球的表面积和体积2

球的表面积
∆S i
o
o
球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第 一 步： 分 割
∆S1，∆S2，∆S3 ,L, ∆Sn
O 则球的表面积： 则球的表面积：
S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 +L+ ∆Sn
∆ 设“小锥体”的体积为Vi 小锥体”
∆S i
球的体积
V半球 1 1 (1 − )(2 − ) n n ] = πR3[1 − 6
1 . →0 n
n , 当 →∞ 时
2 V R π 3 ∴ 半球 = 3 4 V = π 3. R 从 而 3
4 3 定理： R的球的体积为： V 定理：半径是 的球的体积为： = πR 3
球的表面积 球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 极限思想方法来推导球的表面积公式呢 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： Rt ∆ B 1 D 1 D 中 : 略解： (2 R ) = a + ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 D A D1 A1 O B O B
4 5 3 4 3 7.9⋅ [ π ⋅ ( ) − πx ] = 142 3 2 3
5 3 142× 3 x =( ) − ≈ 11.3 2 7.9× 4 π
3
由计算器算得: 由计算器算得
x ≈ 2.24
2x ≈ 4.5
空心钢球的内径约为4.5cm. 答:空心钢球的内径约为 空心钢球的内径约为
例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸? 至少要用多少纸?
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 解:设空心钢球的内径为 设空心钢球的内径为 则钢球的质量是
球的表面积
第 三 步： 化 为 准 确 和
∆hi
∆S i
∆Vi
如果网格分的越细, 如果网格分的越细,则: “小锥 小锥 体”就越接近小棱锥
R ∆hi的值就趋向于球的半径
1 ∴∆Vi = ∆Si R 3 1 1 1 1 V = ∆Si R+ ∆S2R+ ∆S3R+L+ ∆SnR 3 3 3 3
1 1 = R(∆Si + ∆S2 + ∆S3 + ... + ∆Sn ) = RS 3 3
O
则球的体积为： 则球的体积为：
∆Vi
V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 +L+ ∆Vn
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
∆S i
∆hi
O O
∆Vi
1 ∆Vi ≈ ∆Si ∆hi 3
由第一步得： V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 +L+ ∆Vn 由第一步得：
1 1 1 1 V ≈ ∆S1∆h + ∆S2∆h2 + ∆S3∆h3 +L+ ∆Sn∆hn 1 3 3 3 3
C
C1 B1 C
3 R = a 2 ∴ S = 4π R 2 = 3π a 2
C1 B1
用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
侧棱长为5cm 侧棱长为
S侧 = 6× 5 = 150cm
2
2
例题讲解
2.如图 正方体ABCD 如图， ABCD的棱长为a, a,它的各 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
∆S i
R
O
∆i
4 1 3 πR = RS, 从 S = 4πR2 而 3 3
4 3 又球的体积为： = πR 又球的体积为： V 3
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积. 1.钢球直径是5cm,求它的体积. 钢球直径是5cm,求它的体积
4 4 5 3 125 3 V = πR = π ⋅ ( ) = πcm3 3 3 2 6
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 球的表面是曲面 每小块表面可近似看作一个平面, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积. 趋近于无穷大时, 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面, 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 若每小块表面看作一个平面 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积. 越大, 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积, 趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.