2013-东北三省三校-二模-理科数学

2013年三省三校第二次联合考试
理科数学 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||3}A x x =<
，{|B x y =，则集合A B 为
A ．[0,3)
B ．[1,3)
C ．(1,3)
D ．(3,1]-
2．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．
的是 A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x y
B ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()n
i i i y bx a =--∑最小的a ,b 的值
C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱
D ．
2
21
2
1
()1()
n
i
i
i n
i
i y y R y y ==-=-
-∑∑越接近1，表明回归的效果越好
4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为
A ．
14
B ．
34
C ．38
D ．1116
5．已知为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若a 3 a 5=1
4
a 1，且a 4与a 7的等差中项为
9
8
，则S 5等于 A ．35 B ．33 C ．31 D ．29
6．将函数的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是
A ．cos 2y x =
B ．22cos
y x =
C ．1sin(2)4
y x π
=++
D ．22sin y x =
7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A ．3+
B ．8+
C ．6+
D ．11+8．已知圆M 过定点()2,0且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴截圆M 所得的弦长为AB ，则弦长||AB 等于
A ．4
B ．3
C ．2
D ．与点M 位置有关的值
9．当a > 0时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是
10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点
(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的等比中项，n 2
是2m 2
与c 2
的等差中项，则椭圆的离
心率为
A ．
12
B ．
14
C ．
2
D ．
3
11．已知函数321
()(1)(3)23
f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的
切线斜率是-3，则不等式组0
x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为
A ．
3
π B ．
2
π C ．π D ．2π
12．在底面半径为3，高为4+3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多
的为
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数1
2log ,1()12,1x
x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则((2))f f =__________。

14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为__________。

15．平面上三个向量OA 、OB 、OC ，满足||1OA =
，||OB
||1OC =
，0OA OB ⋅= ，则CA CB ⋅ 的最大值是__________。

16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，
()x f x e ax =-，若函数在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是__________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =
，c =3
cos 4
C =。

（1）求sin A 的值； （2）求ΔABC 的面积。

18．（本小题满分12分）
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。

为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ 、GEH ），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。

不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止
8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）
（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；
（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 分布列及数学期望； （3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19．（本小题满分12分）
已知四边形ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面
ABE ，AE ⊥BE ，BE = BC = 1，AE M 为线段AB 的中点，N 为线段DE 的中点，P 为线段AE 的中点。

（1）求证：MN ⊥EA ；
（2）求四棱锥M – EN –A 的余弦值。

20．（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦
点为F 1、F 2，点B 1为其短轴的一个端点，满足
1112||||2B F B F += ，11122B F B F ⋅=-。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点M (1,0)做两条互相垂直的直线l 1、l 2设l 1与椭圆交于点A 、B ，l 2与
椭圆交于点C 、D ，求AC DB ⋅
的最小值。

22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：集合证明选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线
BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D 。

（1）求证：CE 2 = CD · CB ；
（2）若AB = BC = 2，求CE 和CD 的长。

23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知点
P ，曲线C
的参数方程为x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ
为参数）。

以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方
程为2cos()
6
ρπ
θ=
-。

（1）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；
（2）设直线l 与直线C 的两个交点为A 、B ，求||||PA PB ⋅的值。

