清华大学材料力学-第3章

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应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 正应力 因为杆各段的轴力不等，而且 横截面面积也不完全相同，因而， 首先必须分段计算各段杆横截面 上的轴力。分别对 AB、BC、CD 段杆应用截面法，由平衡条件求 得各段的轴力分别为： AB段： BC段： CD段：
拉、压杆的变形分析
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相对变形 正应变

拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
FP l Δ l EA
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变， 用 x 表示。
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量纲量。
第3章 最简单材料力学问题
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应力与变形算例
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应力与变形算例
例 题 1
已知 : 阶梯形直杆受力如图 示。材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝ 2500mm2 ， A3 ＝ 1000mm2 ； 杆各段的长度标在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面 上的正 应力； 2 ． 杆 AB 段 上 与 杆 轴 线 夹 45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力；杆的总伸 长量。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿 斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为 。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总 内力

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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FP l Δ l EA
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的 胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料 的弹性模量，它与正应力具有相同的单位； EA称为杆件的 拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中 “＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。
进而，求得各段横截面上的 正应力分别为： AB段： BC段： CD段：
x1
x2
x3
FNx1 400 10 3 6 ＝ 160 10 Pa 160MPa 6 A1 2500 10
FNx 2 －100 10 3 ＝ －40 10 6 Pa －40MPa 6 A2 2500 10

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
横截面上的内力与应力
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很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上 的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 F Nx A 其中 FNx— 横截面上的轴力，由截面法求得； A—横截面 面积。
强度设计概述 拉伸和压缩时材料的应力一应变曲线 常温、静载下材料的力学性能 强度失效与失效控制 强度计算过程与算例 结论与讨论
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第3章 最简单材料力学问题
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杆件在轴向载荷作用下 的内力与应力
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杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横 截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有 切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的 正应力和切应力各不相同。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力

拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
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这时
x
Δdx ＝ dx FP dx EA x dx
x
E
可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
拉、压杆的变形分析
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横向变形与泊松比
第3章 最简单材料力学问题
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第3章 最简单材料力学问题
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斜拉桥承受拉力的钢缆
第3章 最简单材料力学问题
斜拉桥承受拉力的钢缆
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第3章 最简单材料力学问题


杆件在轴向载荷作用下的内力与应力 拉、压杆的变形分析 应力与变形算例
A cos
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
A ＝
其中，x为杆横截面上的正应力;Aθ 为斜截面面积

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的 微元而求得。
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横截面上的内力与应力 拉、压杆件斜截面上的应力

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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横截面上的内力与应力

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
横截面上的内力与应力
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当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴 力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有 正应力。

拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向 载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l 与杆所承 受的轴向载荷成正比。 写成关系式为
Δ l
FP l EA


杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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拉、压杆件斜截面上的应力

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和 一斜置小方格
受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置 小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在 拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面 方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的 切应力有关。

拉、压杆的变形分析
横向变形与泊松比
杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆 件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。
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实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变 x 与横 向应变y之间存在下列关系：
y x
为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio),为无
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力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分 解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
FNx1＝400kN
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN

应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 轴力和正应力 AB段： FNx1＝400kN
BC段： CD段：
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN
根据平衡方程
F
有
n
0
F
t
0
dA x dAcos cos 0 dA x dAcos sin 0
据此可以得到与前面完全相同的结果。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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＝
x
Δl l
x FP / A
FPl Δl x ＝ EA x l l E

拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
Δl x l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆 件各处均匀变形的情形。 对于各处变形不均匀的情形，
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必须考察杆件上沿轴向的微段 dx的变形，并以微段 dx的相对 变形作为杆件局部的变形程度。
FNx 3 200 10 3 6 ＝ 200 10 Pa 200MPa 6 A3 1000 10
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应力与变形算例
例 题 1
解：2．计算AB段杆斜截面上的正应 力和切应力 应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的 应力公式 ：
＝ x cos 2
1 2
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拉、压杆件斜截面上的应力
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
＝
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
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在＝0的截面（即横截面）上， 取最大值，即
σθ max σ x
FP A
在＝45°的斜截面上， 取最大值，即
τθ max τ 45
σ x FP 2 2A
FP 2A
在这一斜截面上，除切应力外，还存在正应力，其值为
45

x
2


杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力， 实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此， 当论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方 向面上的应力。
以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单 元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力 x 。

杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力 和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
材料力学
(3)
2017年5月10日
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第3章 最简单的材料力学问题
＝ x sin 2
x1 160MPa AB段杆横截面上的正应力为 ：
与杆轴线夹 45°角 ( 逆时针方向 ) 斜截面， ＝ 45°，其上之正 应力和切应力分别为 ：
45 ＝ x1 cos 2＝160 cos 2 45 MPa＝80MPa

45 ＝ x1sin 2 ＝ 160 sin 2 45 MPa＝80MPa
材料力学
第3章 最简单材料力学问题
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拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一 种。它所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料 力学中却有一定的普遍意义。 本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括： 内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及 强度设计，目的是使读者对材料力学有一个初步的、比较 全面了解。关于拉伸和压缩的进一步的问题，将在以后有 关章节中陆续加以介绍。
拉、压杆件斜截面上的应力
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在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相 邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面 上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应 力和切应力分别为
＝
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
第3章 最简单材料力学问题
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绝对变形 弹性模量 相对变形 正应变 横向变形与泊松比
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绝对变形 弹性模量