平面向量总复习

A
①字母表示：AB或a
注意：向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段。
②坐标表示：
rrr axiyj（x，y）
OA（x，y）
y
r
a
y r A (x,y)
ra
j
r Oi
x
x
一、向量的有关概念
r 3.零向量起：始点重合的向量叫零向量，记作： 0
注意：零向量的方向是任意的
4.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量
则k等于___2 _ 2
4


(3)已知 |a | 3 , |b | 5 , 且 a b 1 2 ， 则 向 量 a 在 向 量 b 的 投 影 为 _ _ _ _
（3）向量数量积的性质：
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
r
r
uur
注意：向量a的单位向量为a0=
a r
；
a
r 与向量a共线的单位向量为
r a r
a
5.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量
注意：相等向量有传递性
一、向量的有关概念
6.平行向量（共线向量）: 基线重合或平行的向量 注意：①规定零向量和任何向量平行；
②相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
一、向量的有关概念
练习：如下列命题，其中正确的是___（__4_）
（1）若
r a

r b
，则
rr
a b.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
uuur uuur
（3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形 .
uuur uuur
（4）若 ABCD 是平行四边形 ，则 ABDC.
已知两个向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
|a||b|cos叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab |a|b ||co sabcosa,b
注意：①零向量与任意向量的数量积为0，即 0a 0．
②︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影，它是个实数， 但不一定大于零.
r
注 意 ： （ 1） a仍 是 向 量 ；
rr
rr
（ 2） a0的 条 件 是 0或 a0；
r
r
（ 3） a几 何 意 义 ： 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 伸 长 或 压 缩 ；
（ 4） 实 数 与 向 量 可 以 求 积 ， 但 不 可 进 行 加 减 运 算 。
三、平面向量的基本定理
必修四 平面向量
总复习
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
相等向量
向量的运算 向量的加法
基本应用 平行与垂直的条件
向量的减法
求长度
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的有关概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量
注意：向量是自由向量
B
2.向量的表示
uuur r
（5）若
r rr r a//b,b//c
，则
rr a / /c
.
二、实数与向量的积 r
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a
规定如下：
，它的长度和方向
r
r
1 a a
二、实数与向量的积
r
（2）当 0 时， 当 0 时，
ar a
的方向与 a 的方向与 a
的方向相同； 的方向相反。
（3）当a 与b
同向时，a
·b
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=|
a
|
·|
b
|，特别地a r2a ra ra r2,a r
r2 a
当r ar与b 反向时， a ·b = - | a | ·| b | ．
arbr0是为锐角的必要非充分条件； ab0是为钝角的必要非充分条件；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
u r u r A . e 1 (0 ,0 ),e 2 (1 , 2 )
u r u r C . e 1 (3 ,5 ),e 2 (6 ,1 0 )
u r
u r
B . e 1 ( 1 ,2 ),e 2 (5 ,7 )
ur
ur 1 3
D . e1(2,3),e2(2,4)
③数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上 正投影的数量|b|cos的乘积；等于b的长度与a在b方向上正 投影的数量a|cos的乘积。
④两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符 号所决定；而数乘向量是一个向量。
四、平面向量的数量积


练习:（1）△ABC中，| AB|3,| AC|4,|
（3）已知
ABC中，点D在边BC上，且


CD 2 DB
,
C Dr A Bs A C, 则r+s的值是___
四、平面向量的数量积
（1）两个向量的夹角：
两个非零向量a
和b
，作
uur OA
r a
，
uuur r OB b
，
则 AO B (0 180)
三、平面向量的基本定理
注意：① e1、e2是两个不共线的向量，零向量不能做基向量；
② a是平面内的任一向量，且有序实数对（a1，a2 ）是唯一 确定；
③ 平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底.
rr r
r
练习：（1）若 a (1 ,1 ),b (1 , 1 ),c ( 1 ,2 )，则 c_________
O
叫做向量a 和b 的夹角．
注意：（1）0≤〈a ，b〉≤π；
B
b

aA
（2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
（3）〈a ，b〉=0时, a、b同向； 〈a ，b〉=π时，a、b反向； 〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
（4）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
四、平面向量的数量积
（2）平面向量的数量积：
③共线向量无传递性；
④两个向量、 平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个 向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条 直线重合；
⑤ 三 点 A 、 B 、 C 共 线 u A u B u r 与 u A u C u r 共 线
7.相反向量： 长度相等方向相反的向量叫做相反向量
r
r
a 的相反向量记作 - a

BC|5，则
u u u ru u u r A B B C __________
（2）已知 a r ( 1 ,1 ) , b r ( 0 , 1 ) , c r a r k b r , d u r a r b r , 向 量 c r 与 d u r 的 夹 角 为 ,