高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修1

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第三章导数及其应用
3．1变化率与导数
3。

1。

1变化率问题3．1.2导数的概念
内容标准学科素养
1。

了解导数概念的实际背景．
2。

会求函数在某一点附近的平均变化率．
3。

会利用导数的定义求函数在某点处的导数。

利用数学抽象
提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第49页
[基础认识］
知识点一函数的平均变化率
错误!
丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题,那么，变化率和导数是怎样定义呢？
(1）气球膨胀率
气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V(r)＝错误!πr3⇒r(V）＝错误!.
当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r（1)－r(0）≈0。

62（dm)，
气球的平均膨胀率为错误!≈0.62（dm/L）．
类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2）－r（1）≈0。

16 （dm）, 气球的平均膨胀率为错误!≈0.16 （dm/L）．
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：错误! （2）高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h （单位:m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在函数关系
h (t )＝－4。

9 t 2＋6.5 t ＋10.
如果我们用运动员在某段时间内的平均速度错误!描述其运动状态，那么:求0≤t ≤0。

5和1≤t ≤2这段时间内的错误!。

提示：在0≤t ≤0。

5这段时间里, 错误!＝错误!＝4。

05 （m/s ）； 在1≤t ≤2这段时间里， 错误!＝错误!＝－8。

2 （m/s ）． 知识梳理 函数的平均变化率
对于函数y ＝f （x ),给定自变量的两个值x 1和x 2,当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f （x 1）变为f (x 2)，我们把式子错误!称为函数y ＝f (x ）从x 1到x 2的平均变化率．
习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1,可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量"，可用x 1
＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1）．于是,平均变化率可表示为Δy Δx。

思考:观察函数y ＝f (x )的图象(如图),平均变化率 Δy
Δx
＝错误!表示什么？
提示：过曲线上两点的割线的斜率．
知识点二 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 错误!
在高台跳水运动中，计算运动员在0≤t ≤错误!这段时间里的平均速度,并思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示:(1)运动员在这段时间里不是静止的．
(2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态．
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度
h（t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10，
求从2 s到（2＋Δt）s这段时间内平均速度
错误!＝错误!＝－13。

1－4。

9 Δt。

我们发现,当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1。

从物理的角度看,时间间隔｜Δt｜无限变小时，平均速度错误!就无限趋近于t＝2时的瞬时速度．因此，运动员在t＝2时的瞬时速度是－13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
li错误!错误!＝－13.1
表示“当t＝2，Δt趋近于0时，平均速度v趋近于确定值－13.1”．
知识梳理瞬时变化率
把式子：li错误!错误!＝li错误!错误!叫做函数f(x）在x＝x0处的瞬时变化率．
注：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值，它刻画函数在某一点处变化的快慢．
知识点三导数的概念
知识梳理一般地,函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是:li错误!错误!＝li错误!错误!，我们称它为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′｜x＝x0,即f′（x0）＝li错误!错误!＝li错误!错误!.
[自我检测］
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动,则在时间段［2，2.1］中相应的平均速度是（) A．4B．4.1
C．0。

41 D．3
答案：B
2．如图,函数y＝f(x）在A，B两点间的平均变化率是（)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案:A
3．设函数f（x)在点x0附近有意义，且有f（x0＋Δx)－f(x0）＝aΔx＋b(Δx）2(a，b为常数)，则（)
A．f′（x）＝a B．f′(x)＝b
C．f′（x0）＝a D．f′（x0）＝b
答案：C
授课提示:对应学生用书第51页
探究一 求函数的平均变化率
［教材P 75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热．如果第x h 时,原油的温度（单位:℃)为y ＝f （x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8）．计算从2 h 到6 h 时，原油温度的平均变化率．
解析:Δy ＝f （6）－f （2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4， Δx ＝6－2＝4， ∴错误!＝错误!＝1，
∴从2 h 到6 h 原油温度的平均变化率为1。

［例1] 已知函数f （x )＝2x 2＋3x －5。

（1)求当x 1＝4且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率错误!； (2）求当x 1＝4且Δx ＝0。

