高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及模拟题)《数

高考数学一轮汇总训练（概括明确考点 +课前自测 +教
师备选题+误区警告+课后实战题，含详解及模拟试题）《数系的扩大与复数的引入》理新人教 A版
[ 备考方向要了然]
考什么怎么考
1. 理解复数的基本观点，理解复数相等的充 1. 以选择题的形式考察复数的观点及其几何
要条件．意义，如 2012 年北京 T3，江西 T5 等．
2. 认识复数的代数表示法和几何意义，会进 2. 以选择题或填空题的形式考察复数的代数
行复数代数形式的四则运算．运算，特别是除法运算，如2012 年新课标全
3. 认识复数代数形式的加、减运算的几何意国 T3，山东 T1，浙江 T2 等 .
义 .
[ 概括·知识整合]
1．复数的有关观点
内容意义备注
设 a， b 都是实数，形如a＋ b i的数叫若 b＝0，则 a＋ b i是实数，若 b≠0，
复数的概
a ， i 叫
a
i 是虚数，若
a
＝0 且
b
≠0，则
复数，此中实部为，虚部为则＋
念b b
a＋ b i是纯虚数
做虚数单位
＋i ＝＋ i ?＝且＝ (，，，
a b c d a c b d a b c
复数相等
d∈R)
＋i 与c＋i共轭 ?a＝c且b＝－
a b d
共轭复数
d( a， b， c，d∈R)
成立平面直角坐标系来表示复数的平
实轴上的点都表示实数；除了原点外，复平面面，叫做复平面， x 轴叫实轴， y 轴叫
虚轴 .
虚轴上的点都表示纯虚数
向量 OZ 的长度叫做复数z＝ a＋ b i的
z a a 2
b
2
复数的模|| ＝ |＋ i| ＝＋模b
[研究] 1. 复数a＋b i( a，b∈ R) 为纯虚数的充要条件是a＝0吗？
提示：不是， a＝0是 a＋ b i( a， b∈R)为纯虚数的必需条件，只有当a＝0，且 b≠0时，a＋ b i才为纯虚数．
2．复数的几何意义
复数 z＝ a＋ b i与复平面内的点Z( a，b)与平面向量OZ( a，b∈R)是一一对应的关系．3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法例
设 z1＝ a＋ b i， z2＝ c＋ d i(a，b， c， d∈R)，则
①加法：
z 1＋
z
2＝(＋ i)＋ (
c
＋ i)＝ (
a
＋) ＋ (＋)i ；
a b d c b d
②减法： z － z ＝( a＋ b i)－ ( c＋d i) ＝ ( a－c) ＋ ( b－d)i ；
12
③乘法： z · z ＝( a＋ b i)(c＋ d i)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i；
12
z1a ＋i
a
＋ i
c
－i
ac
＋
bd bc
－
ad
④除法：＝b
＝
b d
＝
z c＋ d i c＋d i c－d i 2 2 ＋2 2 i(c＋d i≠0)．
2
c ＋
d c ＋ d
(2)复数的加法的运算定律
复数的加法知足互换律、联合律，即对任何z1、 z2、 z3∈C，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，( z1＋ z2)＋z3＝ z1＋( z2＋ z3)．
(3)复数的乘法的运算定律
复数的乘法知足互换律、联合律、分派律，即对于随意z1，z2，z3∈C，有 z1· z2＝ z2· z1，( z1·z2) ·z3＝z1·(z2·z3) ，z1( z2＋z3) ＝z1z2＋z1z3.
[ 研究 ] 2. z1、z2是复数，z1－z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？
提示：假命题．比如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－ z2＝3>0，但 z1>z2无心义，因为虚数
无大小观点．
22
＝0，则z1＝z2＝ 0，此命题对z1，z2∈ C 还成立吗？
3．若z1，z2∈ R，z1＋z2
提示：不必定成立．比方z1＝1， z2＝i知足 z12＋z22＝0.但 z1≠0， z2≠0.
