上海市松江九峰实验学校高三数学文联考试题含解析

上海市松江九峰实验学校高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，则（）
A. 与都是锐角三角形；
B. 是钝角三角形，是锐角三角形；
C. 是锐角三角形，是钝角三角形；
D. 与都是钝角三角形。

参考答案：
C
2. △ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
3. 关于的方程在上有实根，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
【知识点】函数与方程B9
A
由已知得，由导数的符号可得函数在[1,4]上单调递减，在[4,10]上单调递增，又当x=1,4,10时函数值分别为17,8，,所以函数的值域为，则选A.
【思路点拨】对于方程有解求参数范围问题，可通过分离参数转化为求函数的值域问题进行解答.
4. 设集合A=﹥0｝则A B=
A B C D或
参考答案：
B
【知识点】集合的运算A1
解析：因为集合，所以,，故，故选择B.
【思路点拨】根据含绝对值的不等式以及对数不等式的解法，求得集合A与B，再根据交集运算定义求得结果.
5. 已知命题；命题．则下面结论正确的是
A．p q是真命题 B．p q是假命题 C．q是真命题 D．p是假命题
参考答案：
A
【知识点】复合命题的真假
对于p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题，正确．由上可得：p q是真命题．故选：A．
【思路点拨】p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
6. 已知不等式，成立的一个充分非必要条件是，则实数m 的取值范围是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 已知直线l1：mx+3y+3=0，l2：x+（m﹣2）y+1=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据直线的平行关系求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“l1∥l2”，
则m（m﹣2）=3，解得：m=3或m=﹣1，
而m=3时，直线重合，
故m=﹣1，
故“m=3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
8. 下列命题中，真命题为（）
A．终边在轴上的角的集合是；
B．在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；C．把函数的图象向右平移个单位得到的图象
D．函数在上是减函数。

参考答案：
C
略
9. 已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2x≤33}，则集合A∩B的子集个数为（）A．6 B．7 C．8 D．4
参考答案：C
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．【解答】解：集合A={0，2，4，6}，
B={x∈N|2n＜33}={0，1，2，3，4，5}，
则A∩B={0，2，4}，
∴A∩B的子集个数为23=8．
故选：C．
【点评】本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．10. 已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）
A
11. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是
． 参考答案：
12.
设函数，对任意，恒成立，则实数
的取值范围是_____________________
参考答案：
13. 若，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则三角形ABC 的形状
为 ．
参考答案：
等腰三角形或直角三角形
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB 中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，acos （π﹣A ）+bsin （+B ）=0，
∴acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：a=2RsinA ，b=2RsinB ， ∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B ， ∴sin2A=sin2B， ∴2A=2B 或2A=π﹣2B ，
∴A=B 或A+B=，
∴△ABC 为等腰或直角三角形， 故答案为：等腰三角形或直角三角形
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题． 14. 如图（1），在等腰直角△ABC 中，斜边AB ＝4，D 为AB 的中点，将△ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C ﹣A 'BD ，若三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球的半径为
，则∠A 'DB =_________.
图（1）
图（2）
参考答案：
【分析】
根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是
，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可
解决．
【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，
取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，
在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过
O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，
因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R ，
∴A 'F
2，
所以，BF ＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，
∴OE2，
∴三角形A'DF为等边三角形，
∴∠A'DF，
故∠A'DB，
故填：．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．15. 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为.
参考答案：
由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以用算筹可表示为．16. 某学校的某一专业从8名优秀毕业生中选派5名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概率是____________.
参考答案：
17. 若x,y满足约束条件,则
的最大值为
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
参考答案：
【考点】：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：（Ⅰ）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．
（Ⅱ）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．
解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
19. 13分）已知函数．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）求函数的定义域，并求函数的值域（用表示）．
参考答案：
解：（1）令，显然在上单调递减，故，
故，即当时，，（在即时取得）
，（在即时取得）
（2）由的定义域为，由题易得：，
因为，故的开口向下，且对称轴，于是：
当即时，的值域为（；
当即时，的值域为（
略
20. 已知等差数列的公差,且是方程的两个根．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和为．
参考答案：
【解】：（Ⅰ）依题意，…………………………（6分）
（Ⅱ）……………………（12分）
略
答：
解：（Ⅰ）答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为，答错填空题且答对三道选择题的概率为（对一个4分）
∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为；…（7分）（Ⅱ）由题意知随机变量ξ的取值有0，1，2，3，4．
又某位参与竞猜活动者得4分的概率为
某位参与竞猜活动者得5分的概率为
∴参与者获得纪念品的概率为…（11分）
∴，分布列为，k=0，1，2，3，4
即
ξ0 1 2 3 4 P
∴随机变量ξ的数学期望Eξ=．…（14分）
性别
男1
女0
0.10
2.706
附：
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意
完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型懈怠型总计
男
女
总计
（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分
布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.
参考答案：
（1）
故没有95%以上的吧我认为二者有关
（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，；
当或时，；
当或时，；
即的分布列为。