清华大学材料力学-第3章
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
材料力学答案第三章
第三章 扭转第三章答案3.1 作图示各杆的扭矩图。
解：4kN·m6kN·m10kN·m 6kN·m4kN·m4kN·m3.2 T 为圆杆截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。
解：3.3 图示钢制圆轴，d 1 = 40mm, d 2 = 70mm, M eA = 1.4kN m ⋅, M eB = 0.6kN m ⋅, M eC = 0.8kN m ⋅,[]θ = 1o /m. []τ = 60MPa, G = 80GPa. 试校核轴的强度与刚度。
解：1）校核强度[]113311161660047.7MPa 4B t T m W d ττππ⨯====<⨯[]223322161680011.9MPa 7C t m T W d ττππ⨯====<⨯满足强度条件。
0.8kN·m2）校核刚度119412118032600180 1.71/m 80104010P T GI θπππ-⨯=⋅=⋅=︒⨯⨯⨯⨯222180328001800.24/m 80107010P T GI θπππ⨯=⋅=⋅=︒⨯⨯⨯⨯[]max 1 1.71/m θθθ==︒>此轴不满足刚度条件。
3.4 图示一传动轴，主动轮I 传递力偶矩m k N 1⋅, 从动轮II 传递力偶矩0.4m k N ⋅, 从动轮III 传递力偶矩0.6m k N ⋅。
已知轴的直径d = 40mm ，各轮间距各轮间距l = 500mm ，材料的剪切弹性模量G = 80GPa 。
（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大剪应力和轮间的最大扭转角 。
0.6kN·m解：max 336161660047.7MPa 410t T m W d τππ-⨯====⨯⨯Ⅰ主动轮Ⅰ放在Ⅱ、Ⅲ轮之间，此时轴的最大扭矩最小。
max 494832326000.50.015rad8010410P Tl mlGI G d φππ-==⨯⨯==⨯⨯⨯⨯3.5 一空心圆轴和实心圆轴用法兰联结。
清华大学版理论力学课后习题答案大全 第3章静力学平衡问题习题解
EDF DDBF Fα(a)αCBF BDBF 'ABF (b)习题3－3图第3章 静力学平衡问题3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。
试求其中1，2，3各杆受力。
解：图（a ）：045cos 23=-︒F FF F 223=（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=︒-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0F 2 = F （受拉）3－2 图示为一绳索拔桩装置。
绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。
已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。
试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。
解：0=∑y F ，F F ED =αsin αsin FF ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F FF DB 10tan ==α由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。
3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。
桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。
重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。
长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。
试用角ϕ=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。
AF3F 2F 1F(b-1)习题3－1图F3F451F A 13(a-1)3F 2F D'3F(a-2)D3F '3F(b-2)习题3－2图ABF WBCF ϕW x2θyϕ习题3-5图习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2cos=-ϕϕW F AB ，2sin2ϕW F AB =0=∑y F ，02sin cos =---ϕϕAB BC F W W F即 2sin 2cos 2ϕϕW W W F BC ++=W W W W 2)cos 1(cos =-++=ϕϕ3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。
材料力学(清华大学)-学习笔记
第一章1.工程上将承受拉伸的杆件统称为拉杆，简称杆rods；受压杆件称为压杆或柱column；承受扭转或主要承受扭转的杆件统称为轴shaft；承受弯曲的杆件统称为梁beam。
2.材料力学中对材料的基本假定：a)各向同性假定isotropy assumptionb)各向同性材料的均匀连续性假定homogenization and continuity assumption3.弹性体受力与变形特征：a)弹性体由变形引起的内力不能是任意的b)弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调compatibility一致的要求c)弹性体受力后发生的变形与物性有关，这表明受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系4.刚体和弹性体都是工程构件在确定条件下的简化力学模型第二章1.绘制轴力图diagram of normal forces的方法与步骤如下：a)确定作用在杆件上的外载荷和约束力b)根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；c)应用截面法，用假象截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；d)建立F N-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。
