高二数学均值不等式知识精讲试题
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高二数学均值不等式知识精讲
一. 本周教学内容：
均值不等式
二. 重点、难点： 1. 均值不等式：
ab b
a ≥+2
〔0>a 且0>b 〕 当且仅当b a =时，“=〞成立 2. 均值不等式的推广〔换元〕
ab b a 22
2
≥+ 2
2
4
4
2b a b a ≥+ ab b
a 1
2112
2≥+ 3. 均值不等式的引申
2
2
1
122
2b a b a ab
b
a +≤
+≤
≤+〔a 、b 均正〕 ↓ ↓ ↓ ↓ 调和平均数 算术平均数 几何平均数 平方平均数 〔当且仅当b a =时，以“=〞均成立〕 4. 均值不等式的应用
x 、∈y 〔0，∞+〕
〔1〕S y x =+为定值时，x 、y 有最大值42S ，当且仅当2
S
y x ==时，取最大值
〔2〕x 、y =P 为定值时，y x +有最小值P 2，当且仅当P y x ==时，取最小值
[例1] 对于3的证明：
〔1〕
ab ab
ab
b a ab b
a =≤+=
+222112 〔2〕2
222
)()(22222222
2b
a a
b b a b a b a b a +=
++≥
+++=+ [例2] x
a x f =)(〔0>a 且1≠a 〕，任取α、R ∈β，求证：
≥+2
)
()(βαf f
)2
(
β
α+f 。
证明：
)(2
1
)]()([21βαβαa a f f +=+ 2
)2(βαβα+=+a f
2)(2
1β
αβαβα
+=⋅≥+a a a a a [例3] a 、b 、∈c 〔0，∞+〕，求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥
+++++。
证明：
)(2222b a b a +≥
+ 同理22c b +)(2
2
c b +≥ )(2
2
22a c a c +≥
+ ∴ )(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ [例4] )2
,
0(π
α∈，)cos (sin 21
αα+=
a ，α2sin 21=
b ，α
ααcos sin 2sin +=c ，求证：c b a ≥≥。
证明：
∈α〔0，
2
π
〕 αsin ，∈αcos 〔0，1〕 )cos (sin 21αα+=a
ααcos sin ⋅=b α
αcos 1
sin 12+
=
c ∴ c b a ≥≥
[例5] a 、b ∈〔0，∞+〕且b a ≠，∈c 〔0，1〕，求证：ab b b a a c c log 4
log 3
3<+++。
证明：
ab b b a a >+++⇔433 1433>+++⇔ab
b b a a
左122
1
)1(21]212[41)]()11[(4122=⋅≥+=+>+++=ab ab ab ab a b b a b a =右
[例6] a ，b ，c ∈〔0，∞+〕，求证：
3≥-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b 。 证明： 左111-++-++-+=
c b c a b c b a a c a b 3)()()(-+++++=c
b
b c c a a c b c a b 33222=-++≥
[例7] a 、b 、∈c 〔0，∞+〕且1=abc ，求证：8)1)(1)(1(≥+++c b a 。
证明：
a a a 2121=⋅≥+
∴ 左===⋅⋅=88222abc c b a 右 [例8] ∈x 〔0，∞+〕时，求：4
32
+=
x x
y 的最大值。 解： 形如c bx ax f
ex y +++=
2型 4342343=⋅≤+=x
x x x y
∴ 43max =
y 当且仅当x
x 4
=时 [例9] ∈x 〔3，∞+〕，求3
22
-=x x y 的最小值。
解：
形如f
ex c
bx ax y +++=2型
3
1812)3(2318)3(12)3(22-++-=-+-+-=x x x x x y
2412362123
18
)3(2=+≥+-+
-=x x 当且仅当318
)3(2-=-x x 时，“=〞成立，即6=x 时，24min =y
[例10] x 、y ∈〔0，∞+〕且12=+y x ，求y
x t 1
1+=
的最小值。 解：1
)1(3)1(2121)21()21(12111122+-+--=--=⋅--+=+-=+=
y y y y y y y y y y y y y x t 2232
231]
11
)1(2[31
3
1
1
)1(21
+=-≥
-+--=
+-+-=
y
y y y
1. 以下函数中，最小值是4的是〔 〕 A. x
x y sin 4
sin +
=〔),0(π∈x 〕 B. x x y cot 4tan +=〔)2
,2(π
π-∈x 〕 C. x
x
y -⋅+=3
43〔R x ∈〕
D. 10log 4log 10x x y +=〔0>x 且1≠x 〕
2. 假设a 、b 、R c ∈，且1=++ca bc ab ，那么以下各式成立的是〔 〕 A. 22
2
2
≥++c b a B. 3)(2
≥++c b a C.
321
11≥++c
b a
D. 3≤
++c b a
3. 0>a ，0>b 且1=+b a ，那么)11)(11(22--b
a 的最小值为〔 〕 A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
4. a 、b 为正常数，x 、y 为正变数，且1=+y
b
x a 〔b a ≠〕，求y x +的最小值。