结构动力学(运动方程)

因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为

t2
t1
δ(T V )dt δWnc dt 0
t1
t2
3.2.1.3-1
式中： 包括应变能及任何保守外力 （如 T 为体系的总动能； V 为体系的位能， 重力）的势能； Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时 间区间 t1 ~ t 2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等 于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中， 尽管功本身是标量， 但被用来计算功的力和位移都是矢 量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。
c
fe
m
P(t)
fd
m fI
P(t)
f I mu
f d cu
f e ku
因此由所示“外力”平衡可得
cv ku P (t ) mv
由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运 动方程的最终形式都是一样的。
2.2 运动方程建立举例
单自由度体系运动方程建立小结 任何单自由度结构，运动方程都可写为
d 2 u (t ) (t ) p(t ) m mu 2 dt
(t ) 称为抵抗质量加速度的惯性力。 式中： mu
3.2.1.1-2
直接平衡法
通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程的 方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向 相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把运 动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用于 质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘滞 阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的表 达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡表 达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程的 最直接而且方便的方法。
例：假设给图 3.2.1.1（b）所示体系一个虚位移 u （仅仅 是体系约束所允许的微小位移） ， 则作用于体系的全部力都将做 功，体系所作的总功可写作
f I δu f D δu fSδu p(t )δu 0
3.2.1.2-1
式中的负号是表示力的方向和虚位移方向相反。将各力的表达 式代入上式可得 cu ku p(t )]δu 0 [mu 3.2.1.2-2
2 ，仅由弹簧的应变能表达的位能为 例：根据定义，体系的动能为 T (1/ 2)mu V (1/ 2)ku 2 ；该体系的非保守力为阻尼力 f D 和外荷载 p(t ) ，这些力所做功的变分 δu ，将以上各式代入哈密尔顿原理表达式，经相应的变分和整理 为 δwnc p(t )δu cu
m P( t ) l/2 l/2
fc ) vv P (( tt )) ) (( P f m dv Iv
2.2.1 单自由度体系运动方程 m 例-3) 试建立图示结构的运动方程。 P(t) h EI 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能 产生水平位移。设质量m位移为u，向 u 右为正。根据达朗泊尔原理和假设的 P(t) m u 阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受 力如图。 h cu 显然，整理 由超静定位移计算可得（如图示意） 3 後结果和例 h -1）相同， 24EI 1 h k= -1 因此，外力下位移为 M1
m P( t ) l/2 l/2
f I mv
fd cv
2.2 运动方程建立举例
m l/2
2.2.1 单自由度体系运动方程 l/2 例-5) 若例-2)简支梁动荷载作用在3l/4处, 试建立其运动方程 解：将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达 作业： fd 朗泊尔原理和阻尼假定 fd cv P f-I1的 P(t) f I mv 仅在P(t)作用下m的位移由位移计算得 l/2 l/2 物理意义
பைடு நூலகம்cv ku Peq (t ) mv
式中：m质量；c阻尼系数；k刚度系数；Peq为等效动 荷载。 当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合力 在运动方向的投影； 当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下限 制沿自由度运动的支座反力。 用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求 刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。 没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动
2.1 建立运动方程的基本步骤
作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 列平衡方程称刚度法 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 取质量为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方 程，此方程就是运动（微分）方程。
2.2 运动方程建立举例
2.2.1 单自由度体系运动方程 m 例-1) 试建立图示结构的运动方程。 P(t) h EI 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产 生水平位移。设x坐标向右（右手系）。 又设横梁（质量m）位移为u，以它 P(t) m u 为隔离体，受力如图所示。 Fs 2 图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际 Fs 1 cu 直接可由形常数）得到 u u 列x方向全部力的平衡方程，即可得结 构的运动方程为
3.2.1.3-3
哈密尔顿原理假定变分 u 在积分限 t1 和 t 2 时为零， 故方程 3.2.1.3-3 右边第一项为 零，将上式代回方程 3.2.1.3-2，结果为

