(通用版)2019版高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示实用 理

解得k2＝110， b2＝－2，
即 y＝110x－2.
115x，x∈[0，30]， 综上，f(x)＝2，x∈30，40，
110x－2，x∈[40，60].
(2)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1， ∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)＝－12x2 －12x.
[基本能力]
1．判断题
(1)若 f(x)满足 f 1x＝x－1，则 f(x)＝1x－1.
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ×)
(2)若 f(x)＝2x＋1，x∈[1,3]，则 f(x－1)＝2x－1，
x∈[2,4]．
(√ )
2．填空题 (1)已知 f(x)满足 f 3x－1＝lg x，则 f －170＝________. 解析：令3x－1＝－170，得 x＝10，∴f －170＝lg 10＝1. 答案：1 (2)若函数 f(x)如下表所示： x 01 2 3 f(x) 3 2 1 0 则 f(f(1))＝________.
(5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R .
(6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan
x

的定义域为x|

x≠kπ＋π2，k∈Z


.
[例1] (2018·长沙模拟)函数f(x)＝ 2－2x＋log13x的定义域为
f：A→B 集合 B 中都有唯一确定 集合 B 中都有 唯一确定
名称
的数 f(x)和它对应
的元素 y 与之对应
称__f：__A__→_B___为从集合 称对应__f：__A__→__B_为从集
A 到集合 B 的一个函数 合 A 到集合 B 的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应 f：A→B
2.函数的有关概念
()
A．{x|x<1}
B．{x|0<x<1}
C．{x|0<x≤1}
D．{x|x>1}
[解析]
2－2x≥0， 要使函数有意义，则必须满足x>0，
log3x≠0，
∴0<x<1，选 B.
[答案] B
[易错提醒]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、 商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的 交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区 间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
1．函数与映射的概念
[基本知识]
函数
映射
两集合 A，B
设 A，B 是两个 _非__空__的__数__集___
设 A，B 是两个 __非__空__的__集__合___
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系 f，使对于集合 A 应关系 f，使对于集合 A 系 中的 任意 一个数 x，在 中的 任意 一个元素 x，在
(
)
A．f(x)＝xx＋ ＋12
B．f(x)＝x＋x 1
C．f(x)＝x－x 1
D．f(x)＝x＋1 2
解析：令 x－1＝t，则 x＝t＋1，∴f(t)＝tt＋ ＋12，即 f(x)＝xx＋ ＋12.
故选 A.
答案：A
2．函数 f(x)满足 2f(x)＋f(－x)＝2x，则 f(x)＝________. 解析：由题意知22ffx－＋xf＋－fxx＝ ＝－2x，2x， 解得 f(x)＝2x. 答案：2x
章
第一节 函数及其表示
本节主要包括 3 个知识点： 1.函数的定义域； 2.函数的表示方法； 3.分段函数.
突破点(一) 函数的定义域
突破点(二) 函数的表示方法
012453 突破点(三) 分段函数 全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 函数的定义域
自学区 抓牢双基· 完成情况
3．已知 f 2x＋1＝lg x，则 f(x)＝________. 解析：令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1(t>1)．将上式代入 f 2x＋1＝ lg x，得 f(t)＝lgt－2 1，即所求函数的解析式为 f(x)＝lgx－2 1 (x>1)． 答案：lgx－2 1(x>1)
(3)由题意知函数 f(x)满足 f(x)＝2f
1x＋3x，即 f(x)－2f
1 x
＝3x，用1x代换上式中的 x，可得 f 1x－2f(x)＝3x，联立方程得
fx－2f1x＝3x， f1x－2fx＝3x，
解得 f(x)＝－x－2x(x≠0)．
[答案]
115x，x∈[0，30]， (1)f(x)＝2，x∈30，40，
110x－2，x∈[40，60]
(2)－12x2－12x (3)f(x)＝－x－2x(x≠0)
[方法技巧] 求函数解析式的四种方法
[全练题点]
1．已知函数 f(x－1)＝x＋x 1，则函数 f(x)的解析式为
解析：由题意知 f(1)＝2，所以 f(f(1))＝f(2)＝1.
答案：1
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
求函数的解析式
[典例] (1)甲同学家到乙同学家的途中 有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公 园的距离都是 2 km，甲 10 时出发前往乙家．如 图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的 路程 y(km)与时间 x(min)的关系．则函数 y＝ f(x)的解析式为________________．
④f(x)＝ x2与 g(x)＝3 x3. 答案：②
讲练区 研透高考· 完成情况 [全析考法]
求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R .
(4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}．
求抽象函数的定义域
对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x)) 的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义 域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
