优化方案2020高中数学第3章3.2.2知能优化训练新人教A版选修21

1．若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角

是 150°，则l1与l2这两条异面直线所成的

角等于( )

A ．30°

B ．150°

C ．30°或150°

D ．以上均错 答案：A

2．若直线l 的方向向量与平面 α的法向量的夹角等于120°，则直线 l 与平面α所成的

角等于( )

A ．120°

B ．60°

C ．30°

D ．以上均错 答案：C

3．平面

α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面 α与平面β 所成二面角的大小为 ________．

分析：设u ＝(1,0，－1)，v ＝(0，－1,1) ，

则cos θ＝±|cos〈u ，v 〉|＝±| －1 1

|＝±.

2×2 2 π 2π ∴θ＝3 或3.

π 2π

答案：3或3

4．如图，在正四棱柱 -1111 中， ＝2， 1＝

4，

E 为

的中

点，

ABCDABCD AB AA

BC

F 为CC 1的中点．

求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值；

求二面角F -DE -C 的余弦值．

解：成立如下图的空间直角坐标系

Dxyz ，则D(0,0,0) ，

A(2,0,0) ， (0,2,0) ，(2,2,0) ，(1,2,0) ，(0,2,2)．

C B E F

→

(1)EF ＝(－

1,0,2) ．

易得平面ABCD 的一个法向量为 n ＝(0,0,1) ，

→

→ 2

EF ·n

设EF 与n 的夹角为

θ，则cos θ＝→ ＝ 5 5，

|EF|| n|

∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为

5

5.

→ →

． (2)EF ＝(－1,0,2)

，DF ＝(0,2,2)

设平面DEF 的一个法向量为m ，

→ →

则m ·DF ＝0，m ·EF ＝0，

m·n

6

可得m ＝(2，－1,1)，∴cos〈m ，n 〉＝|m||n|

＝6，

∴二面角-- 6

的余弦值为.

FDEC

6

一、选择题

1．已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形 A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1 的中心，则EF 和CD 所成

的角是( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．90° 分析：选B.以 D 为原点，分别以射线 ， ， 1为 x 轴， y 轴， z 轴的非负半轴成立空间

DA DCDD

1

1

1 1 → 1

直角坐标系Dxyz (图略)．设正方体的棱长为

1，则E (2，2，1)，F (2，0，2)，EF ＝(0

，－2，

1

→

→ → →· → 2 → →

EF DC

－2)，DC ＝ (0,1,0) ．因此cos 〈EF ， DC 〉＝ → · → ＝－ 2，因此〈EF ，DC 〉＝135°， | EF | |DC | 因此异面直线 EF 和CD 所成的角是45°，应选B.

AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为 2．正方体ABCD -ABCD 中，O 为侧面BCCB 的中心，则

1 1 1 1

1 1

( )

3

1

A.3

B.2

6

D.

3

C.

2

6

分析：选C.以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴成立空间直角坐标系，

令AB ＝2，则A (2,0,0) ，O (1,2,1) →

，∴AO ＝(－1,2,1)．

→ 为平面ABCD 的法向量，设AO 与平面ABCD 所成角为α. 又DD ＝(0,0,2)

1

→ →

→ →

2

6

|AO ·DD|

则sin α＝|cos

〈AO ，DD 〉|＝

1

＝

＝.

1

→

→

6·2 6

| 1|

|·|

AO

DD

3．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线 AC 与BF 所成的角等

于( ) A ．45° B ．30°

C ．90°

D ．60°

分析：选D.以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BE 为z 轴成立空间直角坐标系，

则A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，

∴→ ＝(－1,1,0) ， →

＝(1,0,1)．

AC

BF

→

→

－1

∴cos 〈AC ，BF 〉＝.

2

∴〈 →， → 〉＝120°.

AC

BF

∴AC 与BF 所成的角为60°.

4．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，

PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．则

与平面 所成的角 θ 为( )

BD

ADMN

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

分析：选 A.如下图，成立空间直角坐标系，设 BC ＝1，

则A (0,0,0)，B (2,0,0)， D (0,2,0)，P (0,0,2) ， 则N (1,0,1)，

→

∴BD ＝(－2,2,0) ， → →

，

AD ＝(0,2,0) ，AN ＝(1,0,1) 设平面ADMN 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，