延长与截取|线段倍分类几何证明的通用手法

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延长与截取|线段倍分类几何证明的通用手法

线段倍分类几何图形的证明,由于要考虑辅助线的添加,对学生的图形有想象力有所要求。平时在训练做题中,要增加对图形美感的培养,掌握通用方法。在具体的图形中,考虑延长相关短些的线段,或是在大点线段截取。通过多练,掌握普遍做法。在图形的操作中,进一步增加图形的熟悉感。

如图,在三角形ABC与BCD中,角A与D是90度,边BD=CD,CM=2AB,求角ACB的度数?

由所给条件,知三角形BCD是等腰三角形,相关的性质要熟练把握,锐角是45度,斜边是直角边的根号2倍。关键是条件CM=2AB 的使用,考虑两个方向维度,一个是截取,在线段CM上截取CF=AB,过F点作CM的垂线交CD于 E点,这样就构造出一个直角三角形CEF,从而可以证明得出两个直角三角形ABM与FCE的全等。

由全等得到线段BM=CE,这样在等腰直角三角形BCD中,由中位线定理,就得到线段ME平行于BC。再由条件MC=2AB,结合截取的条件CF=AB,很快就能得到三角形MEC是等腰三角形,从而很快就知道角ACB是角BCD的一半,即45度的一半。

从延长的维度来考虑,自然想到把线段BA与CD延长相交于点G,看似条件CM=2AB还没有利用上,但随着证明两个直角三角形CMD 与BGD的全等,自然是能看到曙光了。“犹抱琵琶半遮面”,一个思维转身,“他却在灯火阑珊处”,得到线段CM=BG。再结合直角,就能得到三角形BCG是等腰三角形,从而于“三线合一”的性质,得到线段AC也是角平分线,所以就有了角ACB的度数是45度的一半。

几何线段倍分类证明,延长与截取,是常见的处理手法,在平时的练习中,不断增加认知,不断增强对图形美感的操作。多维度锻炼思维,在一题多做中能更加有效提升思维视野。

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