[ 自测·牛刀小试 ]
1． ( 教材习题改编 ) 复数z＝ (2 － i)i 在复平面内对应的点位于 ()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
分析：选 A z＝ (2 － i)i＝ 2i － i 2＝ 1＋ 2i
故复数 z＝(2－i)i在复平面内对应的点为(1,2)，位于第一象限．
2＋ i
2． ( 教材习题改编 ) 复数1－2i的共轭复数是 ()
A． i B．－ i
33
C. i D．－ i
55
2＋ i 2＋ i 1＋ 2i 5i
分析：选 B
∵1－ 2i
＝
1－ 2i
1＋ 2i
＝ 5 ＝ i ，
∴其共轭复数为－ i.
3．(2012 ·安徽高考 ) 复数 z 知足 ( z － i)i ＝ 2＋ i ，则 z ＝ () A ．－ 1－ i
B ． 1－i
C ．－ 1＋ 3i
D ． 1－2i
分析：选 B
设 z ＝ a ＋b i ，则 ( z － i)i ＝－ b ＋ 1＋ a i ＝ 2＋ i ，由复数相等的观点可知，
－b ＋ 1＝ 2， a ＝ 1，所以 a ＝ 1， b ＝－ 1.
4．已知
a ＋ 2i
＝ ＋ i(
， ∈ R) 此中 i 为虚数单位，则
＋ ＝ ________.
i
b
a b
a b
分析：依据已知可得
a ＋ 2i
b ＝ 2，
i
＝ b ＋ i ? 2－ a i ＝b ＋ i ?
－ a ＝ 1，
b ＝ 2，
即
a ＝－ 1.
进而 a ＋ b ＝ 1.
答案： 1
a 1＋ i
5．设 a 是实数，且 1＋ i ＋
2 是实数，则 a ＝ ________.
a
＋
1＋ i a － a i 1＋ i
＝
a ＋ 1 ＋ 1－ a i
分析：
＝
2
＋
2
为实数，
1＋ i 2 2
故 1－ ＝0，即 ＝1.
a
a
答案： 1
复数的有关观点
[例 1] (1) 设 i 是虚数单位，复数 1＋ a i
为纯虚数，则实数
a 为()
2－ i A ． 2
B ．－ 2
1
1 C ．－ 2
D. 2
(2)(2012 ·江西高考 ) 若复数 z ＝ 1＋ i(i
为虚数单位 ) ， z 是 z 的共扼复数， 则 z 2＋ z 2
的虚部为 (
)
C ． 1
D ．－ 2
1＋ i
1＋ i
2＋ i
2－ a
＋ 2 ＋ 1 i
2－ a
[ 自主解答]
(1) 若 2－ i ＝ 2－ i 2＋ i
＝
5
＝
5 ＋
2a ＋ 1
为纯虚数，则 2－ a ＝0， 故 a ＝2.
i 2a ＋1≠0，
5
(2) ∵ z 2＋ z 2＝ (1 ＋i) 2＋ (1 － i)
2
＝ 0，∴ z 2＋ z 2 的虚部为 0.
[ 答案 ] (1)A (2)A
1＋a i
若本例 (1) 中 2－ i 为实数，则 a 为什么值？
解：若 1＋ a i 1＋ a i 2＋ i 2－ a 2a ＋ 1
2a ＋ 1
1 ＝ 2－ i ＝ ＋ i 为实数，则
5
＝ 0，即 a ＝－ .
2－ i 2＋ i 5 5 2
—————
—————————————— 解决复数观点问题的方法及注意事项
(1) 复数的分类及对应点的地点问题都能够转变为复数的实部与虚部应当知足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部知足的方程( 不等式 ) 组即可．
(2) 解题时必定要先看复数能否为 a ＋ bi ( a ，b ∈ R) 的形式，以确立实部和虚部．
1． (1) 已知 0＜a ＜ 2，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 | z | 的取值范围是 (
)
A ． (1,5)
B ． (1,3)
C ． (1,
5) D ． (1, 3)
－ －
)
(2) 设复数 z ＝ a ＋ b i( a ，b ∈ R) 的共 轭复数为 z ＝ a － b i ，则 z － z 为 ( A ．实数 B ．纯虚数 C ． 0
D ．零或纯虚数
分析： (1) 选 C 由题意， z ＝ a ＋ i ，故 | z | ＝ a 2＋ 1，
∵ 0＜ a ＜ 2，∴ 1＜ a 2＋ 1＜5，进而 1＜ a 2＋1＜ 5，
即 1＜| z | ＜ 5.
