离散数学试题及答案

离散数学试题及答案
一、选择题
1. 在集合论中，下列哪个选项表示两个集合A和B的并集？
A. A ∩ B
B. A ∪ B
C. A - B
D. A × B
答案：B
2. 命题逻辑中，下列哪个符号表示逻辑非？
A. ∧
B. ∨
C. ¬
D. →
答案：C
3. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么称顶点v为顶点u的：
A. 祖先
B. 后代
C. 邻居
D. 连接点
答案：B
二、填空题
1. 一个命题函数P(x)表示为“x是偶数”，那么其否定形式为
________。

答案：x是奇数
2. 在关系R上，如果对于所有的a和b，如果(a, b)∈R且(b, a)∈R，则称R为________。

答案：自反的
三、简答题
1. 简述什么是等价关系，并给出其三个基本性质。

答案：等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和
传递性。

自反性指每个元素都与自身相关；对称性指如果a与b相关，则b也与a相关；传递性指如果a与b相关，b与c相关，则a与c也相关。

2. 解释什么是图的连通分量，并给出如何判断一个图是否是连通图。

答案：连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之
间都存在路径。

判断一个图是否是连通图，可以通过深度优先搜索或
广度优先搜索算法遍历整个图，如果所有顶点都被访问，则图是连通的。

四、计算题
1. 给定命题公式P：((p → q) ∧ (r → ¬p)) → (q ∨ ¬r)，证
明P是一个重言式。

答案：通过使用命题逻辑的等价规则和真值表，可以证明P在所有
可能的p, q, r的真值组合下都为真，因此P是一个重言式。

2. 给定一个有向图G，顶点集合V(G)={1, 2, 3, 4}，边集合
E(G)={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (2, 4)}。

找出所有强连通
分量。

答案：通过Kosaraju算法或Tarjan算法，可以找到图G的强连通
分量，结果为{1, 4}和{2, 3}。

五、证明题
1. 证明在任何有限集合上，幂集的基数是原集合基数的两倍。

答案：设集合A有n个元素，其幂集P(A)包含所有可能的子集，包括空集和集合A本身。

由于每个元素可以选择包含或不包含在子集中，因此P(A)有2^n个子集，即幂集的基数是原集合基数的两倍。

2. 证明任何有限群的拉格朗日定理成立。

答案：设群G有n个元素，对于G的任何子群H，根据群的性质，H 至少包含单位元。

由于群运算的封闭性，H的元素个数必须是G的元素个数的约数。

通过归纳法，可以证明H的阶（即元素个数）必须整除G 的阶，即拉格朗日定理成立。