(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．16 2．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）
A ．(4,2)--
B ．(2,0)-
C ．(2,4)-
D ．(0,2) 3．已知ABC 是顶角A 为120°腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A ．12-
B ．32-
C ．14-
D ．-1
4．如图，在ABC 中，13
AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，则实数m 的值为( )
A ．19
B ．13
C ．1
D ．3
5．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）
A ．满足2λμ+=的点P 必为C
B 的中点
B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个
C ．λμ+的最小值不存在
D ．λμ+的最大值为3
6．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ）
A ．199
B ．4122-
C ．111-
D ．1711
7．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=
，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32 B ．1 C ．1或12 D ．32
8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．0
9．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=
-，则a 在a b +上的投影为（ ） A ．13 B ．263- C ．63 D ．23
10．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）
A ．52
B ．52-
C ．4
D ．4- 11．在ABC 中，D 为AB 的中点，
E 为AC 边上靠近点A 的三等分点，且BE CD ⊥，则cos2A 的最小值为（ ）
A ．26
B ．27-
C ．17-
D ．149- 12．已知平面上的非零．．
向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；
②若2a b =，则2a b =±；
③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；
④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题
13．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.
14．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．
15．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =
+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12
，则k 的值为__________． 16．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.
17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()
4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．
18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.
19．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 20．在AOB 中，已知1OA =，3OB =，2AOB π
∠=.若点C ，D 满足
971616OC OA OB =-+，()
12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 三、解答题
21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23
BAC π∠=
，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.
（1）求中线AD 的长；
（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值. 22．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12
e =
． （1）求椭圆的标准方程． （2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA
⋅的取值范围． 23．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.
（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值；
（2）求PA PB ⋅的最小值.
24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.
（1）求a 与b 的夹角为θ；
（2）求a b +；
（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．
25．设非零向量a ，b 不共线.
（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；
（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 26．已知向量(1,2)a =-，||25b =.
（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；
（2）若a 与b 的夹角为23
π，求()(2)a b a b -⋅+的值.
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.
【详解】
()
3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，
所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．C
解析：C
【分析】
以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()
3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系：
则()0,0A ，
因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，
可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()
3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，
()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，
当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.
3．A
解析：A
【分析】
以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量PA ，PB ，PC ，得到2()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--，进而可求出结果.
【详解】
如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则(0,1)A ，(3,0)B ，(3,0)C ，设(,)P x y ，
所以(,1)PA x y =--，(3,)PB x y =--，(3,)PC x y =-，
所以(2,2)PB PC x y +=--，
2
()22(1)PA PB PC x y y ⋅+=--2211122()222x y =+--≥- 当1(0,)2P 时，所求的最小值为12
-. 故选：A
【点睛】
方法点睛：向量求最值的方法有以下： 1.利用三角函数求最值；
2.利用基本不等式求最值；
3.建立坐标系求最值；
本题的关键在于建立坐标系，列出相应的式子求解
4．A 解析：A
【解析】
因为2299AP m AB BC ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭29
mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44
AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且
249t =，故811199
m t =-=-=，应选答案A ． 5．D
解析：D
【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得
(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ
=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，
，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以
13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．
考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．
6．D
解析：D
【分析】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.
【详解】
设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-， 即11222
m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-，
同理
12
2
n
OE AE AO AC mAB
-
=-=-，
因为2
12
·||?0
2
m
OD AB AB nAB AC
-
=-=，
所以
12
450
2
m
n
-
⨯-=，又2
12
·||?0
2
n
OE AC AC mAB AC
-
=-=，
所以
12
950
2
n
m
-
⨯-=，联立方程组
12
450
2
12
950
2
m
n
n
m
-
⎧
⨯-=
⎪⎪
⎨
-
⎪⨯-=
⎪⎩
，
解得
9
22
8
11
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，所以
17
2
11
n m
-=.