(2)选D － ＝ 2b i ，
∵ z － z ＝ ( a ＋ b i) － ( a －b i)
－ －
当 b ＝0 时， z － z 为 0；当 b ≠0时， z － z 为纯虚数．
复数的几何意义
10i
[例 2](1)(2012·北京高考 ) 在复平面内，复数3＋i对应的点的坐标为 ()
A． (1,3)B． (3,1)
C． ( －1,3)D． (3 ，－ 1)
z
(2)(2012·东营模拟 ) 若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数 z，则表示复数1＋i 的点是 ()
A．E B．F
C．G D．H
10i10i3－ i10 1＋ 3i
[ 自主解答 ](1) 由3＋i＝3＋ i3－ i＝10＝ 1＋ 3i得，该复数对应的点为 (1,3) ．
z3＋ i3＋ i1－ i4－ 2i
(2) 依题意得z＝ 3＋ i ，1＋i＝1＋i＝1＋ i1－ i＝2＝ 2－ i ，该复数对应的点的坐标是 (2 ，－ 1) ．
[ 答案 ] (1)A(2)D
———————————————————
复数所对应点的坐标的特色
(1)实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上；
(2)若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；
(3)若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；
(4)若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；
(5)若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限；
(6)别的，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：若复
数 z 的对应点在直线x＝1上，则 z＝1＋ b i( b∈R)；若复数 z 的对应点在直线y＝ x 上，则 z ＝a＋ a i( a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．
2．复数
z 1＝3＋4i，2＝0， 3＝＋ (2
c
－6)i 在复平面内对应的点分别为，，，若z z c A B C
∠BAC是钝角，务实数 c 的取值范围．
解：在复平面内三点坐标分别为 A (3,4) ， B (0,0 ) ， C ( c, 2c － 6) ，由∠ BAC 是钝角得
AB ·
，且 A ， B ，C 不共线，
AC <0
49
由 ( － 3，－ 4) ·(c － 3,2 c － 10)<0 ，解得 c >11. 此中当 c ＝ 9 时， AC ＝(6,8) ＝－ 2 AB ，此时 A ， B ， C 三点共线，故 c ≠9.
所以 c 的取值范围是 c c >
49 ，且 c ≠9 .
11
复数的运算
[例 3]
(1)(2012 ·山东高考 ) 若复数 z 知足 z (2 － i) ＝ 11＋ 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为
()
A ． 3＋5i
B ． 3－5i
C ．－ 3＋ 5i
D ．－ 3－ 5i
(2)(2012 ·江苏高考 ) 设
a
，
∈R ， ＋ i ＝ 11－ 7i (i 为虚数单位 ) ，则
a ＋
b 的值为
b
a b 1－ 2i
________．
[ 自主解答 ]
(1) 由题意知 z ＝
11＋ 7i 11＋7i
2＋ i 15＋ 25i
2－i ＝
2－ i
＝
＝ 3＋ 5i.
2＋ i
5
11－ 7i
11－ 7i 1＋ 2i 25＋ 15i ＋3i ＝ a ＋ b i ，∴ a ＋b ＝ 8.
(2) ∵ 1－ 2i ＝
1－ 2i 1＋ 2i
＝
5
＝ 5
[答案] (1)A
(2)8
在本例 (1) 中，试求 (1 ＋ z ) · z 的值．
解：∵ z ＝ 3＋ 5i ，∴ z ＝ 3－ 5i
∴ (1 ＋z ) · z ＝ (4 ＋ 5i)(3 － 5i) ＝ 12－ 20i ＋15i ＋ 25＝ 37－ 5i.