1时，函数增量Δy 和平均变化率错误!； (3）若设x 2＝x 1＋Δx ,分析(1)（2）问中的平均变化率的几何意义．
［解析] (1)Δy ＝f (x 1＋Δx )－f （x 1）＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx ）－5－2x 错误!－3x 1＋5＝4x 1Δx ＋2(Δx )2＋3Δx .
当x 1＝4且Δx ＝1时,Δy ＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率错误!＝错误!＝21.
(2)当x 1＝4且Δx ＝0。

1时，Δy ＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变化率错误!＝错误!＝19.2。

（3)在(1)中，错误!＝错误!＝错误!，它表示曲线上点P 0(4，39）与P 1(5,60)连线所在直线的斜率；在（2）中,错误!＝错误!＝错误!，它表示曲线上点P 0(4,39）与P 2（4.1，40.92)连线所在直线的斜率．
方法技巧 求平均变化率的主要步骤
（1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2）－f （x 1）． (2）再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy
Δx
＝错误!.
跟踪探究 1。

求函数f （x )＝3x 2＋2在区间［x 0,x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．
解析：函数f （x )＝3x 2＋2在区间［x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为错误! ＝错误!
＝错误!＝6x 0＋3Δx .
当x 0＝2,Δx ＝0。

1时，函数y ＝3x 2＋2在区间［2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3。

探究二 物体运动的瞬时速度
［教材P 79习题3.1A 组2题］在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h （t ）＝－4。

9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝1 s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况．
解析：Δh
Δt ＝错误!＝－4。

9 Δt －3。

3，
所以h ′(1)＝－3。

3.
这说明运动员在t ＝1 s 附近以每秒3。

3 m 的速度下降．
［例2］ 某物体的运动路程s （单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为________m/s 。

[解析］ ∵错误!＝错误! ＝错误! ＝3＋Δt ，
∴错误! 错误!＝错误! (3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s 。

[答案］ 3
方法技巧 求运动物体瞬时速度的三个步骤
（1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s （t 0＋Δt )－s (t 0)． （2）求平均速度v ＝错误!。

（3）求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，错误!无限趋近于的常数v 即为瞬时速度． 延伸探究 （1）若本例中的条件不变,试求物体的初速度． （2)若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解析：（1）求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度， ∵错误!＝错误! ＝错误! ＝1＋Δt ，
∴li 错误! 错误!＝li 错误! (1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s 。

(2)设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， 错误!＝错误!
＝(2t0＋1)＋Δt，
li错误!错误!＝li错误!(2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1,
则2t0＋1＝9，∴t0＝4。

则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
跟踪探究 2.一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s）,若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s,则常数a＝________.
解析：质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
错误!＝错误!＝错误!
＝4a＋aΔt，
∴li错误!错误!＝4a＝8，即a＝2.
答案:2
探究三求函数在某一点处的导数
［例3］（1）求函数f（x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
［解析］∵Δy＝3（1＋Δx)2－2(1＋Δx）－(3×12－2×1)
＝3(Δx）2＋4Δx,
∴Δy
Δx＝
3(Δx)2＋4Δx
Δx＝3Δx＋4，
∴y′｜x＝1＝li错误!错误!＝li错误!（3Δx＋4）＝4。

（2）已知函数y＝ax－错误!在x＝1处的导数为2,求a的值．［解析]∵Δy＝a(1＋Δx）－错误!－错误!＝aΔx＋错误!,
∴错误!＝错误!＝a＋错误!，
∴li错误!错误!＝li错误!错误!＝a＋1＝2，
从而a＝1。

方法技巧求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比,三极限．
跟踪探究 3.求函数f(x）＝x在x＝1处的导数．
解析:∵Δy＝f(1＋Δx）－f（1)＝错误!－1，
∴错误!＝错误!＝错误!,
∴f′（1）＝li错误!错误!＝li错误!错误!
＝错误!.
4．已知f（x)＝3x2，f′（x0)＝6，求x0。

解析:∵f′（x0)＝li错误!错误!
＝li错误!错误!
＝li错误!（6x0＋3Δx）＝6x0,
又f′（x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1。

授课提示：对应学生用书第52页
［课后小结]
（1）本节课的重点是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的定义．
(2）本节课需要重点掌握的规律方法：
①平均变化率的求法;
②瞬时速度的求法;
③利用定义求函数在某一点处的导数的方法．
（3）本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错．
注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式。