北师大版七年级下册数学-变量之间的关系

第三章变量之间的关系
1．理解有关变量的基本概念、变量的表示方法
2．熟悉在速度-时间变化、温度-时间变化、高度/深度-时间变化图像题的解题方法
3．第二章相交线平行线提高题
知识点一：有关变量的基本概念
1、变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。

2、自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；
3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于” 自变量的改变。

4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
知识点二：变量的表示方法
1.列表法
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。

列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。

优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，
缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。

2.图象法
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。

它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。

特点：非常直观。

不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。

表示的步骤是：
①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。

一般给出的数越多，画出的图象越精确。

②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。

③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。

注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；
3.关系式法（解析法）
关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

注意：三种表示方法的关系
表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。

但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。

知识点三：事物变化趋势的描述
对事物变化趋势的描述一般有两种：
1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；
2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）
注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.
知识点四：估计（或者估算）
对事物的估计（或者估算）有三种：
1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y 的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；
2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；
3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.
知识点五：两种图像的区别---平行于横轴的意义
1、v-t（速度与时间）
说明：线段OA表示汽车正在加速行驶：线段AB表示汽车正在匀速行驶，线段BC表示汽车正在减速行驶；线段CD表示汽车停止了行驶。

1、s-t（距离与时间）
说明：线段OA表示汽车正在离开出发地，线段AB表示汽车停止了行驶（V=0，S不变）线段BC表示汽车正在返回出发地，线段CD表示汽车已经回到了出发地并停止了。

（S=0，V=0）注意：理解平行于横轴的线段的不同含义（在这段时间内因变量不变）、
知识点六：变化速度的比较
在相同时间内因变量变化速度的比较，哪一支图像更陡一些，这支图像代表的因变量的变化会更快一些。

1、增长速度
甲图像更陡，所以甲增长的更快。

2、下降速度
甲图像更陡，所以甲速度下降的更快。

专题一、速度随时间的变化
例1、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系的图象大致是（ ）
例2一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 (
)
例3、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。

当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
例4、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）
与散步所用的时间t （分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，
看了一会儿报，就回家了. B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一 会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了. C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回.
V
O
V
ｔ
例5如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题.
图6－31
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行驶在摩托车前面；
②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？
例6、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图6－32所示）.
图6－32
（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？
（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
专题二、温度与时间的关系 例1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水的水温T 与时间t 的函数关系的是（ ）
大山在一天中的体温变化情况如图6-44
：
(1)大约在_______时，大山的体温最高，这时最高体温是_________. (2)大约在_______时，大山的体温最底，最低体温是__________.
(3)大山的体温在升高的时段是_________；(4)大山的体温在降低的时段是_________. 专题三、高度（深度）与时间的变化
1、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的关系？( )
A B C D
2、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（ ）
例一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为 y(km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图像进行以下探究， 信息读取
（1）、甲、乙两地之间的距离为 km （2）、请解释图中B 点的意义: (3)、求慢车和快车的速度，
（4）、求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢
车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少 小时？
练习：1.向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水的过程中水面的高度h
A
B
C
D
第10
题图
随时间t变化的函数图象大致是（）
A B C D
2.动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。

油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？加了多少油？
(2)试求加油前油箱余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系式；
(3如果加油站离目的地还有230公里，车速为40公里/小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
3.如图6，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。

到十点时，甲大约走了13千米。

根据图象回答：
（1）甲是几点钟出发？
（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？
（3）到十点为止，哪个人的速度快？
（4）两人最终在几点钟相遇？
（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？
4.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的
时间
路程
（千米）
图6
长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值．
所挂质量/kg x （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？
（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？ 第二章 平行线相交线提高例题
1、如图4，已知A B ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。

.
2、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。

3、如图6，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 。

图4 图5 图6
4、如图7，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________．
5、如图8，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP ,垂足为P ，若∠PEF=300
,则∠PFC=__________。

6、如图9，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ．
7、如图10，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ．
图7 图8 图9 图10 图11
8.如图11，O 是△ABC 内一点，OD ∥AB ，OE
∥BC ，OF ∥AC ，∠B ＝45°，∠C ＝75°，则∠
DOE ＝ ，∠EOF ＝ ，∠FOD ＝
．
9.如图，直线a 、b 都与直线c 相交，给出下列条件：① 12∠=∠；②36∠=∠； l 1 l 2
1
2 3
300
P F
E
B
A
C
D A
B D
C
1 2
3 a
b c
1
3 5 7 4
8 6 2
③47180∠+∠=；④58180∠+∠=.其中能判断a //b 的条件是（ ）.
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①③④ （D ）①②③④
10.如图，已知：AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，请说明：AE ⊥CF.
11、已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小；⑵∠PAG 的大小.
A
B D
C
E。