—————
——————————————
复数的代数运算技巧
复数的四则运算近似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位
i 的看作一类，不含
i
的看作另一类， 分别归并即可，
但要注意把 i 的幂写成最简单的形式， 在运算过程中， 要熟
悉 i 的特色及娴熟应用运算技巧．
3．已知z1＝ (3 x＋y) ＋( y－ 4x)i(x，y∈R)，z2＝(4 y－2x)－(5 x＋3y)i( x，y∈R)．设 z
＝z1－ z2，且 z＝13－2i，求 z1， z2.
解： z ＝ z1－ z2＝[(3 x ＋ y)＋( y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋
4y)i ，又z＝ 13－ 2i ，
5x－3y＝ 13，x＝2，
故解得
x＋4y＝－2，y＝－1.
于是， z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－
8－ 7i.
1个分类——复数的分类
对复数 z＝ a＋ b i( a， b∈R)，
当 b＝0时， z 为实数；当 b≠0时， z 为虚数；当 a＝0， b≠0时， z 为纯虚数．2个技巧——复数的运算技巧
(1)设 z＝ a＋ b i( a， b∈R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数
问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法例进行，除法例需
分母实数化．
3个结论——复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时，记着以下结论，可提升计算速度．
2
1＋ i1－ i
(1)(1 ±i) ＝± 2i ；
1－ i＝i ；1＋i＝－ i ；
(2)－ b＋ a i＝i( a＋ b i)；
4n4n＋ 14n＋ 24n＋34n4n＋ 14n＋ 24n＋ 3*
(3)i ＝ 1，i＝ i ， i＝－ 1， i＝－ i ， i＋i＋ i＋ i＝ 0， n∈N .
创新交汇——复数命题新动向
1．复数多以客观题的形式考察复数的观点及运算，也常常将复数的基本观点与基本运
算相联合，复数幂的运算与复数除法相联合，复数的基本运算与复数的几何意义相联合，复数与方程相联合，复数与会合相联合等形成交汇命题．
2．解决此类问题的重点是掌握复数的有关观点，依据复数的运算法例正确进行化简运
算．
xx － 1
＜ 2，i 为虚数单位， x ∈ R ，则
∩ 为
()
i
M N
A ． (0,1)
B ． (0,1]
C ． [0,1)
D ． [0,1]
[分析]
对于会合 M ，函数 y ＝ |cos2 x | ，其值域为 [0,1] ，所以 M ＝ [0,1] ．依据复数模
的计算方法得不等式 x 2＋ 1＜ 2，即 x 2＜ 1，所以 N ＝ ( － 1,1) ，则 M ∩ N ＝[0,1) ．正确选
项为 C.
[答案]
C
[ 名师评论 ]
1．此题拥有以下创新点
不一样于过去的复数高考题，不是独自考察复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、
会合订交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向．
2．解决此题的重点有以下几点
(1) 弄清会合的元素．会合
M 为函数的值域，会合 N 为不等式的解集，把 M 、 N 详细化．
1
(2) 正确辨别 x －i 为复数的模，而非实数的绝对值．
[ 变式训练 ]
1．(2012 ·上海高考 ) 若 1＋ 2i
是对于 x 的实系数方程 x 2＋ bx ＋ c ＝ 0 的一个复数根，
则()
A ． b ＝2， c ＝ 3
B ． ＝－ 2， c ＝3
b
C ． b ＝－ 2， c ＝－ 1
D ． b ＝2， c ＝－ 1
分析：选 B 因为 1＋
2i 是对于
x 的实系数方程
x 2
＋ ＋ ＝ 0 的一个根，则 (1 ＋ 2i) 2
bx c
＋ (1 ＋ 2i) ＋ ＝0，整理得 ( ＋ －1) ＋ (2 2＋ 2 )i ＝ 0，则 2 2＋ 2b ＝0， b c b c b
b ＋ －1＝0，
c
解得
b ＝－ 2，
c ＝ 3.