2.强度设计strength design 是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。
对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：，这一表达式称为轴向载荷作用下杆件的强度设计准则criterion for strength design，又称强度条件。
其中称为许用应力allowable stress，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定：，式中为材料的极限应力或危险应力critical stress，n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。
材料力学高教第二版范钦珊第3章习题答案
习题3-1图(a)习题3-2图 C A (kN)N x (a)习题3-3图第二版_范钦珊材料力学_第3章习题答案 第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。
试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。
解：图（a ）中，54cos =θ （1）截面法受力图（a ） 0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN 0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN ∴ 1505.002.010153=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==AF DE DE σMPa3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。
已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。
试求：1．A 、B 、E 截面上的正应力；2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN（1）200100.2104043N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==AFB B σMPa 150N ==AFE E σMPa（2）200max ==A σσMPa （A 截面）3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。
试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
解：1．变形谐调：a a Na c c Nc A E FA E F = （1） P Na Nc F F F =+ （2）P a a c c cc Nc F A E A E A E F +=P aa c c aa Na F A E A E A E F +=∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==-⋅+⋅=+==4)(π4π)(4π4π22a 2c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc cd D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542292939c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa6.55105705.83c a c a =⨯==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
建筑力学3
2 C 2
3 D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
F4
解：1、计算各段的轴力。 AB段
FN1 FN2
F F
x
x
0
FN1 F1 10kN
BC段
0 FN 2 F2 F1
10 20 10kN
汽车方向盘
Me
从动轮
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
m A'
g
m B j B'
A
外力偶作用平面和杆件横截面平行
g：剪切角 切应变) g
j：相对扭转角
F2
FN3
10
FN 2 F1 F2
F4
25 CD段
F
x
0
FN 3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
4.3 剪切与扭转的内力
4.3.1 剪切的概念
受力特点：构件受到了一对大小 相等，方向相反，作用线平行且 相距很近的外力。一对力偶臂很 小的力偶作用。
如右图，δ远小于构件的最小尺寸 ，所以通过节点平衡求各杆内力时，把 支架的变形略去不计。计算得到很大的 简化。
A
δ1
B C F δ2
5、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置
的改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变） 1）弹性变形 — 随外力解除而消失的变形
建筑力学之材料力学第3章(华南理工)
解: ⑴ 作扭矩图(分三段计算).
T1 =2kN m T2 =2kN m+2kN m=4kN m T3 =2kN m 2kN m 6kN m = 2kN m
⑵ 用最大扭矩值校核强度: Tmax Tmax max = = 3 Wp d 16
T1
= T
第3章 剪切和扭转
§3-1 剪切及剪切的实用计算 当杆件受一对大小相等、方向相反、作用 线相距很近的横向力作用时, 二力之间的截面 将沿外力方向发生错动, 此种变形称为剪切。 发生错动的截面称为受剪面或剪切面。 工程中的剪切变形构件:
下面以铆钉连接中的铆钉为例, 讨论剪切变形时受剪面上的 内力、应力和剪切强度计算。
T2 =Me 3 Me = 2 Me
3-3截面: 由∑Mx=0, 得: T3=2Me
T1
T3
T2
例3-4 作图示杆的扭矩图。
解: 需分成三段(即AB段、 BC段、CD段), 按照“任一横截 面上的扭矩等于该截面一侧所 有外力偶矩的代数和”, 计算该 三段的扭矩值。 AB段: 由∑Mx=0, 得: T1=−2kN·m
切变模量或剪切模量
G=
