福建省龙海二中2015届高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)AqUlnK

龙海二中2014-2015学年上学期期末考
高三数学（文）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：龙海二中 郭文俊
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集}6,5,4,3,2,1{=I ，集合}6,5,3,2{=A ，}3,1{=B ，则(∁I A)∪B 为（ ） A ．{3} B ．{1,3} C ．{3,4} D ．{1,3,4}
2．．复数51i
z i
+=+的虚部为 （ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2- D. 2
3. 已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r
，若()()
m n m n +⊥-u r r u r r ,则=λ（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．-1
4．双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．4y x =± C ．12y x =±
D ．14
y x =± 5.阅读右边的程序框图，如果输出的函数值在区间11
[,]42
内，那么输入实
数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ． [2,1]-- C ． [1,2]- D ． [2,)+∞
6.在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ）
A ．
2π B ．21 C ．4π D ．4
1 7.设变量x,y 满足约束条件3,1,10,x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪-≥⎩
，则目标函数32z x y =+的最大值为（ ）
(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2
8. ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则
“A b B a cos cos =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 10．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为 （ ） A ．2 B ．21
C ．
42 D ．2
2 11．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满
足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有1)(<'x f )(R x ∈，则不等式
1)(+<x x f 的解集为（ ）
A ．),1(+∞
B ．)1,(--∞
C ．)1,1(-
D ．)1,(--∞∪),1(+∞
12. 已知i 是虚数单位，记cos sin i e i θθθ=+，其中 2.718...,e θ=∈R ，给出以下结论：
①10i
e
π+= ②1
i
i e
e
θθ-= ③1212()i
i i e
e e θθθθ+⋅=，则其中正确结论的个数
是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.
13. 已知12
33,
3,()3,
log (6),x x e f x x x -⎧<=⎨≥-⎩，则((3))f f 的值为 。

14．如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于A B 、两点．如果
3sin 5α=，点B 的横坐标为5
13，则=+)cos(
βα ．
15．已知圆221:1C x y +=与圆22
2:(1)(1)1C x y -++=交于,A B 两点，则直线AB 的方程为 . 16. 如图，在透明材料制成的长方体容器1111D C B A ABCD -
内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将 容器倾斜，根据倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变； （3）棱11D A 始终与水面EFGH 平行；
（10题）
直观图
俯视图
侧视图
正视图
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
E
F G
H
（4）当容器倾斜如图所示时，BF BE ⋅是定值。

