2019版中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)讲义

2019版中考数学复习 第二章 方程（组）与不等式（组）讲义
【考点1】一元一次方程
定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：a
b
x
（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1
【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程
定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法
⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：
⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；
⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；
⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=
进价
利润
×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）
⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数
⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）
⑷ 浓度问题：浓度=
溶液质量
溶质质量
×100﹪
⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）
② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程） ③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-
【中考试题精编】
1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）
A. 5(x-2)+3x=14
B. 5(x+2)+3x=14
C. 5x+3(x+2)=14
D. 5x+3(x-2)=14
2.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

设小杨投进x 个，小方投进y 个，则列出的方程组正确的是 （ ）
A.⎩⎨
⎧+==+521y x y x B.⎩⎨⎧-==+521y x y x C.⎩⎨⎧+==+521x y y x D.⎩⎨⎧-==+x
y y x 521
3.某工厂生产某种商品，每件的成本价为5元，利润率为20﹪。

工厂通过改进工艺降
低成本，在售价不变的情况下利润率增加了30﹪，则此商品每件的成本降低了 元。

4.某商品标价为x 元，为促销打八折，实际售价为84元，则可列出方程为 .
5.第41届世博会“中国xx 年上海世博会”5月1日召开了，小亮计划在暑假期间为他们全家5人预订世博会门票，根据图中的对话内容请你求出甲乙两种门票的价格各是多少？
图一：听说甲种门票比乙种门票贵70元；2张甲种门票和3张乙种门票共需590元。

图二：我准备定甲种门票2张，乙种门票3张。

6.在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价的13﹪的财政补贴。

村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机比A 型洗衣机售价多500元，求；
⑴A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？
⑵小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？
第二节 一元二次方程
【考点1】一元二次方程的定义及解法
只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 （系数不为0），这样的整式方程叫做一元二次方程。

1.一般形式：)0(02
≠=++a c bx ax
2.解法：（1）直接开平方法：形如
)0(2
≥=±n n m x ）（的方程，可直接开平方求解。

则m n x ±=
2,1
（2）因式分解法：可化为0))((=++n x m x a 的方程，可用分解因式法
求解。

则n x m x -=-=21
,
（3）公式法：求根公式：x= ）（042≥-ac b
（4）配方法：若02
=++c bx ax 不易于分解因式，可考虑配方为k h x a =+2
)(，再直
接开方求解。

3. 根的判别式 ：△=ac b 42-
⑴ △ 时，方程有两个不相等的实数根； ⑵ △ 时，方程有两个相等的实数根； ⑶ △ 时，方程无实数根。

4. 根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两根分别为1x ，2x 则
a b x x -=+21, a
c
x x =⋅21
【考点2】一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步。

列一元二次方程解应用题中，经济类问题是常考内容之一，解决这类问题需掌握以下两个关系：
⑴ 增长率等量关系；
① 增长率=增量÷基础量
② 设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则b m a n
=+)1(；
当m 为平均下降率时，则有b m a n
=-)1(
⑵ 利润等量关系：
① 利润=售价-进价 ； ② 利润率=进价
利润
×100﹪ 【中考试题精编】
1. 一元二次方程04=-x 的解是 （ ）
A. 2,221-==x x
B. x=-2
C. x=2
D. 0,221==x x 2. 一元二次方程022=-+x x 的两根之积是 （ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
3. 一元二次方程0652=+-x x 的两根之和为 （ ） A. 5 B. -5 C. -6 D. 6
4. 一元二次方程x x 32
=的解是 。

5. 已知一元二次方程022
=+-m x x
（1）若方程有两个实数根，求m 的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且3321=+x x ，求m 的值。

6. 阅读题列，解答下题：
例 解方程 0112
=---x x
解：（1）当01≥-x ，即x ≥1 时， 01)1(2
=---x x
02=-x x
解得；01=x （不合题意，舍去），12=x （2）当x-1＜0时，即x ＜1时， 01)1(2
=--+x x
022=-+x x
解得；11=x （不合题意，舍去），22-=x 综上所述，原方程的解是x=1或x=-2 依照上例解法，解方程04222
=-++x x
第三节 分式方程
【考点1】分式方程的概念及其解法
1. 定义：分母中含有 的方程，叫分式方程。

2. 解分式方程的步骤：
分式方程（去分母，转化为）→ → 解整式方程→ 检验增根 →确定原方程的根 3. 分式方程的增根
（1） 定义：使分式方程中分母为0的根。

（2）检验方法：①利用方程的解得定义进行检验；
②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0即为原方程的根，若为0则为增根，必须舍去。

【考点2】分式方程的应用
解分式方程的应用题与解其他方程的应用题的步骤基本相同，但需要注意的是：要进行双验根。

既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是能使实际问题有意义。

【中考试题精编】 1. 分式方程
x
x x -=
+--23
123的解是 （ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
2. 某市道路改造，需要一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25﹪，结果提前了8天完成任务。

设原计划每天铺
设管道x 米，根据题意，则下列方程式正确的是 （ ）
A.
8%2512001200=-x x B. 825.11200
1200=-x x C. 8120025.11200=-x x D. 81200%2511200=--x
x ）（ 3.分式方程013
2
=+-x 的解是 .
4.解方程：x
x
x -=
--12111 5.去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个月多无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水任务，问原计划每天修水渠对少米？
第四节 一次不等式与一次不等式组
【考点1】 不等式（组）的概念及性质 不 等 式 的 基 本 概 念
定义 用不等符号连接起来的式子，叫做不等式。

解集 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解： 一个含有未知数的不
等式的解的全体，叫做不等式的解集。

解不等式
求不等式的解集的过程叫做解不等式。

解集在数轴上的表示
x ＜a
x ＞a
x ≥a
X ≤a
不等式的基本性质：
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 。

一元一次不等式：
一元一次不等式的解法和一元一次方程类似（去分母，去括号，移项，合并同类项，化 系数为1），但要特别注意性质3
【考点2】一元一次不等式组的解集
由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情形
类型（a ＞b ） 解集
在数轴上表示
口诀
⎩⎨
⎧〉〉b x a x
同大取大 ⎩⎨
⎧〈〈b
x a
x
同小取小 ⎩⎨
⎧〉〈b
x a x
小大大小取中间
⎩⎨
⎧〈〉b
x a x
大大小小取不了
【考点3】一元一次不等式（组）的应用
1. 列不等式（组）解应用题的基本步骤为：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等
式；
⑤检验并写出答案
2. 列不等式（组）解应用题涉及的题型常与方案设计型相关联，如最大利润，最优方案
等。

【中考试题精编】
1. 不等式x+3＞3x-5的解集为（ ） A. x ﹤1 B. x ﹥2 C. x ﹤2 D. x ﹥4
2. 已知a ﹤b ，下列式子正确的是（ ） A. a+3﹥b+3 B. a-3﹤b-3 C. -3a ﹤-3b D. 3
3b
a 〉
3. 不等式组⎩⎨
⎧≤-≤+3
3
2x x ，的解集是（ ）
A. x ≥-3
B. x ≥3
C.x ≤1
D. -3≤x ≤1 4. 不等式组⎩⎨
⎧≥--〉+1
)4(223x x
x 的解集为
5. 解不等式组，并把解集表示在数轴上：
⎩
⎨⎧
+≤-〉+)1(21302x x x
-11
6. 师徒二人分别组装28辆摩托车，徒弟单独工作一周（7天）不能完成，而师傅单独工
作不
到一周就已完成，已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆，求： （1）徒弟平均每天组装多少辆摩托车（答案取整数）？
（2）若徒弟先工作2天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同？。