1＋ x 3 x ∈ R ，
2．已知定义在复数集
C 上的函数知足
f ( ) ＝
x
则
f ( f (1 － i))
x
x ?R ，
1＋ i
等于 ________．
1－ i
－ 2i
分析：由已知得 f (1 － i) ＝ 1＋ i
＝ 2
＝ | － i| ＝ 1，
故 f (1) ＝ 1＋ 13＝ 2，
即 f ( f (1 － i)) ＝ 2.
答案： 2
一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每题
5 分，共 30 分)
b
1．(2012 ·陕西高考 ) 设 a ，b ∈ R ，i 是虚数单位， 则“ ab ＝0”是“复数 a ＋ i 为纯虚数”
的(
)
A ．充足不用要条件
B ．必需不充足条件
C ．充足必需条件
D ．既不充足也不用要条件
b
分析：选 B 复数 a ＋ i ＝a － b i 为纯虚数，则 a ＝ 0，b ≠0；而 ab ＝0 表示 a ＝ 0 或许 b
b
＝0，故“ ab ＝0”是“复数 a ＋i 为纯虚数”的必需不充足条件．
2
2．(2012 ·新课标全国卷 ) 下边是对于复数
z ＝ － 1＋ i 的四个命题：
1
z | ＝2, 2
2
p ： | p ： z ＝ 2i ，
3： z 的共轭复数为 1＋ i, 4： z 的虚部为－ 1. p
p 此中的真命题为 ( )
A ． p 1， p 3
B ． p 1， p 2
C ． 2， 4
D ．3，4
p p
p
p
分析：选 C
∵复数 z ＝ 2 ＝－ 1－ i ，∴ | z | ＝ 2， z 2＝ ( －1－ i) 2＝ (1 ＋i) 2＝ 2i ，
－ 1＋ i
z 的共轭复数为－ 1＋ i ， z 的虚部为－ 1，综上可知 p ， p 是真命题．
2 4
3．已知 f ( x ) ＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数
f 1＋ i
)
对应的点在 (
3＋ i
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
f (1 ＋ i)
2
f 1＋ i
2i
2＋ 6i 1 3
分析：选 A ＝(1 ＋ i) ＝ 2i ，则 3＋ i
＝
3＋ i ＝
10 ＝5＋ 5i ，故对应点在
第一象限．
4．(2013 ·临汾模拟 ) 复数 z ＝ i(i ＋ 1)(i 为虚数单位 ) 的共轭复数是 (
)
A ．－ 1－ i
B ．－ 1＋ i
C ． 1－i
D ． 1＋i
分析：选 A
∵z ＝ i(i ＋1) ＝－ 1＋i ，∴ z 的共轭复数是－ 1－ i.
5．若 ( x － i)i ＝y ＋ 2i ， x ， y ∈ R ，则复数
x ＋ y i ＝ ( )
A ．－ 2＋ i
B ． 2＋i
C ． 1－2i
D ． 1＋2i
分析：选 B 由( x － i)i ＝y ＋ 2i ∵
x ， y ∈ R ，∴ x ＝ 2， y ＝ 1，故 得 x i ＋ 1＝y ＋ 2i.
x ＋ y i ＝ 2＋ i.
6．若复数 z ＝ a 2－1＋ ( a ＋1)i( a ∈R) 是纯虚数，则
1 的虚部为 ( )
z ＋ a
2
2
A ．－ 5
B ．－ 5i
2
2
C.
D. i
5
5
分析：选 A
a 2－1＝ 0，
所 以 a ＝ 1 ， 所 以
1
1
＝
由题意得
z ＋ a
＝
a ＋1≠0，
1＋ 2i
1－2i
1 2
1 2
1＋ 2i1－ 2i
＝ 5－ 5i ，依据虚部的观点，可得
z ＋ a 的虚部为－ 5.
