【数学】福建省四地六校(永安、连城、华安一中等)2016-2017学年高一下学期第一次联考(3月)试题

福建省四地六校（永安、连城、华安一中等）2016-2017学
年高一下学期第一次联考（3月）数学试题
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中不正确的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B ．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形
D ．圆台中平行于底面的截面是圆面
2．如图，B A O '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为 ( )
A ．13210+
B ．32
C ．13410+
D ．12 3．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )
A ．四边形
B ．三角形
C ．五边形
D ．六边形 4．下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面的交线,则这条直线与这两个平面都平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交 5．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是( ) A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥α，m ⊥β,则α∥β C ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n
D ．若m ⊥α，m ⊂
β，则βα⊥
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A. 2π83-
B. 16π643-
C. π
83
- D. 12π643-
7．如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下判断：①;AFN EC 平面⊥ ②;//AFB CN 平面③//BM DE ④.//NCF BDE 平面平面其中正确判断的序号是（ ）．
A. ① ③
B. ② ③
C. ① ② ④
D. ② ③ ④
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为（ ）． A.0
30 B. 0
45 C. 0
60 D.0
75
9．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，若P 为三角形A 1B 1C 1 内一点（不含边界）
，则点P 在底面ABC 的投影可能在 ( )
A ．△ABC 的内部
B ．△AB
C 的外部 C ．直线AB 上
D ．以上均有可能 10．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在
翻折过程中 ( )
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
C.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视
图中的正视图和俯视图如图所示，当r =5时， 该几何体的表面积为( )
A. 32 80
B.64 40
2 C. 64 80， D. 100
125
12、四棱锥P﹣ABCD的五个顶点均在半径为2的球面上，且正方形ABCD的边长为
3 2，
平面P AB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD的体积的最大值为（）
A．4 B．C．8 D
．10
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AD的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线MN 与BD所成角的大小是．
14．过半径为4的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是
30，则该截面的面积是__________．
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件，使平面MBD⊥平面PCD.①DM⊥PC②DM⊥BM ③BM⊥PC④PM=MC(填写你认为是正确的条件对应的序号).
16.如图，三棱锥A BCD
-的顶点B C D
、、在平面α内,4
=
=
=
=
=DB
CD
BC
AB
CA, 6
2
=
AD，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A D
、两点所经过的路程之和是.
三、解答题.(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
已知底面为正方形的四棱锥P－ABCD，如图(1)所示，PC⊥面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为4 cm的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求四棱锥P －ABCD 的侧面积.
18．（本小题满分12分）
如图，长方体AB CD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =20，BC =13，AA 1=12，过点A 1D 1的平面α与棱AB 和CD 分别交于点E 、F ，四边形A 1EFD 1为正方形．
（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE 的长； （2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．
19.（本小题满分12分）
如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为矩形，AF DF ⊥，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都等于π
(0)2
αα<<
．
（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC （Ⅱ）求证：四边形EFDC 为等腰梯形；
20、（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.
(1)证明:1
AB AC ⊥;
(2)若2AB CB ==,1AC =求三棱锥C B A C 111-的体积.
21. （本小题满分12分）
如图，边长为5的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，4=AF ．
（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；
MN平面CDEF；
（2）求证：//
？若存在，求出FP的长；若不存在，（3）在线段FE上是否存在一点P，使得AP MN
请说明理由．
22. （本小题满分12分）
6的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直底面半径为3，高为2
的四棱柱）．
（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；
（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
参考答案
一、选择题
1—5:BADDC 6—10：BCABC 11—12：DC
二、13. 60°14 . 12π15. ①③16.
三、解答题
17：解：(1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为4 cm 的正方形，俯视图如下图所示，其面积为16 cm 2……….6分
(2)侧面积为16+162………………12分
:18：解：（1）交线围成的正方形A 1EFD 1如图所示（不分实虚线的酌情给分）… ∵A 1D 1=A 1E =13，A 1A =12，
在Rt △A 1AE 中，由勾股定理知AE =5．……………6分
（2）几何体是以A 1EBB 1和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分） 由棱柱体积公式得2730（由体积之差法也不扣分）……………….12分 19：解：⑴ ∵ABEF 为矩形，∴AF EF ⊥， 又 AF DF ⊥， =DF EF F
∴AF ⊥面EFDC ， 又AF ⊂面ABEF ，
∴平面ABEF ⊥平面EFDC ………………..6分 ⑵ 由⑴6DFE CEF ∠=∠=︒，
∵AB EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面EFCD ，AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD I ⋂面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥
∴四边形EFDC 为等腰梯形………………..12分
20：解(1)取AB 的中点O ,连接OC 、1OA 、1A B ,因为CA =CB ,所以OC AB ⊥,由于AB =A A 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB .
因为OC ⋂OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊆平面OA 1C , 故AB ⊥A 1C . …………6分 (2)由题设知 ：
12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，
12A A B
都是边长为
的等边三角形，所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB
===+⊥⊥又=A C ，故又
111111111,-3-= 3.
ABC
ABC
OC
AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S
OA =⊥∆=
⨯=因为所以平面，为棱柱的高，
又的面积，故三棱柱ABC 的体积所以三棱
锥C B A C 111-的体积为1………….12分
21证明：（1）
ABCD DA AB ABCD ABEF ∴⊥⊥是正方形，，又平面平面，
=.ABCD ABEF AB DA ABEF ∴⊥且平面平面，4分
(2).FB FC 连接、ABEF M AE ∴是矩形，是的中点，
M BF N BC ∴是的中点，又是的中点，
MN ∴∥CF ， MN CDFE CF CDFE ⊄⊂而平面，平面，
∴MN ∥平面.CDFE ……………………8分 (3)
.⊥过点作交线段于点，则点即为所求A AG FB FE P P
CB ABEF CB AP AP FB ⊥∴⊥⊥平面，，又
，
∴⊥∴⊥∆∆平面，；与相似，
AP BMN AP MN
AFP BAF AF 3
==3AB=4AB 4
∴
=，而，FP AF AF 516
=∴FP ……………………………………12分
22：（1）解：根据相似性可得：
2
62662h
x -=
……………………3分 解得：)230(226<<-=x x h ………………6分（没范围扣1分） （2）解：设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式
xh x y 422+=
=)226(422
x x x -+ =x x 22462
+-
=48)22(62
+--x ……………………9分
因为230<<x ，所以当22=x 时，48max =y ……………11分 故当正四棱柱的底面边长为22时，正四棱柱的表面积最大值为48…12分。