E 2(1 )
§3-6 圆杆扭转时的应力 1. 几何方面
矩形lmnp的mn边相对于lp边错 动的距离为:
mm=d
于是剪切角为:
=
d d mm = = 即扭转角沿杆长的变化率, 用: = dx dx dx
2. 物理方面 对于纯剪切, 切应力与剪切角之间的关系为:
铆钉受力图截面内力 Nhomakorabea截面应力
当切应力τ达到一定限度时, 铆钉将被剪坏. a-a截面上切应力 的分布情况非常复杂, 在剪切强度计算时, 工程中采用下述实用计 算方法: 假定a-a截面上的切应力为均匀分布, 以平均切应力:
清华大学材料力学课后习题与解答
2－3 长度 l＝1．2 m、横截面面积为 1．10×l0－3 m2 的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；直
径 d＝15．0 mrn 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。若在钢杆的
C 端施加轴向拉力 FP，且已知钢和铝的弹性模量分别为 Es＝200 GPa，Ea＝70 GPa；轴向载荷 FP＝60 kN， 试求钢杆 C 端向下移动的距离。
（2） σ max = σ A = 200 MPa（A 截面）
2－5 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为 F＝4 kN。装置中旋紧螺栓螺纹的内径 d1＝13.8
[ ] mm；固定螺栓内径 d2＝17.3 nun。两根螺栓材料相同，其许用应力 σ ＝53.0 MPa。试校核各螺栓的强度
是否安全。
[FP] = min（57.6 kN，60 kN）＝57.6 kN
*2－9 由铝板和钢板组成的复合柱，通过刚性板承受纵向载荷 FP＝38 kN，其作用线沿着复合柱的轴线方 向。试确定：铝板和钢板横截面上的正应力。
4
习题 2－9 图
解：由于刚性板的存在，又是对称加载，所以铝板和钢板具有相同的压缩变形量。于是，有：
*2－11 图示组合柱由钢和铸铁制成，组合柱横截面为边长为 2b 的正
方形，钢和铸铁各占横截面的一半(b×2b)。载荷 FP，通过刚性板沿铅
垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为 Es＝196 GPa，
Ei＝98．0 GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位置 x＝？
解： ∑ M 0
b = 0.3h ≥ 0.3× 0.118 = 0.0354m = 35.4 mm h = 118mm，b = 35.4mm
材料力学第三章答案 景荣春
案
网
ww
w.
kh
da
w.
co
长度的变化） 皆为应力与应变成正比关系。 3 个弹性常量 E , G , μ 之间关系为 G =
课
3-5 圆轴扭转时如何确定危险截面、危险点及强度条件？ 答 等截面圆轴扭转时的危险截面为扭矩最大的横截面，变截面圆轴扭转时的危险截面 在其扭矩与扭转截面系数比值最大的横截面；其危险点在该横截面的外边缘。强度条件为
τ max =
后
50 ⎛ ⎞ 8 × 1.5 × 10 3 × 50 × 10 −3 ⎜ 4 × + 2 ⎟ 8 FD(4c + 2) 8 ⎝ ⎠ = 458 MPa = 解 （1） τ max = 3 50 ( ) πd 4c − 3 ⎛ ⎞ π × 8 3 × 10 −9 × ⎜ 4 × − 3 ⎟ 8 ⎝ ⎠ τ max − [τ ] 8 = × 100% = 1.78% < 5% [τ ] 450
课
后
答
案
（1）求轴内的最大扭矩； （2）若将轮 A 与轮 C 的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。
网
轮 B ，轮 C 与轮 D 为从动轮，输出功率分别为 PB = 10 kW， P C = P D = 30 kW。
解 （1） M B = 9549 ×
PB 10 = 9549 × = 191 N ⋅ m 500 n P 70 M A = 9549 × A = 9549 × = 1337 N ⋅ m 500 n
27
m
E 。 2(1 + μ )
思考题 3-6 解图
3-7 从强度方面考虑，空心圆轴为何比实心圆轴合理？ 答 对于相同的横截面面积 （即用相同量材料） ， 空心圆轴比实心圆轴的抗扭截面系数大， 从而强度高。 3-8 如何计算扭转变形？怎样建立刚度条件？什么样的构件需要进行刚度校核？ 答 （1）写出扭矩方程或扭矩图；相距 l 的两截面间的扭转角
材料力学-刘鸿文 第三章 3-2解析
1. 实验现象
当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力 偶作用时，其横截面上将只有扭矩一 个内力分量。
圆轴受扭后，将产生扭转变形。 圆轴上的直角微元均发生了变化，这 种直角的改变量即为剪应变。这表明 ，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪
应力分别用 t 和 t 表示。
A
C
B
D
A'
C'
B'
2.求极惯性矩及抗扭截面系数
A
IP
d4
32
(50 103 )4
32
m4
61108 m4
A O
WT
IP R
61108 25 103
m3
24 106 m3
3.求 t A 及 t max
tA
T IP
A
1000 61108
12.5 103
20MPa
t max
T IP
R
1000 24 106
42MPa
圆轴扭转时的强度计算
TKC
184Nm x
91Nm
3、按强度条件设计直径：
t max
(T )max Wt
t
TKB T
d 3
184
16 30 10 6
TKA
TKC
184Nm x
91Nm
解得d 3 16 184 31.510 3 m
30 106
4、按刚度条件设计直径：
max
(T )max GI P
180
实
心
T
圆
截
面
空
T心
圆
截
面
③：静力学关系（确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系）
复合材料力学沈观林编着清华大学出版社
第一章复合材料概论1.1复合材料及其种类1'复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理和化学方法在宏观尺度上组成的具有新性能的材料。
2、复合材料从应用的性质分为功能复合材料和结构复合材料两大类。
功能复合材料主要具有特殊的功能。
3、结构复合材料由基体材料和增强材料两种组分组成。