t2
t1
cu ku p(t )]δudt 0 [mu
3.2.1.3-4
因变分 x 的任意性，括号内的表达式必须为零才能使方程始终得以满足，由此可得 同样的单自由度体系运动方程。
例：由刚体质量、支承弹簧与阻尼器组成的单自由度体系如图所示，刚体仅可 作单一方向运动。 x x
(a) 物理模型
(b) 平衡力系
图 3.2.1.1 理想化单自由度运动体系
、u 分 图中 k 为弹簧刚度， m 为质量， c 为阻尼系数， p (t ) 为外力。若 u 、 u ，弹性恢 别为体系的位移、速度和加速度反应，则质量块承受的惯性作用 f I mu 。 复力 fS ku ，粘滞阻尼力 f D cu
P( t )
是什麽？ 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移
为
768EIP 11P(t )l
3
48EI l
3
因此在所示“外力”下，质量的位移为
cv ) P v (mv
2.2 运动方程建立举例
2.2.1 单自由度体系运动方程 例-6) 试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽 象化模型的运动方程。 解：设质量水平位移为u，向右为正。 以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力 fd如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复 力fe 。根据达朗泊尔原理和阻尼假定 k
牛顿第二运动定律
任何质量 m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这一关系在 数学上可用微分方程来表达：
d du (t ) (m ) 3.2.1.1-1 dt dt 式中： p(t ) 为作用力矢量； u(t ) 为质量 m 的位移矢量。对于大多数的结 p (t )
构动力学问题，可以假设质量不随时间变化，这时方程（1）可改写作
2.1 建立运动方程的基本步骤
作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 列位移方程称柔度法 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按 位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果 应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。
12 EI k m u cu3 ku Pu (t ) Fs1 F u s2 h 2
h
2.2 运动方程建立举例
2.2.1 单自由度体系运动方程 例-2) 试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁 的运动方程。（不计轴向变形） 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 fd 对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。 将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁 fI 上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 l/2 l/2 fd cv f I mv P( t ) 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移 3 l 为 因此在所示“外力”下，质量的位移 48EI 为
结构动力学
张系斌
2015.5.
二、体系的运动方程建立
2.1 建立运动方程的基本步骤 2.2 运动方程建立举例
2.3 体系运动方程的一般形式
2.4 应注意的几个问题
2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤
2.6 运动方程建立总结
运动方程的建立
建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接 平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法；运 动方程可用上述三种方法中的任一种建立。对于简 单体系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括 惯性力在内的作用于体系上的全部力的平衡关系， 得出运动方程。对于更复杂的体系，直接建立矢量 平衡关系可能是困难的，此时采用功和能等标量建 立平衡关系更为方便；其中包括虚位移原理方法和 哈密尔顿原理方法。上述三种方法的结果是完全相 同的，采用何种方法取决于是否方便、个人的喜好 以及动力体系的性质。
如图 3.2.1.1（b）所示，根据力的平衡可以得：
f I f D fS p(t )
3.2.1.1-3 3.2.1.1-4
即
cu ku p(t ) mu
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
后可得

t2
t1
δu cu δu kuδu p(t )δu]dt 0 [mu
3.2.1.3-2
d( δu) / d t ，上式中的第一项可表示为如下的分部积分： 利用关系 δu

t2
t1
δud t mu δu mu
t2
t1
δudt mu
t1
t2
2.2 运动方程建立举例
cu ) u ( P ( t ) mu
2.2 运动方程建立举例
2.2.1 单自由度体系运动方程 例-4) 试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁 的运动方程。（不计轴向变形） 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。 1R 利用对称性由（形常数）可得质量点 处所加支杆单位位移时的R（=？）。以 m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如 f + f I d R R 图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 P(t) 因此由所示“外力”平衡可得 显然,整理後结果和例-2) -1 相同， k= m mv v c cv v 2 ku R P(t )