2010三市高三数学第三次质量检测(文科答案)

2010三市高三数学第三次质量检测（文科答案）
一．选择题：
(1)C (2)A (3)B (4)B (5)C (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D
二．填空题：
(13) 69，(14)3π，(15) 390， (16)①②④． 三．解答题：
(17)（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C
B b B A B
+
=⇒+=
， …………………2分 即
sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=
，∴1
cos 2
A =． …………4分 ∵0πA <<，∴π
3
A =． …………………5分 （Ⅱ）m +n 2
(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2
C
B B
C =-=， …………………6分 ∴|m +n |222222π14cos cos cos cos (
)1[cos2cos(2)]323
B C B B B B π=+=+-=++-
111π
1[cos 2cos 22]1sin(2)2226
B B B B =+-=--． …………………8分
∵π3A =
，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈，从而ππ7π2666
B -<-<． ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2
取得最小值12．
所以，|m +n |min =
． …………………10分 (18)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M ，
则3433
()48
A P M ==． …………………3分
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N ，
则22243239
()416
C C A P N ==． …………………6分 （Ⅲ）设3位同学中，有2人选择A 选修课为事件E ，有3人选择A 选修课为事件F ，
则23339()464C P E ⨯==，3
11
()464
P F ==， ∵E ，F 互斥， ∴至少有2人选择A 选修课的概率为()()915
646432
()P E F P E P F +=
=+=+． （每个概率给2分） …………………12分
(19)（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）∵A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．
连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．
连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD=DC ，∴DE ∥AB 1，
又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1． ……………4分
（Ⅱ）设D 1是A 1C 1的中点，则DD 1⊥平面ABC ．
所以，以DB 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴（如图）建立空间直角坐标系．
设AB =2
，则B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)A -
，1B
，1(0,1C ．
∴1(3,1AB
=
，1(BC =， ∵113120AB BC ⋅=-++=，∴11AB BC ⊥，
即，AB 1与BC 1所成的角为90°． ……………8分 （Ⅲ）∵
BC 的中点1,0)2F ，∴33
(,0)2
AF =，
∴可取平面CBC 1的法向量为1(3,3,0)n =--． 设平面BC 1D 的法向量为2(,,)n x y z =，
则221,
,n DB n DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
⇒
0,
0,
y ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩ ∴可取2(0,n
=．
∵1212123cos ,12n n n n n n ⋅=
==
⋅⋅， ∴面DBC 1与面CBC 1所成的二面角为45°． ……………12分
(20)（本小题满分12分）
解：（I ）∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+， ……………2分
∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．
∴12n n a +=，即21n n a =-，*
n ∈N ． ……………4分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴212
n n n b b b +++=
，*
n ∈N ，∴{}n b 是等差数列． ∵11b =，8415b a ==，∴2d =，
∴12(1)21n b n n =+-=-，*
n ∈N ． ……………6分 （II ）∵(21)(21)(21)2(21)n n
n n a b n n n ⋅=--=-⋅--，
∴123
123252(21)2(1321)n n S n n =⨯+⨯+⨯++-⨯-+++-． ……………7分
设1
2
3
123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
则23121232(23)2(21)2n n A n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯， ……………9分
以上两式相减得：231122(222)(21)2(23)26n n n A n n ++=--++
++-⨯=-⨯+，
因此，12(23)26n n S n n +=-⨯+-． ……………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵1a =，∴32()1f x x x x =+-+，
∴1
()3()(1)3
f x x x '=-+，且[1,2]x ∈-． ……………2分 ∴()f x 在区间1[1,]3-上递减，1[,2]3
上递增，
∴()f x 在区间[1,2]-上的最大值为(1)2f -=与(2)11f =的最大者， 即()f x 在区间[1,2]-上的最大值为(2)11f =，最小值为122
()327
f =． ……………5分 （Ⅱ）∵2
2
()323()3a f x x ax a x x a ⎛⎫
'=+-=-
+ ⎪⎝⎭
． ……………6分 当0a >时，()f x 在()a -∞-，和3
a
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上是增函数，()g x 在1a
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上是增函数．
由题意得0,,31,a a a a a ⎧
⎪>⎪
⎪
≥⎨⎪
⎪≥⎪⎩
解得1a ≥． ……………9分
当0a <时，()f x 在3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()a -+∞，
上是增函数，()g x 在1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，上是增函数． 由题意得02312,a a a a a ⎧
⎪<⎪
⎪
+≤⎨⎪
⎪+≤⎪⎩
，， 解得3a ≤-．
综上，a 的取值范围为(3][1)-∞-+∞，
，． ……………12分 (22)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得22,
4,
a c a c
=⎧⎪
⎨=⎪⎩ 解之得2,1,a c =⎧⎨=⎩
从而b =
∴椭圆方程为22
143
x y +=． ……………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为()y k x m =-，
联立方程得22
1,43
(),x y y k x m ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得22222(34)84120k x mk x k m +-+-=，…………6分 ∵24222226416(3)(34)48(4)1440m k k m k k m ∆=--+=-+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,0)N n ，
则2122
834mk x x k
+=+，22122412
34k m x x k -=+，（*） 因为直线NA 与NB 的倾斜角互补等价于0NA NB k k +=， ……………8分 所以
12120y y x n x n
+=--，即1212()()
0k x m k x m x n x n --+=--， ……………9分
即12122()()20x x m n x x mn -+++=，
将（*）式代入上式得
222
22
824()8203434m k m n mk mn k k -+⨯-+=++， 整理得4mn =，∵0m ≠，∴4n m =，所以，N 点存在，且坐标为4
(,0)m
， 因此，存在点N 4
(,0)m
使得直线NA 与NB 的倾斜角互补． ……………12分。