其中增强材料在复合材料中起主要作用，提供刚度和强度，基本控制其性能。
基体材料起配合作用，支持和固定纤维材料，传递纤维间的载荷，保护纤维。
根据复合材料中增强材料的几何形状，复合材料可分为三大类：颗粒复合材米斗、纤维土曾强复合材料（fiber-reinforced composite）、层禾□复合材料。
（1）颗粒：非金属颗粒在非金属基体中的复合材料如混凝土；金属颗粒在非金属基体如固体火箭推进剂；非金属在金属集体中如金属陶，瓷O（2）层合（至少两层材料复合而成）：双金属片；涂覆金属；夹层玻璃。
（3）纤维增强：按纤维种类分为玻璃纤维（玻璃钢）、硼纤维、碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维和芳纶纤维等。
按基体材料分为各种树脂基体、金属基体、陶瓷基体、和碳基体。
按纤维形状、尺寸可分为连续纤维、短纤维、纤维布增强复合材料。
还有两种或更多纤维增强一种基体的复合材料。
如玻璃纤维和碳纤维增强树脂称为混杂纤维复合材料。
5、常用纤维（性能表见P7表1-1 ）玻璃纤维（高强度、高延伸率、低弹性模量、耐高温）硼纤维（早期用于飞行器，价高）碳纤维（主要以聚丙烯睛PAN纤维或沥青为原料，经加热氧化，碳化、石墨化处理而成；可分为高强度、高模量、极高模量，后两种成为石墨纤维（经石墨化2500〜3000。
C）；密度比玻璃纤维小、弹性模量比其高；应力一应变尖系为一直线，纤维断裂前是弹性体；高模量碳纤维的最大延伸率为0.35%,高强度的延伸率为1.5%;纤维直径6〜10卩m；各向异性，沿纤维方向热膨胀系数 a i=-0.7X 10-6〜-0.9X 10-6,垂直于纤维方向a 2=22X10 6~32X 10'6）芳纶纤维（Kevlar，聚芳酰胺，K-29绳索电缆、K-49复合材料制造、K- 149航天容器；单丝强度比玻璃纤维高45%，弹性模量为碳纤维一半， a 与碳纤维接近）碳化硅纤维与氧化铝纤维（同属于陶瓷纤维，碳化硅有抗氧化、耐腐蚀、耐高温优点，与金属相容性好；氧化铝纤维有多重制法）6、常用基体树脂基体（分为热固性树脂和热塑性，热固性有环氧、酚醛、不饱和聚酯树脂等；其中环氧应用最广，粘结力强、表面浸润性好、固化收缩T生较高、耐热性固化方便；酚醛耐高温、吸水性小，电绝缘性好、便宜；聚酯工艺性好，室温固化，固化后均不能软化；热塑性有聚乙烯、聚苯乙烯、聚酰胺/尼龙、聚碳酸酯、聚丙烯等，加热转变温度会重新软化，制成模压复合材料）金属基体（耐高温、抗侵蚀、导电导热、不透气，应用较多的是铝）陶瓷基体（耐高温、化学稳定性好、高模量、高抗压强度、耐冲击性差）碳素基体（主要用于碳纤维增强碳基体复合材料，又称为碳 /碳复合材料，C-CA、C-CE分别用聚丙烯睛氧化法和催化法生产）1 2复合材料的构造及制法1、纤维增强复合材料几种构造形式：（1 ）单层复合材料（单层板），纤维按一个方向整齐排列或由双向交织纤维平面排列。
清华大学材料力学教学大纲
材料力学教学大纲1．材料力学概述 2变形体及其理想化，各向同性与各向异性弹性体，弹性体受力与变形特征，工程结构与构件，杆件受力与变形的几种主要形式。
2．杆件的内力分析 5内力与内力分量，截面法，内力分量的正负号规则，外力与内力之间的相依关系，平衡微分方程。
轴力图，扭矩图，剪力图与弯矩图。
3．弹性杆件横截面上的正应力分析 5应力、应变及其相互关系，正应力与切应力，正应变与切应变，线弹性材料的物性关系。
平面图形的几何性质：静矩，惯性矩，惯性积，主轴。
平面假定与变形协调方程，应变分布与应力分布，静力学平衡方程的应用，正应力的一般表达式。
轴向载荷作用下杆件横截面上的正应力，平面弯曲正应力，斜弯曲时的正应力，中性轴的概念及其位置，正应力公式应用中的几个问题，*对称性验证平面假定的正确性。
4．弹性杆件横截面上的切应力分析4圆轴扭转时横截面上的切应力：圆轴扭转变形特征，变形协调方程，剪切胡克定律，静力学方程，切应力表达式。
弯曲切应力：*薄壁梁横截面上的切应力流与弯曲中心，实心截面梁的弯曲切应力，5．应力状态分析 4一点处应力状态描述及其分类。
平面应力状态分析：正负号规则，微元的局部平衡，微元任意方向面上的正应力与切应力。
*类比法的应用——应力圆：应力圆方程，几种对应关系，应力圆的应用。
主平面、主应力、主方向、面内最大切应力与一点处的最大切应力。
*三向应力状态的特例分析：三组特殊方向面，三向应力状态的应力圆。
各向同性材料在一般应力状态下的应力一应变关系，广义胡克定律，各向同性材料各弹性常数之间的关系，一般应力状态下的应变能密度，体积改变能密度与畸变能密度。
*薄壁容器的应力与应变。
6．弹性杆件位移分析 3变形与位移的相依关系，奇异函数及其在确定梁位移中的应用：小挠度微分方程及其积分，积分常数的确定。
工程计算中的叠加法。
简单的超静定问题。
7．强度失效分析与设计准则 2轴向荷载作用下材料的力学行为：拉伸应力一应变曲线，弹性模量，比例极限，弹性极限，屈服应力，应变硬化与颈缩，强度极限，延伸率韧性指标，卸载与再加载时材料的力学行为，单向压缩时材料的力学行为，材料在单向应力状态下的失效判据。
材料力学(第四版)第三章
工 程 实 例
对称扳手（丝锥）拧紧镙帽
5
6
传动轴
汽车传动轴
7
§ 3–2
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、外力偶矩与功率和转速的关系
功
力偶矩
转角
每分钟 的转数
W 2n M M M P t t 60
功率 角速度
时间
60P(kW ) P M 9.55 (kN m) 2n(r / min) n
´
论，就可解释前述的破坏现象。
40
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：
max [ ]
([ ] —许用剪应力)
Tmax 对于等截面圆轴： [ ] Wt
强度计算三方面：
Tmax [ ] ① 校核强度： max Wt
Tmax ② 设计截面尺寸：Wt [ ]
③ 计算许可载荷：Tmax Wt[ ]
90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时，在横截
当 = – 45°时， 45 max , 45 0 当 = 90°时，
面和纵截面上的剪应力为最大值；在 45° 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结
E G 2(1 )
26
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 一、等直圆杆扭转实验观察： ②物理关系方面 ③静力学方面
