递推数列题型归纳解析

递推数列题型归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法（逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。

例：已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a 。

变式:（2004，全国
I,理
15．）已知数列{a n },满足
a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a （n ≥2)，则{a n ｝的通项
1
___n a ⎧=⎨
⎩
12n n =≥
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.
例：已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ,求n a 。

变式：（2006，重庆，文,14） 在数列
{}
n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项
n a =_______________
变式:(2006. 福建.理22）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列｛b n }滿足
12111
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明:数列｛b n }是等差数列;
变式：递推式:()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
类型4 n n n q pa a +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或
1n n n a pa rq +=+,其中p ，q ， r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ,得：q
q a q p q a n n n n 1
11+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =）,得：q
b q p b n
n 1
1+=+再待定系数法解决。

变式:(2006，全国I ，理22）
设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-⨯+，1,2,3,
n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ;
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一(待定系数法）：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中
s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st p
t s
例1.数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,，求数列
{}n a 的通项公式。

例:已知数列{}n a 中,11=a ，22=a ，n n n a a a 3
1
3212+=++,求n a .
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

（或()n n S f a =）
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()1(11n S S n S a n n n 与
)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消
去n a 进行求解。

例:已知数列{}n a 前n 项和2
2
14---=n n n a S 。

（1)求1+n a 与n a 的关系；（2）求
通项公式n a .
变式:（06陕西，理，) 已知正项数列｛a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6
且a 1，a 3，a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n
类型7 b an pa a n n ++=+1)001
(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为
{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
变式：(2006,山东，文,22）
已知数列{n a }中,111
22
n n a n a a +=-、点（、）
在直线y=x 上，其中n=1，2,3…
(Ⅰ）令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-
（Ⅱ)求数列{}的通项；n a
数列求和的常用方法
一、公式法
①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：
)1(211+==∑=n n k S n k n ，)12)(1(6112
++==∑=n n n k S n k n ,21
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n
二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.
三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组.
四．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开）成两项之差，使得正负项能互相
抵消，剩下首尾若干项。

①111(1)1n n n n =-++ ②1111
(k)k k
n n n n =-++（）
③
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④
n n n n a n -+=++=
11
1
五．错位相减法:若}{n a 是等差数列，｛n b ｝是等比数列,则数列{n n b a ⋅}的求和
运用错位求和方法,这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.
六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3,…，n ）变为顺数
第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法。

七、通项转换法:先对通项进行变形，发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

【课前热身】
1、数列2， ,21,,8
14,4
13,2
121
-+
n n 的前n 项之和为_________。

2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；
3、数列1，（1+2）,(1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n
4、 已知数列｛n a ｝的通项公式是n n n a n 则前,6
512
++=项和为n
3n 3+（）
例2、132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S (n 2n )N +≥∈且
例3 、（1）求数列的前n 项和:231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n (2)求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. （3）求数列{n （n+1)(2n+1)｝的前n 项和。

（4）求和:;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n
【课后作业】
1、
1
)1(1
1411311212
222-+++-+-+-n 的值为()()31142n 12n 2--++ 2、11
1112123
123+n
+
+++
++++++
=
2n n+1
3、已知等比数列｛a n }前n 项和为S n 且S 5=2， S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于16
4、在等比数列｛a n }中，若有a 3=2S 2+1， a 4=2S 3+1，则该数列的公比q= 3 。

5、数列{a n ｝：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,则S 2002= 5
6、142536(3)n S n n =⨯+⨯+⨯+
+⨯+=
()()
n n+1n+53
7、等差数列｛a n ｝中，已知公差d=5,前20项的和S 20=400，则
22222224201319()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+= 2000
8、已知数列{a n ｝前n 项的和S n =3+n
2，则22
2
2
1
23n a a a a ++⋅⋅⋅+=n 4+71
3
9、给定1log (2)()n n a n n N ++=+∈,定义使123k a a a a ⋅⋅⋅为整数的k 叫做企盼数,则在区间（1，2008）内的所有企盼数的和为 2026
10、已知等比数列｛ a n ｝n a 2b a 3n n S =⋅+=1的前项和，。

（1）求a ，b 的值
及数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n =
n
n
a ，求数列｛
b n }.n n T 前项和
13、已知二次函数y=f(x ）的图像经过坐标原点，其导函数为f x x '（）=6-2，
数列｛a n ｝n n S 的前项和为,点(n ，S n ）n N*)∈（均在函数y=f （x ）的图像上。

(1）求数列｛a n }的通项公式；（2)设b n =n n+1
3
a a , n T 是数列｛
b n }n 前项和,求使得n T m
<20
对所有n N*∈都成立的最小正整数m 。