高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 第2课时 事件的相互独立性学案 新人教A版选修23

2.2 第二课时 事件的相互独立性

一、课前准备 1.课时目标

(1) 理解事件相互独立的定义；

(2) 能利用事件相互独立的乘法公式求n 事件都发生的概率. 2.基础预探

1.设A 、B 为两个事件，如果P （AB ）＝_______，则称事件A 与事件B 相互独立.

2.如果事件A 与B 相互独立，那么______，_______，_________也都相互独立.

3.一般地，如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即12()n P A A A =L ____________________. 二、学习引领

1.事件相互独立的的深入理解

当A ，B 相互独立时，易知(|)P A B =P （A ），而()()

(|)()P AB P B P A B P A =

=，所以

()()()P AB P A P B =；易知(|)P B A =P （A ）

，故()()

(|)()P AB P A P B A P B ==，所以

()()()P AB P A P B =.

因此可知，当A ，B 相互独立时()()()P AB P A P B =.

2. 事件互斥与事件相互独立的区别

事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生；两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的与否没有影响.这两个可以结合应用如：1-()()P A P B 表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率.

3.判断两个事件是否是相互独立事件

首先，一般地，两个事件相互独立是指两个试验的结果之间的关系或者一个大试验的两个不相关的子试验之间的关系；其次,事件的相互独立性可以看作是一个综合事件分几个步骤完成,可类比分步计数原理的解题过程理解. 三、典例导析

题型一：相互独立事件的判断

例1 李云有一串8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一次李云醉酒回家，他每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回，则 “第一次打不开门”记为事件A ，“第二次能打开门”记为事件B ，请问事件A 与B 是否相互独立？

思路导析：本题分析事件A 的发生与否对事件B 是否有影响，即可得到判断.

解：由于此人喝醉，不能记得用过那把钥匙，故每次取得每把钥匙的可能性相同；并且试用后不加标记的放回去.易知，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率没有影响，所以二

者是相互独立事件.

规律方法：判断两个事件是否独立，可利用两个事件相互独立的定义分别求出()P AB 、

()P B 、()P A 代入公式()()()P AB P A P B =判定；也可分析事件A 的发生与否对事件B 的

发生是否有影响.

变式训练：甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生’’与“从乙组中选出1名女生”；这两个事件是否是相互独立事件？

题型二 求相互独立事件同时发生的概率

例2 中央电视台“星光大道”节目共有四关，每期都有实力相当的5名选手参加，每关淘汰一名选手，最后决出周冠军.经选拔，某选手将参加下一期的“星光大道”. (1)求该选手进入第四关才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三关的概率.

思路导析：事件“进入第四关才被淘汰”的含义为“前三关未被淘汰，第四关被淘汰”；事件“选手至多进入第三关”的含义为“第一关被淘汰”或“第二关被淘汰”或“第三关被淘汰”；然后结合互斥事件的加法公式与相互独立事件的乘法公式解决. 解：(1)记“该选手能通过第i 关”的事件为=i A i (l,2,3,4)，则54)(1=

A P ，4

3)(2=A P ，32)(3=

A P ，=)(4A P 2

1

，所以该选手进入第四关才被淘汰的概率为 44123123()()()()()P A A A A P A P A P A P A =⨯⨯⨯=32435451

21=.

(2)该选手至多进入第三关的概率1233112[()(]P P A A A A A A =⋃⋃

++=)()()(211A P A P A P )()()(321A P A P A P 5

3

314354415451=⨯⨯+⨯+=

. 方法规律：求相互独立事件的概率，首先判断所给事件是否能分解为互相独立连续的几个子事件，然后选用公式求解.这类问题也常与互斥事件、古典概型等联系存一起，注意恰当的选择方法.

变式训练：两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为

23和3

4

，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）

A

12 B 512 C 14 D 16

题型三：概率加法乘法的综合问题

例3 某植物园要栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．

的概率分别为0.7，0.9. （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．

的概率；

（2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．

的概率. 思路导析：事件“至少有一种果树成苗．．”的对立事件为“两个果树都不成苗”；事件“恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．”包含“甲果树成苗且移栽成活”或“乙果树成苗且移栽成活”两个互斥的事件，然后利用互斥事件加法公式以及相互独立事件的概率乘法公式解决.

解：分别记“甲、乙两种果树成苗”为事件1A 、2A ；分别记“甲、乙两种果树苗移栽成活”为事件1B 、2B ，则1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =.

（1）“甲、乙两种果树至少有一种成苗”的对立事件是“甲、乙两种果树都不成苗”，而1A 与2A 是相互独立事件，故其概率为

121212()1()1()()10.40.50.8P A A P A A P A P A =-=-=-⨯=；

（2）分别记“两种果树培育成苗且移栽成活”为事件A B ，， 则1111()()()()0.60.70.42P A P A B P A P B ===⨯=，

2222()()()()0.50.90.45P B P A B P A P B ===⨯=.

“恰好有一种果树培育成苗且移栽成活”包括两种情况：“甲种果树培育成苗且移栽成活、乙种果树没培育成苗且没移栽成活”，即AB ；或“甲种果树没有培育成苗且没移栽成活、乙种果树培育成苗且移栽成活”，即AB ，而AB 与AB 是互斥事件，A 与B 、A 与B 是相互独立事件， 故其概率为

[()()]()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+

0.420.550.580.450.492=⨯+⨯=

方法规律：对于相互独立事件、互斥事件的综合问题的求解可分三步进行：一是列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；二是理清各事件之间的关系，列出关系式；三是根据事件之间的关系准确的运用概率公式进行计算.当遇到“至多”、“至少”问题时常考虑其对立事件，从问题的反面求解.

变式训练：甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳两次，第2次才成功的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.

四、随堂练习