[例 2] (2018·唐山模拟)已知函数 f(x)的定义域为(－1,1)，
答案：[0,4]
02 突破点(二) 函数的表示方法
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．函数的表示方法 函数的表示方法有三种，分别为解析法 、列表法和 图象法 ． 同一个函数可以用不同的方法表示． 2．应用三种方法表示函数的注意事项 (1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法：注意定义域对图象的影响．与 x 轴垂直的直线与其 最多有一个公共点．
(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)．若当 0≤x≤1
时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0 时，f(x)＝________. (3)(2018·合肥模拟)已知函数 f(x)满足 f(x)＝2f1x＋3x，则 f(x)
的解析式为________________．
4. [考点一] 函数 f(x)＝ 21x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域为________．
解 析 ： 要 使 函 数 f(x) ＝
2x2 1－x
＋
lg(3x
＋
1)
有
意
义
，
则
1－x>0， 3x＋1>0，
解得－13<x<1，所以函数 f(x)＝
21x－2 x＋lg(3x＋1)
的定义域为－13，1.
[易错提醒]
函数 f[g(x)]的定义域指的是 x 的取值范围，而不是 g(x)的取值范围．
[例 3] 若函数 f(x)＝ 2 x2 +2ax-a －1的定义域为 R ， 则 a 的取值范围为________．
[解析] 因为函数 f(x)的定义域为 R ，所以 2 x2 +2ax-a － 1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2 x2 +2ax-a ≥20，x2＋2ax－a≥0 恒 成立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
[解析] (1)当 x∈[0,30]时，设 y＝k1x＋b1，
由已知得b301＝k1＋0，b1＝2，
解得k1＝115， b1＝0，
当 x∈(30,40)时，y＝2；
当 x∈[40,60]时，设 y＝k2x＋b2，
即 y＝115x.
由已知得4600kk22＋ ＋bb22＝ ＝24， ，
[答案] [－1,0]
[方法技巧] 解决已知定义域求参数问题的思路方法
[全练题点]
1.[考点一]函数f(x)＝log2(x2－3x＋2)的定义域为
()
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(1,2)
解析：要使函数有意义，需满足x2－3x＋2>0，解得x>2或 x<1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选B. 答案：B
则函数 g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为 A．(－2,0) B．(－2,2)
()
C．(0,2)
D.－12，0
[解析]
由题意得－1<x2<1， －1<x－1<1，
∴－ 0<2x<<x2<，2，
∴0<x<2，∴函数 g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选 C. [答案] C
(1)函数的定义域、值域：在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫 做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相 对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域．显然，值域是集合 B 的 子集 ．
(2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ． (3)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全
一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
[基本能力]
1．判断题
(1)函数是特殊的映射．
( √)
(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．
(3)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．
(× ) (× )
2．填空题 (1)下列对应关系： ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x 的平方根； ②A＝R ，B＝R ，f：x→x 的倒数；
2.[考点一] (2018·青岛模拟)函数y＝2x2－1－3xx－2 2的定义域为
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
()
C．[1,2)∪(2，＋∞)
D.－1，－12∪－12，1
解析：由题意得12－ x2－x2≥ 3x－0，2≠0，
－1≤x≤1， 解得x≠2且x≠－12，
即－1≤x≤1 且 x≠－12，
所以函数的定义域为－1，－12∪－12，1.故选 D. 答案：D
3. [考点二](2018·惠州调研)若函数 y＝f(2x)的定义域为12，2， 则 y＝f(log2x)的定义域为________．
解析：由题意可得 x∈12，2，则 2x∈[ 2，4]，log2x∈[ 2， 4]，解得 x∈[2 2 ，16]，即 y＝f(log2x)的定义域为[2 2 ，16]． 答案：[2 2 ，16]
答案：－13，1
5.[考点三](2018·杭州模拟)若函数 f(x)＝ mx2＋mx＋1的定义 域为一切实数，则实数 m 的取值范围是________． 解析：由题意可得 mx2＋mx＋1≥0 恒成立． 当 m＝0 时，1≥0 恒成立； 当 m≠0 时，则mΔ＝>0m，2－4m≤0， 解得 0<m≤4. 综上可得：0≤m≤4.
③A＝R ，B＝R ，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A 中的数平方． 其中是 A 到 B 的映射的是________． 答案：③④
(2)函数 y＝ x－1＋ln(x－2)的定义域为________． 答案：(2，＋∞) (3)下列 f(x)与 g(x)表示同一函数的是________． ①f(x)＝ x2－1与 g(x)＝ x－1· x＋1； ②f(x)＝x 与 g(x)＝xx23＋＋1x； ③y＝x 与 y＝( x)2；