高三数学(文)一轮总复习(人教通用)课件第5章 第五节 数列的综合应用ppt版本

考点二 等差数列与等比数列的实际应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且 每年年底固定给股东们分红 500 万元．该企业 2010 年年底分 红后的资金为 1 000 万元． (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元．
解：(1)证明：由已知，bn＝2an＞0. 当 n≥1 时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以，数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列． (2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，
(3)由 nbn＝n×4n，得 Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，① 4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，② ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝41－－34n－ n×4n＋1. 所以 Tn＝3n－1×9 4n＋1＋4.
[由题悟法] 等差数列、等比数列综合问题的 2 大解题策略 (1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解 决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需 要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中， 如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可 能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公 式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． [提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意 分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．
[即时应用] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的 价值在使用过程中逐年减少．从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的 价值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an＝________.
解析：当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120，公差为－10 的等 差数列， 所以 an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当 n≥7 时，数列{an}是以 a6 为首项，34为公比的等比数列， 又 a6＝70，所以 an＝70×34n－6.
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再见
第五节
数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.
[即时应用] (2016·南昌三校联考)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首 项 a1＝12，前 n 项和为 Sn，且 a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6 成等 差数列． (1)求等比数列{an}的通项公式； (2)对 n∈N*，在 an 与 an＋1 之间插入 3n 个数，使这 3n＋2 个数成等差数列，记插入的这 3n 个数的和为 bn，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
[题点全练] 角度一：数列与函数的交汇 1．(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为 d，点(an，bn)在函
数 f(x)＝2x 的图象上(n∈N*)． (1)证明：数列{bn}为等比数列； (2)若 a1＝1，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上 的截距为 2－ln12，求数列{anb2n}的前 n 项和 Sn.
解：设 an 为(2010＋n)年年底分红后的资金， 其中 n∈N*， 则 a1＝2×1 000－500＝1 500， a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)． ∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)， 即数列{an－500}是首项为 a1－500＝1 000，公比为 2 的等比 数列． ∴an－500＝1 000×2n－1， ∴an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500， ∴该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元． (2)由 an>32 500，即 2n－1>32，得 n>6， ∴该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元．
[由题悟法] 解数列应用题的建模思路 从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型 的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
角度二：数列与不等式的交汇
2．(2016·郑州质量预测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn ＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk 对 任意 n∈N*恒成立的实数 k 的取值范围． 解：(1)由 Sn＝2an－2 可得 a1＝2. 因为 Sn＝2an－2， 所以，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即aan－n 1＝2.
解：(1)设数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由 a10＝30，a20＝50，得方程组aa11＋＋91d9＝d＝305，0， 解得ad1＝＝21.2， 所以 an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)由(1)，得 bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以bbn＋n 1＝44n＋n 1＝4. 所以{bn}是首项为 4，公比为 4 的等比数列．
[方法归纳]
1．数列与函数的综合的 2 个方面 (1)以数列的特征量 n，an，Sn 等为坐标的点在函数图象 上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利 用函数的性质求解数列问题．
2．数列与不等式相结合问题的处理方法 (1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较 法、综合法、分析法、放缩法等； (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法， 如列表法、因式分解法、穿根法等． 总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来 综合处理就行了．
解得 a2＝2. 所以，d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb2n＝n·4n. 于是，Sn＝1·4＋2·42＋3·43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n， 4Sn＝1·42＋2·43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1. 因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝4n＋31－4－n·4n＋1 ＝1－3n34n＋1－4. 所以 Sn＝3n－194n＋1＋4.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，a4＋S4，a5＋S5，a6＋ S6 成等差数列， 所以 a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5， 即 2a6－3a5＋a4＝0，所以 2q2－3q＋1＝0. 因为 q≠1，所以 q＝12， 所以等比数列{an}的通项公式为 an＝21n. (2)由题意得 bn＝an＋2an＋1·3n＝34·32n， Tn＝34·32－1－3232n＋1＝9432n－1.
所以数列{an}是以 a1＝2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 要使(n－8)bn≥nk 对任意 n∈N*恒成立， 即实数n－82n＋1≥k 对任意 n∈N*恒成立． 设 cn＝12(n－8)(n＋1)，则当 n＝3 或 4 时，cn 取得最小值，为 －10，所以 k≤－10. 即实数 k 的取值范围为(－∞，－10]．
130－10n，n≤6， 答案：an＝70×34n－6，n≥7
考点三 数列与其他知识的交汇常考常新型考点——多角探明
[命题分析] 数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命 题，虽然近几年高考对数列的考查难度有所降低，但为做到有 备无患，在备考中仍应引起高度重视． 常见的命题角度有： (1)数列与函数的交汇； (2)数列与不等式的交汇．