故选D
【点睛】
本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．A
解析：A
【解析】
Rt AOB中，0
OA OB
⋅=，∴
2
AOB
π
∠=，
∵5
OA=，25
OB=|，∴225
AB OA OB
=+=，
∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，
建立平面直角坐标系，如图所示；
则)
5,0
A、(025
B，、设(),
D m n，
则OAD BAO ∽，∴
OA AD AB OA =， ∴1AD =，∴15AD AB =
，
即()(15m n =，求得5
m =，
∴55D ⎛ ⎝⎭；则,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
5,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭
； ∵34
OE EA ⋅=，
∴234⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭
， 解得34
λ=或14λ=；
∴向量EA 在向量OD 上的投影为))411ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
当34λ=时，15102ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35102ED ⎛== ⎝⎭
．
即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32
，故选A. 8．B
解析：B
【分析】
建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解．
【详解】
以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，
（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，
(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，
2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；
（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，
(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，
∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),
06P x x <≤，
(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，
264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，
∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；
（4）若P 在BC 上，设(6,),
06P y y <<，
(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，
06y <<，016PE PF ∴⋅<，
∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，
综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．
9．C
【分析】
由题意结合平面向量数量积的运算可得
1
3
a b⋅=，进而可得()b
a a+
⋅
、a b
+，代入投影表达式即可得解.
【详解】
因为a，b为单位向量，所以1
==
a b，
又2
a b a b
+=-，所以()()
22
2
a b a b
+=-
所以2222
2242
a a
b b a a b b
+⋅+=-⋅+，即121242
a b a b
+⋅+=-⋅+，
所以
1
3
a b⋅=，则()2263
a b a b
+=+=，()243
a a
b a a b
⋅+=+⋅=，
所以a在a b
+上的投影为
()46
3
26
a a b
a b
⋅+
==
+
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.
10．C
解析：C
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
以点A为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系
(0,0),(2,1),(1,2)
A E F
(2,1),(1,2)
AE AF
∴==
21124
AE AF
∴⋅=⨯+⨯=
故选：C
本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
作出图形，用AB 、AC 表示向量BE 、CD ，由BE CD ⋅可得出22
32cos 7c b A bc
+=，利
用基本不等式求得cos A 的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得cos2A 的最小值. 【详解】 如下图所示：
1
3BE AE AB AC AB =-=
-，12
CD AD AC AB AC =-=-， BE CD ⊥，则
22117
110326
23BE CD AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即22711cos 0623cb A c b --=，可得22322626
cos 7c b bc A bc +=≥= 当且仅当6
b =
时，等号成立， 所以，2
2
261cos 22cos 12149A A =-≥⨯-=-⎝⎭
. 故选：D. 【点睛】
本题考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的数量积的应用，同时也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．B
解析：B
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】
对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，
则存在唯一的实数2λ，使得2λb
c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得
12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
二、填空题
13．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影
解析：3 【分析】
根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.
【详解】
因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得
ABC 是以角A 为直角的直角三角形.
又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，
则AB =，2
AB cos ABC BC ∠=
=
，
故向量BA 在向量BC 方向上的投影为3AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.
14．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如
图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10
【分析】
结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】
如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点.
依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=
所以45OA OB ⋅=，即()()()()
2
2
2
2
24544
OA OB OA OB OD BA +---=
=
22
2
4416
4
4
OD BA
OD --=
=
，解得7OD =.
所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，
所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤
根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()
()
min
max
1
1
OA OC OA -≤≤+，
所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.
15．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以 解析：
3 【详解】 两端平方得2221
14
k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ=
=， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即2
3
4
k =
，又 0k >， 所以3k =.
16．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-
【分析】
延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，
延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，
CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，
当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，
CA CB ⋅=()()2
2
2224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，
， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，
故答案为：2-. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.
