若a ＞b ，且c ＜0，则a c ＜b c.推论：（1）同向不等式可加性：若a >b,c >d,则a +c >b +d. （2）异向不等式可减性:若a >b,c <d,则a −c >b −d. （3）若a >b >0,c >d >0,则ac >bd. （4）可开方性：若a >b >0，则√a n>√b n（5）可乘方性：若a >b >0，则a n =b n .【例题精讲】题型一：比较实数的大小例1. 比较x 2+3x 与5x −2的大小. 练习1、（1）比较a 2+b 2与2ab 的大小；（2）比较(x 2+1)2与x 4+x 2−2x 的大小； （3）比较a 2+b 2与2(a −b −1);（4）已知a ≠b ,比较ab −a 2与b 2−ab 的大小； （5）已知x >3,比较x 3+3与3x 2+x 的大小. 题型二：不等式的基本性质例2. 若a >b,c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A．ac2>bc2 B.ac>bc C.c-a<c-b D.a2>b2练习2、若ac>bc,则（）A．a>b B.a<b c.a≥b D.无法确定a与b的大小关系3、下列命题中正确的是（）A．若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则a−c>b−dC.若a>b,c>d，则ac>bdD.若a>b>0,则ca >cb4、填空：若a<b<0,c<0，则（1）ac bc （2）a+2c b+2c （3）c-a c-b（4）(a−1)2c2 (b−1)2c2（5）ca cb（6）a2b2【知识梳理】2、区间（1）定义：数轴上两点之间的一切实数组成的集合.（2）区间的分类：注意：（1）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，其中符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大”.（2）区间是数集的另一种表示形式，其左端必须小于或等于右端，且区间只能表示连续的数集.例3.集合{x|1<x≤3}用区间表示为（）A．(1,3] B.[1,3) C.(1,3) D. [1,3]例4.设集合A=（-3,2），B=（a,+∞），若A⊆B，求a的取值范围.练习：已知集合A=(−∞，1],B=(−1,5),全集U=R，用区间表示下列集合：（1）A∪B （2）（c u A）∩B （3）（c u A）∩(c u B）【知识梳理】3、解一元一次不等式组的步骤（1）求不等式组中各不等式的解集.（2）求各不等式解集的公共部分.例5.解下列不等式（组），并将解集用区间表示.(1)x−x−12>2x−33+x+16(2){5−9x>12−5x5x+6>3x第五节一元二次不等式的解法【知识梳理】1、概念：只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．2、一般形式：ax＋bx＋c＞0或ax＋bx＋c＜0(a≠0)．3、解法：（1）因式分解： (x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)<0的形式．（2）图像法：4、解题步骤①化标：将二次项系数化为“+”，即a>0：ax2+bx+c<0(>0)②求根：计算判别式Δ，解方程ax2+bx+c=0③定解：Δ>0时大于取两边，小于取中间【例题精讲】题型一：解不等式例1.解下列不等式（1）x2−2x−3<0 (2)−6x2≤13x+2（3）−x2+10x−25≥0（4）2x2+x+3>0练习1、（1）x2+x+6>0 （2）x2−3x−4>0（3）x2−2x−3<0 （4）x2+6x+9≥0题型二：解含参数的不等式例2 若a<0,解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0练习2、解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0例3 已知解关于x的不等式x2−ax−b<0的解集为{x|2<x<3},求a,b的值.练习3、已知ax2+bx+c>0的解集为（13，12），求bx2+cx+a>0的解集.题型三：恒成立问题①一元二次不等式ax2+bx+c>0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ<0②一元二次不等式ax2+bx+c≥0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ≤0③一元二次不等式ax2+bx+c<0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ<0④一元二次不等式ax2+bx+c≤0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ≤0例4 已知关于x的不等式x2+2(k−1)x+1≥0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围。
第一章 一元一次不等式复习(2)
某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料 290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产 品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种 原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元； 生产一件B种产品，需要甲种原料4千克，乙种 原料10千克，可获利润1200元。
0
3x 5 x 2a
8：已知x=1是不等式组
2
3(x a) 4(x 2) 5
的解，求a的取值范围。
解下列不等式组
(1)
5x 15
6 4x, 9x 10
4x;
(2)
2 (x+2) ＜ x+5 ① 3 (x-2)+8 ＞2x ②
1 x x （3） 3 2
（4）2≤3x-7<8
1:不等式4-3x>0的解是（ D ）
A、x 4 3
C、x 4 3
B、x 4 3
D、x 4 3
2:不等式组
x x
2 3
的解集是(
C
)
A, x 2 B, x 2 C, x 3 D,2 x 3
3:不等式组
是（D）
x x
1 的0 解集在数轴上的表示正确的 2 1
A
-1
3
B
-1
3
C
-1
3
D
-1
3
4：不等式组2xx2115的解集是__2_<_x_<_3___.