二、填空题 ( 本大题共 3 小题，每题
5 分，共 15 分)
3＋ b i
＝ a ＋ b i( a ，b 为实数，i 为虚数单位 ) ，则 a ＋b ＝ ________.
7．(2012 ·湖北高考 ) 若 1－ i 分析：由 3＋b i ＝ 3＋ b i 1＋i ＝ 3－b ＋ 3＋b
i
＝ ＋
i ，得 a ＝ 3－ b ， ＝3＋ b ，
1－i 1－ i 1＋ i 2
a b 2 b 2
解得 b ＝ 3， a ＝ 0，所以 a ＋ b ＝ 3.
答案： 3
1 1 1 1
8． i 为虚数单位， i ＋ i 3＋ i 5 ＋i 7＝ ________.
1
1
1
1
分析： i ＋ i 3 ＋ i 5＋ i 7＝－ i ＋ i － i ＋ i ＝ 0. 答案： 0
9．已知复数 x 2－ 6x ＋5＋ ( x －2)i
在复平面内对应的点在第三象限，则实数
x 的取值范
围是 ________．
分析：∵ x 为实数，∴ x 2－6x ＋ 5 和 x － 2 都是实数．
x 2 －6x ＋ 5＜ 0，
1＜ x ＜ 5，
由题意，得
解得
x － 2＜ 0，
x ＜ 2，
即 1＜x ＜ 2. 故 x 的取值范围是 (1,2) ．
答案： (1,2)
三、解答题 ( 本大题共 3 小题，每题
12 分，共 36 分 )
－ 1＋ i2＋ i 10．计算： (1)i 3；
(2)1＋ 2i2＋ 31－ i
；
2＋i
(3)1－ i
2＋
1＋ i
2；1＋ i1－ i
(4)1－ 3i
2
.
3＋ i
－ 1＋i2＋i－ 3＋i
解： (1)i 3＝
－ i＝－ 1－ 3i.
1＋ 2i2＋ 3 1－ i－ 3＋ 4i ＋ 3－ 3i ii2－ i 1 2
(2)2＋i＝2＋ i ＝
2＋ i
＝
5＝5＋5i.
(3)1－i1＋ i1－i 1＋ i1＋ i－ 1＋ i
＝－ 1. 1＋i2＋1－i2＝2i
＋
－ 2i＝－2＋2
(4)1－ 3i
2
＝3＋ i－ i 3＋ i3＋i2
＝－ i－ i3－ i
＝
4
3＋ i
1 3
＝－4－4 i.
11．实数分别取什么数值时，复数
z ＝ (2＋5 ＋6) ＋(2－ 2 － 15)i
m m m m m
(1)与复数 2－ 12i 相等；
(2)与复数 12＋16i 互为共轭复数；
(3)对应的点在 x 轴上方．
解： (1) 依据复数相等的充要条件得
2
m＋5m＋6＝2，
解之得 m＝－1.
2－ 2 － 15＝－ 12.
m m
(2)依据共轭复数的定义得
2
m＋5m＋6＝12，解之得＝ 1.
2
＝－ 16.m
m－2m－15
(3) 依据复数
z 对应点在
x
轴上方可得2－ 2－15＞ 0，
m m
解之得 m＜－3或 m＞5.
12．复数z1＝
322
＋
－
是实数，务实数 a 的＋5＋ (10－a )i， z2＝1－
(2 a－5)i ，若z1＋z2
a a
值．
－322
解： z 1＋z2＝a＋5＋( a－ 10)i＋1－a＋ (2 a－ 5)i
3
2
2
＝
a ＋ 5 ＋
1－ a ＋
[( a － 10) ＋ (2 a －5)]i ＝ － 13
＋ ( a 2 ＋2a － 15)i. a
a ＋ 5 a － 1 － 1 2 是实数，
∵ z ＋ z
∴ 2＋ 2 － 15＝ 0. 解得
a ＝－5 或 a ＝3.
a
a
∵分母 a ＋5≠0，∴ a ≠－ 5，故 a ＝ 3.
