2021届新课标数学一轮复习讲义_第六章_第6讲_数学归纳法(理)

第6讲 数学归纳法
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． [做一做]
1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0 答案：C
1．辨明两个易误点
(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n 0认为是1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3. (2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：
①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．
2．明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． [做一做]
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是( )
A ．2k ＋2
B ．2k ＋3
C ．2k ＋1
D ．(2k ＋2)＋(2k ＋3) 答案：D
考点一__用数学归纳法证明等式______________
用数学归纳法证明：
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝1
8
，
右边＝
14×（1＋1）＝1
8
.左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，
12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋1
2（k ＋1）[2（k ＋1）＋2] ＝
k 4（k ＋1）＋1
4（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）
＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋1
4（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，
由(1)、(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式应注意：(1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．(2)“假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立”并写出命题形式分析“n ＝k ＋1”时命题是什么，然后找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．(3)弄清左端应增加或减少的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
1.设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．
证明：(1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋1
2－1＝1， 左边＝右边，等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k
＝(k ＋1)⎣⎡⎦
⎤f （k ＋1）－1
k ＋1－k
＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，
∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 考点二__用数学归纳法证明不等式____________
设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1
a n
(n ＝1，2，…)．证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．
[证明] 当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，
a 2k ＋1＝a 2
k ＋1a 2k ＋2＞2k ＋3＋1a 2k ＞2(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2（k ＋1）＋1成立． 综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立． [规律方法] 数学归纳法证明不等式应注意：
(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法； (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
2.已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2
n .
求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.
证明：(1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2. (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1，
则由a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2
k ＋1＋a k ＋1－1)
＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，
得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立． 根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N *都成立．
考点三__归纳—猜想—证明____________________
已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝1
1＋x n
，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论。

[解] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝13
21.
由x 2>x 4>x 6，猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证命题成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2， 易知x k >0，那么
x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－1
1＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1（1＋x 2k ＋1）（1＋x 2k ＋3）＝11＋x 2k ＋2－
1
1＋x 2k （1＋x 2k ＋1）（1＋x 2k ＋3）
＝
x 2k －x 2k ＋2
（1＋x 2k ）（1＋x 2k ＋1）（1＋x 2k ＋2）（1＋x 2k ＋3）
>0，
即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.
也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立． 结合①和②知命题成立．
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
3.已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
解：(1)将n ＝1，2，3分别代入可得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜想a n ＝2－1
2n .
(2)证明：①由(1)得n ＝1时，命题成立．
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2－1
2k ，
那么当n ＝k ＋1时，
a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3， ∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－1
2k ＋1，
即当n ＝k ＋1时，命题也成立．
根据①、②得，对一切n ∈N *，a n ＝2－1
2
n 都成立．
1．如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( ) A ．p (n )对所有正整数n 都成立 B ．p (n )对所有正偶数n 都成立 C ．p (n )对所有正奇数n 都成立 D ．p (n )对所有自然数n 都成立
解析：选B.由题意n ＝k 成立，则n ＝k ＋2也成立，又n ＝2时成立，则p (n )对所有正偶数都成立． 2．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2
解析：选C. 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *) D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *) 解析：选B.∵n 为正奇数，∴n ＝2k －1(k ∈N *)．
4．在数列{a n }中，a 1＝1
3
，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )
A.1（n －1）（n ＋1）
B.12n （2n ＋1）
C.1（2n －1）（2n ＋1）
D.1
（2n ＋1）（2n ＋2） 解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.
猜想a n ＝1
（2n －1）（2n ＋1）.
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝
n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上增添的代数式是________．
解析：∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，
当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上增添(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2
6．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________．(n ≥1，n 是自然数)
解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.
答案：4 n 2－n ＋2
7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由题意知S 2＝4a 3－20，∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.
(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1，
则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]
2＝k (k ＋2)．
又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，
∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， ∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知，对于∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.
8．设实数c >0, 整数p >1，证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px . 证明：用数学归纳法证明．
①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设当p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．
则当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋
1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1， 不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．
9．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳
法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k ＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。