数列极限定义及部分习题

注1. 定义中的是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了yn可无限接近于A, 另外, 又是确定的, 它不是变量.
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|ynA|<, 则记 lim yn A.
n
注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给 不同的 确定的N也不同,另外, 对同一 个来说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)
因此要说明当n越来越大时越来越接近于1就只须说明当n越来越大时越来越接近于0则只须说明当n充分大时能够小于任意给定的无论多么小的正数就行了也就是说无论你给一个多么小的正数当n充分大时会越来越接近于0
§2.1
数列极限
§2.1
数列极限
一、 数列的概念 二、 数列极限的定义
一、 数列的概念 1.数列的定义
1 以后各项都有 | y n 1 | 10000
1 一般地, 任给 >0, 不论多么小, 要使 | yn 1 | n
只须 n . 因此, 从第
1
1 1 项开始,
以后各项都有
| yn 1 |
因为是任意的, 这就说明了当n越来越大时, yn会越来越接近于1.
设yn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函 数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，y1, y2,…yn, …, 称为一个数列. yn称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{yn}或yn=f (n)
1 例. 1. y n 1 , n
n
3 4 n1 2, , , , 2 3 n
5 4 4 3 3 2
y1 2
x
从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对 应的项yn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于 无穷大时, 数列xn趋近于1”.如何用精确的, 量 化的数学语言来刻划这一事实?
注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, yn越来越接近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, | yn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| yn1 |越来越 接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| yn1 |能够小 于任意给定的, 无论多么小的正数 ” 就行了,也就 是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | yn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|yn1| 会越来越接近于0.
因 | yn A | = |qn 0| = |qn | = |q | n , 要使| yn a | < , 只须 |q | n < 即可.
ln 即 n ln |q | < ln , 或 n 即可 . ln | q |
ln 取正整数 N , 则当 n > N 时, 有 ln | q |
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列{ y n }可看作自变量为正整数 n的函数 :
yn f ( n), n N .
当自变量 n依次取1,2,3, 等一切正整数 时, 对应的函数值就排列成 数列{ yn }.
二、 数列极限的定义
1. 例解
1 数列 yn 1 n
yn y4 y3 y2 1
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|ynA|<, 则记 lim yn A.
n
注3. 定义中“ 当n>N时, 有| ynA |< ”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|ynA |<,至于 以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个 数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的 前有限项, m
n2 a 2 1. n
n
1 1 ( 1) ( 1) , 2. , 1, , , , 2 3 n n
( 1) 1 ( 1) 1 , 3. y n , 0 ,1,0 ,1, , 2 2
n
n
4 . { n },
2
1,4,9, , n ,
2
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
y1 y2 A-
(
yN+5 A
yN+1
A+
)
yN y3
y
4.
例解
n
例1. 设q是满足 |q |<1的常数, 证明 lim q n 0. 证. 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 < |q |<1. > 0. 现在, yn = qn, A = 0.
(要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )
ln ln n , ln | q | ln | q |
从而有
| qn 0 | <
故
n
lim q n 0.
例2. 证明 lim
n
n2 a 2 1. 其中a为常数 . n
A 1.
证: yn
n2 a 2 , n
>0, 由于
n2 a 2 n n a2 . n
1 1 | y 1 | 事实上, n ,给 , 很小, 要使 n 1000
1 1 , 只须n>1000 即可, 也即在这个 | yn 1 | n 1000
数列中,从第1001项开始,以后各项都有
1 | yn 1 | 1000
1 , 则从第10001项开始, 又给 10000
n
这时, 也称{yn}的极限存在, 否则, 称{yn}的 极限不存在, 或称{yn}是发散的.
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|ynA|<, 则记 lim yn A.
n
1 (1 ) 1 比如, 对于刚才的数列1. 有 lim n n ( 1) n 1 ( 1) n 和 lim n 2 不存在 . lim 0, 而 lim n n n 2 n
2. 定义: 设{yn}是一个数列, A是一个常数, 若 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|ynA|<,则称A是数列{yn}当n 趋于无穷大时的极限, 或称{yn}收敛于 A. 记作:
lim yn A , 或,
n
yn A(n )
yn A(n ))
( lim yn A , 或,
| yn A |
n2 a 2 1 n a2 n( n 2 a 2 n)
a2 a2 要使 | yn A | < , 只须 , 即n 即可 . n
a2 取正整数 N , 则当 n > N 时, 有
n2 a 2 1 n
3.几何意义: 由于| ynA |< A <yn< A yn(A , A +)=U(A, ).因此, 所谓yn以A为极限, 就是对任 何以A为心, 以任意小的正数 为半径的 邻域, 总能找到一个N, 从第N+1项开始, 以后各项都 落在邻域 U(A, ) 内,而只有有限项落在U(A, ) 外部.看图.