1．若复数 z ＝ ( x 2－1) ＋ ( x － 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( )
A ．－ 1
B ． 0
C ． 1
D ．－1或 1
分析：选 A 由复数的观点，若复数
z ＝ ( x 2－ 1) ＋ ( x － 1)i 为纯虚数，则 x 2－ 1＝0，且
x －1≠0，解得 x ＝－ 1.
3
2
1 3
2．复数 z ＝ 2 － a i ， a ∈ R ，且 z ＝2－ 2 i ，则 a 的值为 ( )
A ． 1
B ． 2
1
1 C. 2
D. 4
分析：选 C
z 2
＝
3
－ a i 3
3a i ，
2
＝ － a 2－
2
4
2
1 3
又 z ＝ 2－ 2 i ， 3 2
1
－ a ＝ ，
1
4
2
3
3a ， 得 a ＝ 2.
－ 2 ＝－
3．把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位． 若 z ＝ 1＋i ，则 (1 ＋ z ) · z 等于 ()
A ． 3－i
B ． 3＋i
C ． 1＋3i
D ． 3
分析：选 A (1 ＋ z ) · z ＝ (1 ＋ 1＋i)(1 － i) ＝ 3－ i.
4．设平行四边形
在复平面内，
A 为原点， 、 两点对应的复数分别是 3＋ 2i 和 2
ABCD
B D
－4i ，则点 C 对应的复数是 ________．
5
分析：设 AC 与 BD 的交点为 E ，则 E 点坐标为
2，－ 1 ，设点 C 坐标为 ( x ，y ) ，则 x ＝ 5，
y＝－2，故点 C对应复数为5－2i.
答案： 5－ 2i
平面向量中的三角形“四心”问题
在三角形中，“四心”是一组特别的点，它们的向量表达形式拥有很多重要的性质，
在最近几年高考试题中，总会出现一些新奇新奇的问题，不单考察了向量等知识点，并且培育了
考生剖析问题、解决问题的能力．现就“四心”作以下介绍：
1．“四心”的观点与性质
(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形极点距离与该点到对边中点距离
之比为 2∶ 1. 在向量表达形式中，设点G是△ ABC所在平面内的一点，则当
点
G是△ ABC
的
重心时，有
GA ＋
GB
＋
GC
＝ 0 或
PG
1
PA
＋
PB
＋
PC
)( 此中
P
为平面内随意一
＝ (
3
点) ．反之，若GA＋GB＋GC＝ 0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，
A， B，C分别是三角形的重心和三个极点，且分别为G( x， y)， A( x， y
1) ，B( x，y ) ，C( x，
1223 x1＋ x2＋ x3y1＋ y2＋ y3
y3)，则有 x＝3， y＝3.
(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与极点的连线垂直于对边．在向量表达形
式中，若 H是△ ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA2＋BC2＝HB2＋CA 2＝ HC 2＋ AB 2.反之，若 HA · HB ＝ HB · HC ＝ HC · HA ，则H是△ABC的垂心．
(3)心里：三角形三条内角均分线的交点叫心里．心里就是三角形内切圆的圆心，它到
三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ ABC的心里，则有|BC|·IA＋| CA|·IB＋| AB|·IC＝0.反之，若 | BC|·IA＋| CA |·IB＋| AB|·IC＝0，则
点 I 是△ ABC的心里．
(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到
三角形的三个极点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ ABC的外心，则(OA＋OB )·BA＝(OB＋ OC)·CB＝( OC ＋OA)· AC＝0或| OA|＝| OB|＝| OC |.