24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲 设函数()|27|1f x x =-+。

（1）求不等式()|1|f x x ≤-的解集；
（2）若存在x 使不等式()f x ax ≤成立，求实数a 的取值范围。

2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） BCCDC BBABA BC
二.填空题（本大题共4小题，每小题5
分，共20分）
13. 1
2 14. 4124 15.
3 16. (,)e +∞ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）
解：
（Ⅰ）3cos ,sin 44
C C =∴= 2'
1,sin sin sin sin 8a c A A C A
=∴==
6' （Ⅱ）222223
2cos ,21,2320,22
c a b ab C b b b b b =+-∴=+-∴--=∴= 9'
11sin 1222ABC S ab C ∆==⨯⨯=
12' 18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵10005%50⨯=，
由甲图知，甲组有4108421130++++++=（人），∴乙组有20人． 又∵4060%24⨯=，
∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人
乙组有(0.06250.0375)4208+⨯⨯=（人） ∴(18)5%180+÷=
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．4'
（Ⅱ）由乙图知，乙组在[12,24)之间有(0.0250.0250.075)42010++⨯⨯=（人）
在[20,24)之间有0.0754206⨯⨯=（人）
∴X 的可能取值为0,1,2,36'
30463101
(0)30C C P X C ===，
21463103
(1)10C C P X C ===，
12463101
(2)2C C P X C ===，
03463101
(3)6
C C P X C ===8'
数学期望13119
()01233010265
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 10' （Ⅲ）参考答案：
甲组学生准确回忆音节数共有：288
126122211841481010642=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯个
故甲组学生的平均保持率为
0.246.940
130288401=⨯=⨯ 乙组学生准确回忆音节数共有：
4324)0375.0300625.026075.022025.018025.0140125.0100125.06(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 个
故乙组学生平均保持率为
0.240.546.2140
1
20432401>=⨯=⨯， 所以临睡前背单词记忆效果更好. 12' （只要叙述合理都给分） 19. 解：方法一：
（Ⅰ）取AE 中点P ，连接,PM PN ，,//AE BE MP BE ⊥ MP AE ∴⊥ 又BC ⊥ 平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，BC AE ∴⊥ 又
,NP AE ∴⊥又,,NP MP P NP MP =⊂ 平面
PMN AE MNP ∴⊥平面，MN MNP ⊂ 平面 AE MN ∴⊥4'
（Ⅱ）过M 作MK NE ⊥于K ，连接KP
,//,MP AE AD BC AD ⊥∴⊥ 平面ABE ，
又PM ⊂ 平面ABE ，AD PM ∴⊥ 又AD AE A =
PM ∴⊥平面ADE PM DE ∴⊥
PM NE ∴⊥，又,MK NE MK MP M ⊥= ，
NE ∴⊥平面PMK ，NE PK ∴⊥
∴二面角PKM ∠为二面角M EN A --的平面角8'
在Rt MPK ∆中，11,224
PE PK PM BE PK DE AD =
==∴= A
B
C
D
E
M
N
P
K
KM
∴===
cos
7
PKM
∴∠=∴
二面角的余弦值为
7
12'
方法二：
（Ⅰ）BC⊥
平面,
ABE BC⊂平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD，BC AB
⊥
过B作BQ⊥平面ABCD，则BQ ABE
⊂平面
以,,
BA BC BQ分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
2
AB=
151
(2,0,0),(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,),(,,
22424
A B M D E N
∴
11
(,
424
MN
∴=
，
3
(,0,
22
AE=-
33
00
88
MN AE MN AE
∴⋅=-++=∴⊥
4'
（Ⅱ）
11
(,,
424
MN=
，
31
(,
42
NE=--
，设
111
(,,)
x y z
=
n为平面MNE的一个法向量
111
111
11
424
31
42
x y z
x y z
⎧
++=
⎪⎪
∴⎨
⎪--+=
⎪
⎩
1
1
1
1
1
x
y
z
⎧
⎪=
⎪⎪
∴=-
⎨
⎪
⎪=
⎪⎩
为满足题意的一组解(1,
∴=-
n7'
D
z
31(,,424
AN =-
，3(,0,22AE =- ，设222(,,)x y z =m 为平面ANE 的一个法向量
22
2223104230
22
x y z x z ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-+=⎪⎩
，22210x y z ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩为满足题意的一组解
，(1∴=m 7'
cos ,⋅<>=
=m n m n m n ∴
二面角的余弦值为7
12' 20. 解：（Ⅰ）不妨设 121(,0),(,0),(0,),F c F c B b - 1,22||1111=∴==+b b F B F B 1'
22112122B F B F c b c a ⋅=-+=-∴∴=
3'
所以椭圆方程为14
22
=+y x 4' （Ⅱ）①当直线1l 与x 轴重合时，
设)23
,1(),23,1(),0,2(),0,2(--D C B A ，
则15314AC DB ⋅=⨯+= 5'
②当直线1l 不与x 轴重合时，设其方程为1+=my x ，设),(),,(2211y x B y x A
由⎩⎨⎧=++=4
4122y x my x 得032)4(2
2=-++my y m 43,42,2
21221+-=+-=+m y y m m y y 6' MB MA MD MC MD MB MA MC DB AC ⋅-⋅-=-⋅-=⋅)()( ),(),1(),,(),1(22221111y my y x y my y x =-==-=
4
)1(3)1(22212
++=+-=⋅-∴m m y y m
由2l 与1l 垂直知：2
241)
1(3m m ++=
⋅-
)
41)(4()1(1541)1(34
)1(322222
222m m m m m m m +++=
+++
++=
⋅-⋅-=⋅∴ 10'
5
12
255)1(152
222=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≥
m m 当且仅当1±=m 取到“=”.
综合①②,min 12
()5
AC DB ⋅= 12'
21. 解：(Ⅰ)1
()l n ()l n ()1a g x xfx xa x x
-=-=-+≤-恒成立，
()1g x ≤-恒成立即m a x ()1g x ≤
-. 方法一：()1g x ≤-恒成立，则(1)11101g
a a a +=--++≤⇒≥2' 而当1
a ≥时，22
1
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x a x a x a g x x x x x a ---+--+--'===⇒==-+4'
1
10,x a
=-+≤则(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增，
当(
1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减， 则m a x
()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意. 即()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥；6'
方法二：2
222
111(1)(1)()a a x x a a x a x g x a x x x x
--++--+--'=-+==，2' (1)当0a =时，2
1
()x g x x -'=
，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 在(0,1)单调递减，
当(1
,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞单调递增， 则min ()(1)1g x g ==，不符题意；
(2)当0a ≠时，22
1
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x a x a x a g x x x x x a
---+--+--'===⇒==-+， ①若0a <，1
10a
-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，
()0g x '>，()g x 单调递增，则m a x
()(1)1211g x g a a ==-<-⇒>，矛盾，不符题意；4'
②若0a >，
（Ⅰ）若102a <<
，111,(0,1),()0x g x a '-+>∈<；1(1,1),()0x g x a
'∈-+>； 1(1,),()0x g x a '∈-++∞<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()g x 在1(1,1)a
-+单调递增，()g x 在1(1,)a
-++∞单调递减，(1)120g a =->不符合题意； （Ⅱ）若12a =时，(0,)x ∈+∞，()0g x '≤，()g x ∴在(0,)+∞单调递减，(1)120g a =-=，不符合题意.
（Ⅲ）若112a <<，1011a <-+<，1(0,1)x a ∈-+，()0g x '<，1(1,1)x a
∈-+，()0g x '>，(1,)x ∈+∞，()0g x '<， ()g x 在1(0,1)a -+单调递减，在1(1,1)a
-+单调递增，在(1,)+∞单调递减，(1)121g a =->-，与已知矛盾不符题意.
（Ⅳ）若1a ≥，1
10a
-+≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增； 当(1
,)x ∈+∞，()0g x '<， ()g x 在(1,)+∞单调递减， 则()(1)121g x g a >=-≤-，符合题意；
综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥6'
(Ⅱ) 由(I)知，当1a =时，有l n 1
x x ≤-，0x >；于是有 ln(1)x x +≤，1x >-.8' 则当0x >时，有 111l n (1)1l n (1)1(1)x x x x x e x
+<⇔+<⇔+<10' 在上式中，用*1111,,,,()23n N n
∈ 代换x ，可得
233412,(),(),,()23n n e e e e n +<<<< 相乘得(1)1!
n
n n e n n +<⇔+<12'
选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分.
22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
(Ⅰ)证明：连接BE.
∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC＝90°，CBE A ∠=∠……2分
,OA OE A AEO =∴∠=∠
∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE, ……4分
∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE ∴CE CD CB CE
= ∴CE 2＝CD•CB……6分 (Ⅱ)∵OB＝1,BC
∴CE ＝OC －OE
＝－1 ……8分
由(Ⅰ)CE 2 ＝CD•CB 得
1)2＝2CD
∴CD ＝3
－……10分
23.（本题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
解：（1
）直线:2cos()6
l πρθ-=
cos sin θρθ+直线l 的直角坐标方
y +=P 在直线l 上。

