江苏省高中数学 2《集合的含义及其表示2》学案 苏教版必修1

第2课时 集合的含义及其表示（二）
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾：
1、 集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。

2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a 是集合A 的元素，记作___a A ∈_____．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
2、 常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N *____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？
（1）0 （2
（3
分析：先把x 写成a ，b 是否为整数.
【解】（1）因为2000⋅+=，所以A ∈0；
（2）因为2111
21
⋅+=-，所以A ∈-121； （3）因为,213231+=-Z ∉3， 所以Z ∉-231
.
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x －3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A 中的元素都是B 中的元素，B 中的元素也都是A 中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式. 如：{x|x 为中国直辖市}，{x|x 为young 中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x 是直角三角形}等.
3、Venn 图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x 为young 中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x 为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x ∈N|x 是15的约数}；
②{x|x=(1)n - ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①{}1,3,5,15； ②{}1,1-；③{}(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①}{321,2,3,4,5n n -=；
②}{
21,x x n n N +=-∈.
例3 用适当的方法表示下列集合：
1） 方程x 2-2x -3=0的解集； （1）满足x －3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x +3 < 9的自然数解；
2） 不等式2x -3>5的解集；
3） 方程组x 13
y x y +=⎧⎨
-=⎩的解集. 解：（1）{}
2x |x -2x-3=0； （2）{}|2x-3>5x ；
（3）{}(2,1)- .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知61M x N Z x ⎧
⎫=∈∈⎨⎬+⎩
⎭,求集合M . 解：{}0,1,2,5M = . 【变式】已知61M Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨
⎬+⎩⎭
,求集合M. 解：M ={}6,3,2,1 . 【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若{}220102010,,1,,0,a b a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭
求的值. 【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a . 解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a ， 因此a 2=1 1a ∴=±
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a 2x +2x+1=0},
（1） 若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合；
（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.
解：（1）由题意知，A 中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
，符合题意；
当a ≠0时，对应方程a 2x +2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意. 综上所述，a 的取值集合为{}0,1；
（2） 由（1）知，a = 0或1时， A 中有且只有一个元素，符合题意； 当对应方程a 2x +2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=∅，符合题意；
综上所述，a = 0或a ≥1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics 中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足240121
x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m ，a ，t ，h ，e ，i ，c ，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2
）使y =
x 的集合； （3）方程x 2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x 2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
-1
2-11
o
y
x
【解】（1）{x|x=3k ，k ∈Z}；
（2）{x|x ≤2且x ≠0 }；
（3）∅；
（4）{(x,y)| y=-x 2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 或 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
. 3、已知A=6|,3x N x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭
Z ,试用列举法表示集合A. 【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２
－５＞０｝；(5) {Ф}； (6) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解的集合为{2，4}. 2.用列举法表示下列集合：
①{x|x 为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②(){}{}{}1212x y x y ∈∈,|,,,=__｛
（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___; ③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ; ④｛数字和为5的两位数｝=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤{}3216(,)|,,x y x y x N y N +=∈∈=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.用列举法和描述法分别表示方程ｘ２－5ｘ＋６＝０的解集.
4. 直角坐标平面内属于第四象限的点的集合.
5.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值． 解：分两种情况讨论：
① 221001a a a a b b b b
⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2； ②220101
a b a a b b b a ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2 .。