反之，若 | OA | ＝ | OB | ＝ | OC | ，则点O是△ABC的外心．
2．对于“四心”的典型例题
[ 例 1]已知O是平面上的必定点，A，B， C是平面上不共线的三个动点，若动点P 满
13
足 OP ＝ OA ＋λ( AB ＋ AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹必定经过△ABC的________心．
[ 分析 ]由原等式，得OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )，即 AP ＝λ( AB ＋ AC )，依据
平行四边形法例，知AB ＋ AC 是△ABC的中线所对应向量的 2 倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
[答案]重
[ 评论 ]研究动点轨迹经过某点，只需确立其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线
重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法例进行运算得之．
[ 例 2]已知△ ABC内一点O知足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶ S△COA∶ S△AOB 之值．
[ 解 ]延伸OB至B1，使BB1＝OB，延伸OC至C1，使CC1＝2OC，
连结 AB1， AC1，B1C1，以下图，
则
OB1＝2OB，OC1＝3OC，由条件，得OA＋ OB1＋ OC1
1
＝0，所以点O是△AB1C1的重心．进而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝3S，此中S表示△AB1C1的面积，
111 1 11
所以 S△COA＝9S，S△AOB＝6S， S△BOC＝2S△ B1OC＝2×3S△ B1OC1＝18S.
111
于是 S△BOC∶ S△COA∶S△AOB＝∶ ∶ ＝1∶ 2∶ 3.
[评论]此题条件 OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0与三角形的重心性质GA＋ GB ＋ GC ＝0十分近似，所以我们经过增添协助线，结构一个三角形，使点 O成为协助三角形的重心，而
三角形的重心与极点的连线将三角形的面积三均分，进而可求三部分的面积比．
[ 引申推行 ]已知△ ABC内一点 O知足关系λOA ＋λOB ＋λOC ＝0，则S∶S
123△ BOC
△ COA∶△AOB＝
λ1∶
λ
2∶
λ
3.
S
[例 3]求证：△ ABC的垂心 H、重心 G、外心 O三点共线，且| HG|＝2| GO|.
[证明]对于△ ABC的重心 G，易知OG＝OA＋OB＋OC
，
2
对于△ ABC的垂心 H，设OH＝m(OA＋OB＋OC)，则
AH ＝ AO ＋m( OA ＋ OB ＋ OC )＝(m－1) OA ＋m OB ＋m OC .
由 AH · BC ＝0，得[(m－1)OA ＋m OB ＋m OC ]( OC － OB )＝0，
22
( m－ 1)OA ·(OC － OB )＋m( OC － OB )＝0，
因为| OC|＝| OB|，
所以 ( m－ 1)OA ·(OC － OB )＝0.但 OA 与 BC 不必定垂直，所以只有当m＝1时，
1
OH ，得垂心H、重心G、外心O 上式恒成立．所以OH ＝OA＋OB＋OC，进而 OG＝
3
三点共线，且 | HG | ＝ 2| GO |.
[ 引申推行 ]
1
重心 G与垂心 H的关系：HG＝3(HA＋HB＋HC)．
[评论]这是有名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择适合的基底向量来表示它们，自然最正确的向量是含极点A、B、 C的向量．
[例 4]设 A1，A2，A3，A4，A5是平面内给定的5个不一样点，则使MA1＋MA2＋
MA3＋
MA4＋ MA5＝ 0成立的点 M的个数为()
A． 0B． 1
C． 5D． 10
[分析]依据三角形中的“四心”知识，可知在△ ABC中知足MA＋MB＋MC＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知知足此题条件的点也只有 1 个．[答案]B
[评论]此题以向量为载体，考察了类比与化归，概括与猜想等数学思想．此题的详尽解答过程以下：对于空间两点A，B来说，知足MA＋MB＝0的点 M是线段 AB的中点；对于空间三点A，B， C来说，知足MA＋MB＋MC＝0，可以为是先取AB的中点 G，再连结CG，在 CG上取点 M，使 MC＝2MG，则 M知足条件，且独一；对于空间四点A，B，C，D来说，知足 MA ＋ MB ＋ MC ＋ MD ＝0，可先取△ABC的重心G，再连结GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则 M知足条件，且独一，不如也称为重心G；与此近似，对于空间五点A，B， C，D， E 来说，知足MA ＋ MB ＋ MC ＋ MD ＋ ME ＝0，可先取空间四边形ABCD的重心 G，再连结 GE，在 GE上取点 M，使 EM＝4MG，则 M知足条件，且独一．。