5'
（2）直线l
的参数方程为122
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为
22
1515
x y += 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，
有22213())15,28022
t t t -+=∴+-=，设两根为12,t t ， 121288PA PB t t t t ∴⋅===-=10'
24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()271f x x =-+.
（1）求不等式()1f x x ≤-的解集；
（2）若存在x 使不等式()f x ax ≤成立，求a 的取值范围.
解：（1）1172-≤+-x x
当1<x 时，)1(1)72(--≤+--x x 解得x x ∴≥7不存在
当271≤≤x 时，)1(1)72(-≤+--x x 解得2733≤≤∴≥x x 当27>x 时，)1(1)72(-≤+-x x 解得5275≤<∴≤x x 综上不等式的解集为[]5,35' （2）ax x ≤+-172
当2
7≥x ，能成立06)2(≥+-x a ， 满足，则若202≥≥-a a
2720627)202<≤≥+-<-a a a 解得，则（若 7
2≥∴a 当2
7<x 时，能成立08)2(≥-+x a ， 满足，则若202-<<+a a 不满足，则若202-==+a a
720827)
202>>-+>+a a a 解得，则（若 27
2-<>∴a a 或 综上，27
2-<≥a a 或10' 另解：
画出()271f x x =-+的图象，如下所示
x
若()f x ax ≤有解，则272-<≥a a 或10'。