3(x 2) 4 5x
5：解不等式组
x
1 2
x
3x
1
6：不等式 2x 3 的最小整数解为（ A ）
x 1 8 2x
A，-1
B，0
高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式复习
不等式复习题1.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
2. 不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是〔 〕A ．{}10<≤x x B. {}1,0-≠<x x x C. {}11<<-x x D. {}1,1-≠<x x x2. 不等式1312>+-x x 的解集是〔 〕 A. ),4(+∞ B. ),21(+∞ C. ),21()3,(+∞--∞ D. ),4()3,(+∞--∞3. 0>a ，0>b 那么不等式b xa ->>1的解是〔 〕 A.bx a 11<<- B.b x a 11-<< C.01<<-x b ,或者a x 1> D.b x 1-<，或者a x 1>4. 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，那么实数a 的取值范围是A. )2,(-∞B. []2,2-C. ]2,2(-D. )2,(--∞5. 假设不等式a x x <-+-43的解不是空集，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A 、a>1B 、a<1C 、1≥aD 、1≤a{}01032≥++-=x x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，假设∅≠B A ，那么m 的取值范围是〔 〕A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21 B.),4()21,(+∞-∞ C. []4,2 D.)4,2( ．7. 下面给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(0,2)-D ．(2,0)8．假设不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，那么a 的取值范围是〔 〕Ａ．5a <Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或者7a ≥9．给出平面区域如下图，假设使目的函数)0(>+=a y ax z 获得最大值的最优解有无穷多个，那么a 的值是〔 〕A ．41 B.53C ．4D ．35R b a ∈,，且b a >，那么〔 〕A.22b a > B.1<a b C.0)lg(>-b a D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111. 12=+y x ，那么yx 42+的最小值为〔 〕A ．8B ．6C ．22D ．23 12. R b a ∈,，且0<ab ，那么〔 〕A.b a b a ->+ B. b a b a -<+ C. b a b a -<- D. b a b a +<-13．+∈R b a ,，且4=+b a ，那么A. 211≥abB. 111≥+b aC..2≥abD.41122≤+ba 14.cb a<<，且0=++c b a ，那么ac b 42-的值〔 〕15、),2(),(),2(,,,)21()(ba abf H ab f G b a f A R b a x f x +==+=∈=+ 那么A,G,H 的大小关系是〔 〕A 、H G A ≤≤B 、G H A ≤≤C 、A H G ≤≤D 、A G H ≤≤ 16.设x 、y 满足x+4y=40,且+∈R y x ,，那么lgx+lgy 的最大值是〔 〕 A 、40 B 、10C 、4D 、217. 不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件是〔 〕 A. 0>>b aB. 00<>b a ，C. 0<<a bD.011>>ba0))((≥---c x b x a x 的解为21<≤-x 或者3≥x ，那么不等式0))((≤---b x a x c x 的解集为____________. 19. 设1≥x，那么函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 .20 . 假设不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.21. 解关于x 的不等式)0(12)1(2>>+-+a x ax x a .22.变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，求〔1〕2z x y =+的最值〔2〕z=2+=x yz 的取值范围是 (3)求22)21()2(-+-=y x z 取值范围23．求函数y=4522++x x 的最值.24.R c b a ∈,,，且ab+bc+ac=1,求证：1222≥++c b a25.设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++ .8m 3,深为2m 的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池的最低总造价.27．本公司方案2021年在甲、乙两个电视台做总时间是不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费HY 分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间是，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
第一章 1.5基本不等式
即正实数a的最小值为4，故选B.
解析 由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2， 所以8aa＋b b＝1a＋8b＝121a＋8b(2a＋b) ＝1210＋ba＋1b6a≥1210＋2 ba·1b6a ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当ba＝1b6a，即 a＝31，b＝34时等号成立， 所以8aa＋b b的最小值为 9，故选 B.
(2)已知 x<45，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为__1___.
解析 因为 x<54，所以 5－4x>0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，取等号. 故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为 1.
