11.2《三角形的内角》第二课时导学案(人教版八年级上册数学)

11.2《三角形的内角》第二课时导学案(人教版八年级上册数
学)
一、知识回顾
1. 什么是三角形的内角？
给定三角形ABC，在三角形内部点P处作射线，使得P不在AB、BC、CA三条边上，如图所示：
内角
以这个射线为一边，AB和AC所在的直线为另外两边，所组成的角，称为三角形ABC的一个内角。

2. 三角形内角的性质
三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即：∠A + ∠B + ∠C = 180°。

二、新知预告
本课时我们将学习以下知识点：
1.同一边上的内角互补。

2.不同边上的内角互补。

三、同一边上的内角互补
在图中，点D、E分别在射线AP的两侧，并分别在直线BC的上方和下方。

同一边上的内角互补
过程推导
根据三角形内角和的性质：∠A + ∠B + ∠C = 180°，我们可以得到：
∠BAD + ∠DAE + ∠EAC = 180° (1)
∠BAD + ∠BAF + ∠FAC = 180° (2)
将式子（1）中的∠EAC 代入式子（2）中，得到：
∠BAD + ∠BAF + (∠BAD + ∠DAE) = 180°
化简得：
2∠BAD + ∠BAF + ∠DAE = 180°
再将式子（2）中的∠FAC 代入，得到：
2∠BAD + (∠BAD + ∠BAF) + (∠BAD + ∠DAE) = 180°
化简得：
4∠BAD + ∠BAF + ∠DAE = 180°
进一步化简得：
∠BAD + ∠DAE = 90°
由此我们可以得出结论：同一边上的内角互补，即两个内角之和等于90度。

理解拓展
同一边上的内角互补，是因为这两个内角所对的直线是平行的。

我们可以考虑竖线切割平行线的例子，如下图所示：
竖线切割平行线
由于直线AB和CD是平行的，显然∠a与∠c为同一边上的内角，根据竖线切割平行线的性质，这两个内角互补。

四、不同边上的内角互补
在图中，点D、F分别在射线AP的两侧，F在BC的上方，D在BC的下方。

不同边上的内角互补
过程推导
根据三角形内角和的性质：∠A + ∠B + ∠C = 180°，我们可以得到：
∠BAD + ∠DAE + ∠EAC = 180° (1)
∠CAF + ∠BAF + ∠BAD = 180° (2)
将式子（1）中的∠EAC 代入式子（2）中，得到：
∠CAF + ∠BAF + (∠BAD + ∠DAE) = 180°
化简得：
∠CAF + ∠BAF + ∠BAD + ∠DAE = 180°
再将式子（2）中的∠BAD 代入，得到：
∠CAF + ∠BAF + (∠CAF + ∠BAF) = 180°
化简得：
2∠CAF + 2∠BAF = 180°
进一步化简得：
∠CAF + ∠BAF = 90°
由此我们可以得出结论：不同边上的内角互补，即两个内角之和等于90度。

理解拓展
不同边上的内角互补，是因为这两个内角所对的直线是交错的。

我们可以考虑Z字形切割的例子，如下图所示：
Z字形切割的线段
由于直线AB与直线BC和直线CD与直线DE是交错的，显然∠a与∠c为不同边上的内角，根据Z字形切割的性质，这两个内角互补。

五、课堂练习
1. 如图，点O在AC中点处，蓝色的线段为平行线，已知∠ABD = 60°，
∠BED = 40°，求∠AEB的度数。

练习1
2. 如图，射线AO与射线BO分别交直线CD、CE于点P、Q，如果∠BPC = 30°，∠CQE = 70°，求∠AOB的度数。

练习2
六、本课时总结
本课时我们学习了同一边上的内角互补和不同边上的内角互补的概念及推导方法，并通过练习加深了对这些概念的理解。

通过本节课的学习，我们加深了对三角形内角和的性质的理解，也为下节课的学习打下了基础。

七、思考题
如图所示，三角形ABC的顶点A与点D连线，且使∠BAC = ∠DAC，射线AD所在的直线与BC相交于点E，BC = 2DE，求∠CAB的度数。

思考题。