17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-
【详解】
如图建立平面直角坐标系，
()()(
)
()
P 2cos θ2sin θA 22B
22M 02----，，，，，，，
∴(
)()(
)()
4
2cos θ22sin θ22cos θ22sin θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=++
⋅-
++⎣⎦
，，
()()
22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦
，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-，故选48322-．
18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：
7
7
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出
,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()
11
22
AM AE AF AB AC λμ=
+=+ ()
1
2
AN AB AC =
+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2
2
11112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
22
2211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为41λμ+=,代入化简可得2
2
221312111424477
MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭
因为(),0,1λμ∈且41λμ+=
10,4μ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
所以当17μ=时, 2
MN 取得最小值17
因而min
7
MN
=
=
故答案为 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
19．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题
【分析】
根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案. 【详解】
1
11cos1202
a b ⋅=⨯⨯︒=-
22222||()2||2||111a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=
【点睛】
本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.
20．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量 解析：
15
64
【分析】
以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1
()2
CD CO CB =
+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，
∴97191
161621616
CD CO OD OA OB OB OA OB =+=
-+=+ ∵1OA =
，OB =2
AOB π
∠=，∴0OA OB ⋅=
∴9197
(
)()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯15
64
=. 故答案为：15
64
．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.
三、解答题
21．（12 【分析】 （1）由于()
1
2
AD AB AC =
+，进而根据向量的模的计算求解即可；
（2）由于3144BM AB AC =-
+，()
1
2
AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278
BM AD ⋅=，故
57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】
解:（1）由已知，236cos 93
AB AC π
⋅=⨯=-， 又()
1
2
AD AB AC =
+， 所以()
2
22124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644
=-+=， 所以33AD =
. （2）由（1）知，()
131
444
BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+， 所以()2
93117199361681616BM
=
⨯-⨯-+⨯=，从而319
BM =. ()
311
442
BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，
所以27cos
8BM AD BM AD
θ⋅=
=
= 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，
则()0,0A ，()3,0B ，(C -，
因为D 为边BC 的中点，所以0,2D ⎛ ⎝⎭
，
0,2AD ⎛= ⎝
⎭，所以332AD =.
（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
所以3,4BM ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以94
BM ==
，278BM AD ⋅=，
所以27cos
819
BM AD BM AD θ⋅=
==. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()
12AD AB AC =
+，进而根据向量模的计算公式计算. 22．（1）22
143
x y +=；（2）[0,12]. 【分析】
（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =
（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；
【详解】
解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==，
∴
b =
∴椭圆的标准方程为22143
x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，
∴()()222
00001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143
x y +=，2200334y x =-， ∴21001354
PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-， 当02x =-时，取最小值0，
当02x =时，取最大值12．
∴1PF PA
⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.
23．（1）2-；（2）2-.
【分析】
（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；
（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.
【详解】
（1）当OA OP ⊥时，如图所示，
∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752
OPB ︒-︒∠=
=︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，
在POB 中，由余弦定理，得 222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-， ∴84362PB =-=
-， 又222PA OA =⋅=，
∴()
1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭ （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，
∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(B -，
设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则()()
22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB αααα⋅=--⋅--
2222cos 4cos 4sin αααα=--+-+
2cos 24sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝
⎭. ∵20,
3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当6
2π
πα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.
【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
24．（1）
23
π；（23） 【分析】
（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2
θ=-，结合角的范围，求得结果； （2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；
（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.
【详解】
（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361a a b b -⋅-=. 又4,3a b ==，
所以6442761a b -⋅-=，
所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432
a b a b
θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23
πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=；
（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=
， 所以∠ABC ＝233
πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，
所以S △ABC ＝
1432⨯⨯= 【点睛】 该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.
25．（1）2）证明见解析.
【分析】 （1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；
（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论.
【详解】
解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，
故250t t -=⇒=，
即实数t 的值为：5±；
（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.
∴AB OB OA b =-=， 2AC OC OA b =-=，
即2AC AB =且有公共点A ，
故A ，B ，C 三点共线．
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．
26．（1）(2,4)-；（2）5-.
【分析】
（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．
【详解】
（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=
+==2λ=-，
故(2,4)b =-；
（2）21(a =+=
∴
222221()(2)22||||cos
105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭
.
【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．。