所以 f(x)≥2 1＋2＝4， 当且仅当－(x＋1)＝－x1＋1，即 x＝－2 时，等号成立. 故f (x)有最小值4.
命题点2 常数代换法
例 2 若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则m1 ＋1n的最小值为
√A.3＋2 2
B.3＋ 2
C.2＋2 2
D.3
解析 因为2m＋n＝1，
则m1 ＋1n＝m1 ＋1n·(2m＋n)＝3＋mn ＋2nm ≥3＋2 mn ·2nm＝3＋2 2， 当且仅当 n＝ 2m，即 m＝2－2 2，n＝ 2－1 时等号成立， 所以m1 ＋n1的最小值为 3＋2 2，故选 A.
方法二 (代入消元法) 由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12 ＝3(1＋y)＋11＋2y－6≥2 31＋y·11＋2y－6 ＝12－6＝6， 当且仅当 3(1＋y)＝11＋2y，即 y＝1，x＝3 时取等号，
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2 x 3a 7b 2、若不等式组 的解集为5<X<22 6b 3 x 5a
求a、b的值
不等式组的应用
• ２．已知利民服装厂现有Ａ种布料70米， Ｂ种布料52米，现计划用这两种布料生产 Ｍ，Ｎ两种型号的时装共80套，已知做一 套Ｍ型号时装需Ａ种布料0.6米，Ｂ种布料 0.9米；做一套Ｎ型号时装需Ａ种布料1.1 米，Ｂ种布料0.4米；若设生产Ｎ型号的时 装套数为Ｘ，用这批布料生产这两种型号 的时装有几种方案
最简不等式组（a<b)
数轴表示
a
a a a b b
解集 x>b
口决 同大取大 同小取小
x>a x>b x<a x<b x>a x<b x<a x>b
b
b
x<a
a<x<b 大小小大取中间 无解
大大小小就无解
（八）不等式组的解集
1、
x4 x 2 1 , 3 5 2( x 1) x 2 7 x 2 3 2.
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以 （或除以）同一个正数，不等号的方向 不变。
如果a＜b,且c＞0,那么ac＜bc 如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc
不等式基本性3：不等式的两边都乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。
如果a＜b,且c＜0,那么ac＞bc 如果a＞b,且c＜0,那么ac＜bc
x 3、求不等式 42 2 5( x 4) 0 的正整数解
2x 1 3x 2 4、X是哪些非负整数时， 的值不小于 3 5
与1的差 5、解关于X的不等式： （m-2)x ＜m+1
（六）一元一次不等式与方程、 函数的关系
1、K为何值时，方程 2x-3k-6=-2 的解为正数？
2x+y=m+1
利用两个一次函数的图象求一元一次不等式的解集：
对于两个一次函数y1 =k1x+b1和y2=k2x+b2，若比较y1与y2的大 小，则为比较k1x+b1与k2x+b2的大小，即为求不等式 k1x+b1>k2x+b2（或k1x+b1>k2x+b2）的解集，或求方程 k1x+b1=k2x+b2的解。利用一次函数的图象解决这类问题会更加直 观。若y1>y2，则一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函y2=k2x+b2的 图象的上方，从而找出对应的x的取值范围即可；若y1<y2，则一 次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2=k2x+b2的图象的下方，从 而找出对应的x的取值范围即可。若y1=y2即为求一次函数 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点处的横坐标。解决这类问题关键是 确定两个一次函数图象的交点坐标。 例：已知y1=x+1,y2=2x，试用两种方法回答下列问题： y 4 解：（1）x=1; 3 （1）、当x取何值时，y =y ?
集？什么是一元一次不等式？
（五）、一元一次不等式的解法和步骤
练习 1、下列各式中，一元一次不等式是（ ）
1 A. x y 2 2 B.x 2 3 x 2 0 2x 1 5x C. 3 4 x D. x 5 3
2、下列说法正确的是 （ ）
A、X=3是2X＞3一个解 B、X=3是2X＞3的解集 C、X=3是2X＞3惟一解 D、 X=3不是2X＞3的 解
2、已知方程组
X-y=2m-1
试求出使x
大于y的m的范围
想一想 用“函数图象法”及“解不等式法”解函数
问题 如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
想 一 想 你解答此道题, 可有几种方法 ?