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
16
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 3.分析： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。圆周线的间距不变，杆件既不伸长，也不 缩短，由此推知横截面上无正应力。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 —剪应变。即所有矩形网 格均歪斜成同样角度 的平行四边形。这种剪应变是由剪应力 引起的，因此在横截面的圆周上各点的剪应力是相等的。 ③剪应变是两截面的错动，发生在垂直半径的平面内，所以 剪应力的方向垂直于半径。 ④由于 t << r0 ，所以可假设剪应力沿厚度方向均匀分布。17
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杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
横截面上的内力与应力
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很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上 的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 F Nx A 其中 FNx— 横截面上的轴力，由截面法求得； A—横截面 面积。
根据平衡方程
F
有
n
0
F
t
0
dA x dAcos cos 0 dA x dAcos sin 0
据此可以得到与前面完全相同的结果。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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＝
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力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分 解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
x
Δl l
x FP / A
FPl Δl x ＝ EA x l l E
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
Δl x l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆 件各处均匀变形的情形。 对于各处变形不均匀的情形，
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必须考察杆件上沿轴向的微段 dx的变形，并以微段 dx的相对 变形作为杆件局部的变形程度。
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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FP l Δ l EA
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的 胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料 的弹性模量，它与正应力具有相同的单位； EA称为杆件的 拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中 “＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。
FNx1＝400kN
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN
应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 轴力和正应力 AB段： FNx1＝400kN
BC段： CD段：
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN
拉、压杆的变形分析
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相对变形 正应变
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
FP l Δ l EA
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变， 用 x 表示。
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强度设计概述 拉伸和压缩时材料的应力一应变曲线 常温、静载下材料的力学性能 强度失效与失效控制 强度计算过程与算例 结论与讨论
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第3章 最简单材料力学问题
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杆件在轴向载荷作用下 的内力与应力
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杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相 邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面 上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应 力和切应力分别为
＝
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
进而，求得各段横截面上的 正应力分别为： AB段： BC段： CD段：
x1
x2
x3
FNx1 400 10 3 6 ＝ 160 10 Pa 160MPa 6 A1 2500 10
FNx 2 －100 10 3 ＝ －40 10 6 Pa －40MPa 6 A2 2500 10
A cos
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