其中所有正确命题的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)
已知函数2
()2cos sin 2f x x x =-
（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（2）已知ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若2,2=
=b a ，且
,12=⎪⎭
⎫
⎝⎛A f 求ABC ∆的面积.
18（本小题满分12分）
海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C 数量
50
150
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；
（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
19．（本小题满分12分）
设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，2
3210a a =-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设{}n b 是以函数2
4sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列
{}n n a b -的前n 项和n S .
20．（本小题满分12分）
如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（Ⅰ）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （Ⅱ）求三棱锥E-PAD 的体积；
（Ⅲ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF.
21. (本小题满分12已知x ∈[0，1]，函数()()a x a x x g x x x f 4321ln 2
32--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
-=，. （1）求函数f （x （2）设a ≤-1，若[]101，∈∀x ，总存在[]100，∈x ，使得g （x 0）=f （x 1）成立，求a 的取值范围. 22．（本小题满分14分）
已知抛物线x y 42
=，过点)2,0(M 的直线与抛物线交于B A ,两点，且直线与x 轴交于点C
(1)求证：||,||,||MB MC MA 成等比数列； (2)设α=，β=，试问βα+是否为定值，若是，求出此定值；
若不是，请说明理由．
龙海二中2014-2015学年上学期期末考
高三数学（文）参考答案
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
C
B
C
B
C
B
A
A
D
A
D
13. 3 14. 65
16
-
15 .10x y --= 16 （1） （3）（4） 17. (本小题满分12分)
解：（1）2
()2cos sin 21cos 2sin 2f x x x x x =-=+- 2)14
x π
=++ ………
3分
所以函数()f x 的最小正周期ππ
==
2
2T ，值域为221⎡⎤-⎣⎦ ………6分
()22cos()1124A f A π⎛⎫
=++= ⎪
⎝⎭
Q ,cos()04A π∴+=,π<<A 0Θ,4544πππ<+<∴A 24ππ=+∴A ,4
π=∴A , ………8分 2,2==b a Θ,由正弦定理得B sin 24
sin
2=∴π,21
sin =∴B B A b a >∴>,Θ
6
π
=
∴B ………9分
12
7π
π=
--=∴B A C ………10分 2
314622127sin 2221sin 21+=+⨯=⨯⨯==∴∆πC ab S ABC
………12分 18. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
2:3:1100:150:50::==C B A ………3分
所以各地区抽取商品数为：1:616
A ⨯=，3:636
B ⨯=，2
:626C ⨯=；……6分
（Ⅱ）设各地区商品分别为：12312,,,,,A B B B C C ………7分
6件样品中随机抽取2件的基本事件为：
()()()()()()()123121213,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A C B B B B
()()()()()()()()1112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,B C B C B B B C B C B C B C C C ，共15个.……9分 2件商品来自相同地区的基本事件为：()()()()12132312,,,,,,,B B B B B B C C …11分
记“这两件商品来自同一地区的事件”为A ，则它的概率为：()4
15
P A =.……12分 19．(本小题满分12分) 解：（1）设{}n a 的公差为d ，则
()12
112210a a d a d ⎧=⎪
⎨+=+-⎪⎩
解得2d =或4d =-（舍）……5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯=
…………6分
（2）21cos 24sin 42
x
y x ππ-==⨯Q 2cos22x π=-+
其最小正周期为
212π
π
=，故首项为1；………7分 因为公比为3，从而1
3n n b -= …………8分
所以1
23n n n a b n --=-
故()()(
)011
234323n n S n -=-+-++-L
()22132
13n n n +-=-
-
211
322n n n =++-⋅
………12分
20.(本小题满分12分)
解（Ⅰ）证明： 连结AC ，EF
∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点
∴PBC ∆中，PC EF // …………………………………2分 又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ………………3分 ∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC …………4分 （Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD 且ABCD BC AB AC 面⊂,, ∴AC PA ⊥，AB PA ⊥，BC PA ⊥ ∴PAD Rt ∆中，PA =3，AD=1 ∴2
3
21=
⨯⨯=
∆PA AD S PAD ………6分 又四边形ABCD 为矩形
∴AB AD ⊥
又AD 和PA 是面PAD 上两相交直线 ∴PAD AB 平面⊥ 又AD//BC
∴AB 就是三棱锥E-PAD 的高． ……………………………7分
∴2
13233131=⨯⨯=⨯⨯=
∆-AB S V PAD PAD E . ……………8分 （Ⅲ）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点
∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥ …………………………9分
又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线 ∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂
∴BC AF ⊥ …………………………………………………10分
又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线
∴PBC AF 面⊥ …………………………………………11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥
∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立. …………………………………12分 21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）f '（x ）=2x -错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，
令f '（x ）=0，解得：
21
=
x ，x =-1（舍去）……………………2分
列表：
x 0
（0，21）
21
（21，1）
1
f '（x ） - 0
+
f （x ） ln2 ↘
41
↗ 1-ln 23
可知f （x ）的单调减区间是（0，21），增区间是（21
，1）；……4分
因为41<1-ln 23
=ln2-（ln3-1）<ln2，
所以当x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[41
，ln2]…………………6分
（Ⅱ）g '（x ）=3（x 2-a 2）
因为a ≤-1，x ∈[0，1]所以g '（x ）<0，…………………………8分
g （x ）为[0，1]上的减函数，g （1）≤g （x ）≤g （0），
所以g （x ）∈[1-4a -3a 2，-4a ]…………………………………………10分
因为当x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[41
，ln2]
由题意知：[41
，ln2]⊆[1-4a -3a 2，-4a ]
所以⎪⎩⎪
⎨
⎧≥-≤--，，2ln 4413412
a a a
又a≤-1，得a≤-23。

……………………………………………………12分
22. (本小题满分14分)
解：(1)证明：设直线的方程为：2(0)y kx k =+≠，………1分
联立方程可得224y kx y x
=+⎧⎨=⎩得()22
4440k x k x +-+=①………2分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k -，则1212
22
444
,k x x x x k k -+==，②………3分 222
122
4(1)1010k MA MB k x k x k
+⋅=+-⋅+-=，………4分 而2222
2
24(1)(10)k MC k k k +=+--=，∴20MC MA MB =⋅≠，………5分
即,,MA MC MB 成等比数列．………6分
(2)由,MA AC MB BC αβ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，得
11112(,2)(,)x y x y k α-=---，22222
(,2)(,)x y x y k
α-=---，………9分
即得：12
12,22kx kx kx kx αβ--==++，则()()21212212122224
k x x k x x k x x k x x αβ--++=+++ ………12分
由(1)中②代入得1αβ+=-，故αβ+为定值且定值为－1. ………14分。