初中数学-矩形翻折问题小专题

矩形翻折问题小专题
【知识方法总结】
1．联系实际，内容丰富，具有开放性，有利于考查学生的动手能力，空间观念和几何变换的思想。

2.图形的折叠就是对称变换，即翻折。

3.其解法看似灵活，抓住翻折前后的图形是全等图形这一关键，“边相等，角相等，折线为角平分线”再利用勾股定理或比例关系或线段的相等关系列方程，即可求解。

4.注意点：
（1）折叠就是轴对称
（2）其中蕴含着全等图形;即边和角的相等关系。

【经典例题】
例1．已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF （如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
（2）求折痕EF的长．
【解答】解：（1）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∠AFE＝∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，
∴∠CEF＝∠AEF，AE＝CE
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF为平行四边形，
∵AE＝EC，
即四边形AECF的四边相等．
∴四边形AECF为菱形．
例2．已知：长方形纸片ABCD中，AB＝10cm，AD＜AB．
（1）当AD＝6.5cm时，如图①，将长方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边上，记作点D′，折痕为AE，如图②．此时，图②中线段D′B长是cm．
（2）若AD＝xcm，先将长方形纸片ABCD按问题（1）的方法折叠，再将三角形AED′沿D′E向右翻折，使点A落在射线D′B上，记作点A′．若翻折后的图形中，线段BD′＝2BA′，请根据题意重新画出图形（草图），并求出x的值．
【解答】解：（1）由题意知AD′＝AD＝6.5cm，
∴D′B＝AB﹣AD′＝10﹣6.5＝3.5（cm），
故答案为：3.5；
（2）如图所示，
由题意知，AD＝AD′＝A′D′＝xcm，
∵AB＝10cm，
∴BD′＝10﹣x，A′B＝2x﹣10，
由BD′＝2BA′得10﹣x＝2（2x﹣10），
解得：x＝6．
例3．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=a，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为（）
a；
A. 1
2
a；
B. 2
5
a；
C. √3
3
a．
D. √3
2
【答案】C
例4．
（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G 点在边BC上，BG＝10．
①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；
②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
（2）在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．
【解答】
例5．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为
=．
DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD
AB
【答案】3+4√3
13
例6．在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．
问题背景：
在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD 上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．
猜想与证明：
（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；
操作与画图：
（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；
操作与探究：
（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN 并延长MN交EF于点O．
求证：MO⊥EF 且MO平分EF；
【解答】解：（1）△MEF是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MFE＝∠CEF，
由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
∴△MEF是等腰三角形．
（2）折痕EF和折叠后的图形如图2所示：
7．如图1，矩形纸片ABCD的边长AB＝4cm，AD＝2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：
（1）GF FD（直接填写＝、＞、＜）；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）运用所学知识，请计算着色部分多边形BCHFE的面积．
【解答】解：（1）由翻折的性质，可得GD＝FD；
故答案为：＝；
（2）△CEF是等腰三角形．
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
由翻折的性质，∠AEF＝∠FEC，
∴∠CFE＝∠FEC，
∴CF＝CE，
故△CEF为等腰三角形；
8．如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=10，M是BC的中点，点P沿折线BA﹣AD运动，以MP为折痕将矩形纸片向右翻折，使点B落在矩形的边上，则折痕MP的长．
√5或2√5或4
【答案】5
2
9．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【解答】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得
AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；
（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，
∴CE=AE=a，
在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
10．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB=4，则FM的长为（）
A. 4
B. 2√3
C. 2√2
D. 2
【答案】B
11．在一张长方形ABCD纸张中，AB＝25cm，AD＝20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为
cm；
（2）如图2，H、G分别为BC、AD的中点，点A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分（△DEF）的面积；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将这两张纸按图形位置任意叠合后，发现重叠部分都是菱形，显然，这些菱形中周长最短是40cm．是否存在叠后周长最大的菱形？若存在，请求出叠合后周长最大的菱形的周长和面积；若不存在，请说明理由．
【解答】
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E在AD边上，已知B、E两点关于直线l对称，直线l 分别交AD、BC边于点M、N，连接BM、NE．
（1）求证：四边形BMEN是菱形；
（2）若DE=2，求NC的长．
【解答】（1）证明：∵B、E两点关于直线l对称，
∴BM=ME，BN=NE，∠BMN=∠EMN，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EMN=∠MNB，
∴∠BMN=∠MNB，
∴BM=BN，
∴BM=ME=BN=NE，
∴四边形BMEN是菱形；
（2）解：设菱形边长为x，
则AM=8−x，
在Rt△ABM中，42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴NC=5．
【答案】（1）略；（2）5．。