09-10学年度概率论与数理统计期中考试卷

命题人：试卷分类（A卷或B卷）
五邑大学试卷
学期： 2009 至 2010学年度第一学期
课程：概率论与数理统计专业：
班级：AP0803姓名：学号：
（每空2分，共计30分）
(1) 1500个产品中有400个次品,
1100个正品,任意取200个,至少有2个次品的概率________.
(2) 3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为2的概率等于________.
(3) 已知()0.2
P A=,P(B)=0.5,()0.6
P A B
⋃=,求()
P AB= ________.
(5)X~b(5,0.3),则X~P{ X =k}=________; EX=______; DX=________;
(6)X~π(5), 则X~P{ X =k}=________;
(7)X~E(5), 则X~f(x)=________; F(x)=_____________; DX=________.
(8)X~N(1,2), 则X~f(x)=________. P{X>1}=__________.
(9)(X,Y)服从区域()
{}
22
,|1
G x y x y
=+≤上的均匀分布，则(X,Y)~(),
f x y=________.
1．某地区18岁女青年的血压服从分布N（110，122）.确定最小的x，使P{X>x}≤0.05 (z0.05 =1.645)(8分) 解:P{X>x}=1-P{X≤x}=1-F(x)=1-
110
12
x-
⎛⎫
Φ ⎪
⎝⎭
≤0.05,故
110
12
x-
⎛⎫
Φ ⎪
⎝⎭
≥0.95
又z0.05=1.645. 故()
1.6450.95
Φ=,
得到
110
1.645
12
x-
≥,129.74
x≥.
2．随机变量X，Y独立，X~N（720，302），Y~N（640，402）.计算P{X-Y>140}.（6分）
解：Z=X-Y~N（80，502）.
14080
-
⎛⎫()
4．设 (X , Y )~
0(,)0
y
e x y
f x y -⎧<<=⎨
⎩其它
；令Z =X +Y, 求f Z (z ) =?（8分）(要求画图)
解：f Z (z ) =
(),f x z x dx ∞
-∞
-⎰
f(x,z-x)>0时，满足0<x<z-x,即 z>0;0<x<z; z>0时，f Z (z ) =
()
()0
11z
z
z x z
x z z z e dx e
e dx e e e -----==-=-⎰
⎰
; z<0时，f Z (z ) =0;
得到 ()100
z
e z
f z z -⎧->=⎨
≤⎩
5．设)4,1(~N X ，)9,1(~-N Y ，且它们相互独立，试求Y X Z Y X Z 3,3221-=+=的相关系数。

（8分） 解：Cov （Z1，Z2）= Cov （2X+3Y ， X-3Y ）=2DX-3DY-3Cov （X ，Y ）=8+27-0=35; DZ1=D(2X+3Y)=4DX+9DY=16+81=97; DZ2=D(X-3Y)=DX+9DY=4+81=85;
12,Z Z Cov z z ρ=
=
某餐厅每天接待400
名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从[20，100]上的均匀分布，顾客的消费额是相互独立的，95.0)65.1(=Φ，试求
（1）该餐厅的日平均营业额；
（2）日营业额在平均营业额上下不超过760（元）的概率（15分）
解：设Xi ：第i 位顾客的日消费额，Xi~U[20，100]，i=1，2，…，400，且Xi 相互独立. X:日营业额，则X=
400
1
i Xi =∑.
（1） EX=
400
1
i EXi =∑=400x80=32000；
（2） DX=22400
180800400123i DXi =⎛⎫== ⎪
⎝⎭
∑=，（0，1）. 故P{ |X-EX|<760 }≈1-P{|X*|< =1.645}=1-[()()1.645 1.645Φ-Φ-] =2[1-()1.645Φ]=0.1.
设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧>=-其它
00)(x e x f x , 求Y =|X|的概率密度. ( 10分 ) 解：F Y （y ）= P{Y<y} =P{ |X|<y }=P{ 0<X<y}=F X (y)-F X (0) (y>0)
F （y ）=0(y<0)
故()0()0X Y f y y f y ⎧>=⎨
⎩
其它00y
e y -⎧>=⎨⎩其它
.
五、
设随机变量(X , Y )的概率密度为 221
1(,)0
x y f x y π
⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他
. 1 问X 和Y 是否相互独立？是否不相关？ (10分) 2 计算P{X<Y}=? ( 5分) 解：1 (
)11111(,)00X x x f x f x y dy π∞
-∞
⎧-≤≤-≤≤⎪=
==⎨⎪⎪⎩⎩⎰
其他
其他 (
)110Y y f y -≤≤=⎪⎩
其他
()()(,)X Y f x y f x f y ≠故X ，Y 不独立.
EX=1
1
2()0X xf x dx π∞-∞-==⎰⎰,EY=0;
EXY=22:110G x y xyd σπ+≤=⎰⎰,故Cov （X ，Y ）=E （XY ）-EXEY=0，X ，Y 不相关. 2 P{X<Y}=
():,1/2G x y
f x y d σ≤=⎰⎰。