法一: 将函数问题转化为不等式问题. y 3 即 解不等式 -2x- 5 > 0 ; 2 1 法二: 图象法。 由图易知， -5 -4 -3 -2 -1 1 x -1 当 x < -2.5时 y>0 . -2 -3 -4 -5 -6
等式基本性质2：等式的两边都乘以 （或除以）同一个不为0的数，等式 仍旧成立
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
（三）。不等式有哪些基本性 质？
不等式基本性质1：不等式的 两边都加上（或减去）同一个 整式，不等号的方向不变。
如果a＞b,那么a+c＞b+c(或 a-c＞b-c).
如果a＜b,那么a+c＜b+c(或 a-c＜b-c).
例3、某饮料厂为了开发新产品，用A、B丙种果汁原料各19千克、 17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数 据： 饮料 (1)假设甲种饮料需配
每千克会含量
甲乙A（单位：千克 Nhomakorabea B（单位：千克）
0.5 0.3
0.2 0.4
制千克,请你写出满足 题意的不等式组,并求 出其解集.
(2)若甲种饮料每千克成本为4元,乙种饮料每千克成本为3元,设这两 种饮料的成本总额为y元,请写出y与x的函数关系式(不要求写自变 量的取值范围),并根据(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克 时,甲、乙两种饮料的成本总额最少？ 解：（1）由题意得： 0.5x+0.2(50-x) ≤19 0.3x+0.4(50-x) ≤17.2 解不等式组，得 28≤x≤30 （2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150。因为x越小，y越小，所以当 x=28时，y最小。即当甲种饮料配制28千克时，甲、乙两种饮料的 成本总额最少。
二、填空题
1、有理数在数轴上位置如图所示，用不 等号填空 a-b 0 a+b 0 ab 0
a
2
b
2
1/a
1/b
a
b
a b 0
三、比较大小
8 8 1、若m<n ,比较 m 2, n 2 7 7
2、
的大小
x x 1, x x 2
2 2
（四）、什么是不等式的解？什么是不等式的解
1 2
（2）、当x取何值时，y1>y2 （3）、当x取何值时，y1<y2?
(2).x<1;(3).x>1
-5 -4 -3 -2 -1
2 1 1 -1 2 3 4 -2
x
中考链接
(深圳南山区)某地电话拨号入网有两种收费方 式，用户可以任选其一： (A)计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上 网）． 此外，每一种上网方式都得加收通信费 0.02元/分．
（一）什么叫不等式？
根据数量关系列不等式 1、X是正数 2、 a 是非负数 3、-x 不大于10 4、x-8的绝对值是非正数 5、 X-6不小于15 6、8-X 是非正数
（二）. 等式有哪些基本性质？
等式基本性质1：等式的两边都加上 （或减去）同一个整式，等式仍旧 成立
如果a=b，那么a±c=b±c
（2）、利用不等式解决方案设计问题：
例1：某校在“五一”期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座 的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆， 并且有一辆不空也不满。
（1）求外出旅游的学生人数是多少？
（2）已知45座客车座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金300 元，为了节省租金，并保证每个学生都能有座，决定怎样租用客车， 使得租金最少？ 解：设单独租用45座的客车x辆，则单独租用了（x-1） 辆60座的客车。根据题意得： 0<45x-60(x-2)<60 解得:4<x<8 所以学生数为：45×5=225人、45×6=270人或45×7=315人。
一、判断题
1、不等式两边同乘以一个整数，不等号方向 不变 2、如果a＞b，那么3-2a ＞3-2b 3、如果a是有理数，那么-8a＞-5a 2 2 4、如果a＜b， 那么 a b 2 2 5、如果 a b ，那么a＞b 6、如果 a b ，那么a＞b 7、a为有理数，a ＞-a 2 2 8、如果a＞b，则 ac bc
（1）请你分别写出两种收费方式下用户每 月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时） 之间的函数关系式； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为 20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
13、一元一次不等式组： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组 成一个一元一次不等式组。 14、一元一次不等式组的解集： 一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个 一元一次不等式组的解集。 15、一元一次不等式组的解集的取法：
应用
某中学为了加强现代信息技术教学，要投资建一 个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房 配置教师用机一台，学生用机若干台，其中初级 机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500 元；高级机房教师用机每台11500元，学生用 机每台7000元，已知两机房购买计算机的总钱 数相等，且学校用于购置计算机的投资不少于 40万元，也不超过42万元，则此校建的初级机 房、高级机房各有多少台计算机？