A ＝
其中，x为杆横截面上的正应力;Aθ 为斜截面面积
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的 微元而求得。
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向 载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l 与杆所承 受的轴向载荷成正比。 写成关系式为
Δ l
FP l EA
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
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这时
x
Δdx ＝ dx FP dx EA x dx
x
E
可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
拉、压杆的变形分析
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横向变形与泊松比
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿 斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为 。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总 内力
杆件在轴向载荷作用下பைடு நூலகம்内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单 元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力 x 。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力 和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。
＝ x sin 2
x1 160MPa AB段杆横截面上的正应力为 ：
与杆轴线夹 45°角 ( 逆时针方向 ) 斜截面， ＝ 45°，其上之正 应力和切应力分别为 ：
45 ＝ x1 cos 2＝160 cos 2 45 MPa＝80MPa
45 ＝ x1sin 2 ＝ 160 sin 2 45 MPa＝80MPa
第3章 最简单材料力学问题
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第3章 最简单材料力学问题
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斜拉桥承受拉力的钢缆
第3章 最简单材料力学问题
斜拉桥承受拉力的钢缆
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第3章 最简单材料力学问题
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力 拉、压杆的变形分析 应力与变形算例
FNx 3 200 10 3 6 ＝ 200 10 Pa 200MPa 6 A3 1000 10
应力与变形算例
例 题 1
解：2．计算AB段杆斜截面上的正应 力和切应力 应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的 应力公式 ：
＝ x cos 2
1 2
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量纲量。
第3章 最简单材料力学问题
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应力与变形算例
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应力与变形算例
例 题 1
已知 : 阶梯形直杆受力如图 示。材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝ 2500mm2 ， A3 ＝ 1000mm2 ； 杆各段的长度标在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面 上的正 应力； 2 ． 杆 AB 段 上 与 杆 轴 线 夹 45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力；杆的总伸 长量。
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横 截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有 切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的 正应力和切应力各不相同。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 正应力 因为杆各段的轴力不等，而且 横截面面积也不完全相同，因而， 首先必须分段计算各段杆横截面 上的轴力。分别对 AB、BC、CD 段杆应用截面法，由平衡条件求 得各段的轴力分别为： AB段： BC段： CD段：
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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拉、压杆件斜截面上的应力
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和 一斜置小方格
受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置 小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在 拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面 方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的 切应力有关。
拉、压杆件斜截面上的应力
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