浙江省宁波市2010届高三上学期期末试题(数学理)

（C）
1 2
1 （D） 3
7、执行如图的程序框图， 若 p 9， 则输出的 S
9 （A） 10 7 （B） 18 8 （C） 9 2 （D） 5
AB 7, BC 5, CA 6 AB BC ABC 8、在 中， ，则
（A） 19 （C） 38 （B） 19 （D） 38
2
（1）函数 f ( x) 的最小正周期；（2）函数 f ( x) 的单调递减区间；
[0, ] 2 上的最值． （3）函数 f ( x) 在区间

19、 （14 分）袋中装有编号为 1 的球 5 个，编号为 2 的球 3 个，这些球的大小完全一样． （1）从中任意取出四个，求剩下的四个球都是 1 号球的概率； （2）从中任意取出三个，记 为这三个球的编号之和， 求随机变量 的分布列及其数学期望 E ． 20、 （15 分） AB 为圆 O 的直径，点 E , F 在圆上， AB // EF ，矩形 ABCD 所在 平面与圆 O 所在平面互相垂直， 已知 AB 2, EF 1 ． （1）求证： BF 平面 DAF ； （2）求 BF 与平面 ABCD 所成的角； （3）在 DB 上是否存在一点 M ， 使 ME // 平面 DAF ？若不存在，请说明理由； 若存在，请找出这一点，并证明之．
P( A)
则
3 1 C3 C5 1 C84 14 ；
（4 分）
3 1 C5 C52C3 10 30 P ( 4) 3 3 C8 56 ， C8 56 ，
（2） 3, 4,5, 6
P( 3)
P( 5)
1 2 3 C5 C3 15 C3 1 P ( 6) 3 3 C8 56 ， C8 56 ．
21、 （15 分）点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是抛物线 C : x 2 2 y 上的不同两点，过 A, B 分别作 P( x0 , y0 ) ．
抛物线 C 的切线，两条切线交于点 （1）求证：
x0 是 x1 与 x2 的等差中项；
（2）若直线 AB 过定点 M (0,1) ，求证：原点 O 是 PAB 的垂心；
185
1 4
2 3
3 2
( x 3) 2 y 2 5
a
1 2
n2
无等号 说明 不扣分 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
f ( x) cos 2 x 1 3 sin 2 x 2sin(2 x ) 1 6 18、 （14 分） T
又 OA OE OF ，
所以 OAFE 是菱形，且
OAF

3．
在 ABF 中， AF BF ，
BAF OAF

3，
ABF

6，

直线 BF 与平面 ABCD 所成的角的大小为 6 ； （3） M 是 BD 的中点． 证明：连 OM ， OM // AD ， OM 平面 DAF ，OM // 平面 DAF ， 由（2）知， OE / / AF ， OE 平面 DAF ， OE // 平面 DAF ， OM OE O ， 所以平面 OEM // 平面 DAF ， ME // 平面 DAF ． （15 分）
（1）最小正周期

（4 分）
2 2 ；
（6 分）
（2）当
2 k

2
2x

6
2 k
3 2 k x k 2 ，即 6 3
k Z 时，
函数 f ( x) 单调递减，
所以函数 f ( x) 的单调递减区间为
[ k

6
, k
2 ] k Z 3 ． （10 分）
1 x ( x1 x2 x0 ) k 3 ， x x 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 y ( y1 y2 y0 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 2 1 2 k 3 6 3 6 3 3 3


（C）向左平移 2 个单位

（D）向右平移 2 个单位
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． 11、某校高三有 1000 个学生，高二有 1200 个学生，高一有 1500 个学生．现按年级分层抽样，调查学生 的视力情况，若高一抽取了 75 人，则全校共抽取了 ▲ 人． ．
所以
x0 是 x1 与 x2 的等差中项；
2
2
（5 分） 整理得 x 2kx 2 0 ．
（2）设直线 AB : y kx 1 ，代入 x 2 y
x0 k , x x 2k , 1 2 x1 x2 2, ，得 y0 1,
kOP y0 1 x0 k kOB
4
（3）在（2）的条件下，求 PAB 的重心 G 的轨迹方程．
f ( x) x
22、 （14 分）设
a 1 a ln x x
(a R) ．
（1）若 x 1 是函数 f ( x) 的极大值点，求 a 的取值范围；
1 1 a (,1 ] [1 e,) x [ , e] e e 上至少存在一点 x0 ，使 f ( x0 ) e 1 成立， （2）当 时，若在
C:
15、以双曲线
x2 y 2 1 4 5 的右焦点为
▲ ．
圆心，且与双曲线 C 的渐近线相切的圆的方程是
16、变量 x, y 满足
x 2 y 3 0, x 3 y 3 0, y 1 0,
目标函数 z ax y 的最大值为 3a ，则实数 a 的取值范围是
AD 平面 ABEF ，
又 AB 为圆 O 的直径，
AD BF ； AF BF ，
AF AD A ，
BF 平面 DAF ；
（5 分）
（2）因为平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直， 所以交线 AB 是直线 BF 在平面 ABCD 上的射影， 所以 ABF 就是直线 BF 与平面 ABCD 所成的角． （7 分） 因为 OA // EF 且 OA EF , 所以四边形 OAFE 是平行四边形，
(2 x
3、二项式 （A） 20
1 6 ) x 展开式的常数项是
（C） 160 （D） 20
1
（B） 160
a5 {a } a a 6, a4 a6 5 ，则 a7 4、在等比数列 n 中，若公比 q 1 ，且 2 8
5 （A） 6
6 （B） 5
如果事件 A ， B 相互独立，那么
V Sh
其中 S 表示棱柱的底面积， h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 V Sh 3
P A B P A P B
在 n 次独立重复试验中事件 A 恰 发生 k 次的概率是
k k Cn p 1 k nk
好 ，
其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
12、在 ABC 内任取一点 P ，则 PBC 的面积超过 ABC 面积的一半的概率是 ▲ 13、如图是一个正三棱柱的三视图， 若三棱柱的体积是 8 3 ，则 a 14、在 ABC 中， AB ▲ 的
．
3 ，点 D 是 BC
中点，且 AD 1, BAD 30 ， 则 ABC 的面积为 ▲ ．
7
（10 分）
（注：用向量方法相应给分． ） 21、 （15 分） （1）对 x 2 y 求导 得 y ' x ，
2
所以直线
PA : y x1 ( x x1 ) y1 ，即
y x1 x
x12 2
x1 x2 x , 0 2 2 x2 y x1 x2 , PB : y x2 x 0 2 2 ， 解得 同理, 直线
9、设 m, n 是平面 内的两条不同直线，
2
l1 , l 2 是平面 内两条相交直线，则 的
一个充分不必要条件是 （A） （C）
l1 m, l1 n m l1 , n l2
（B）
m l1 , m l2 m // n, l1 n
（D）
f ( x) sin( x) ' 3 10、已知函数 ，则要得到其导函数 y f ( x) 的图象，只需将函数 y f ( x) 的图象 2 （A）向左平移 3 个单位 2 （B）向右平移 3 个单位
1 i 1、若 i 为虚数单位，则 1 i
（A） i
2
（B） i
（C） 1
（D） 1
2、已知集合 A {x | x 2 x 3 0}, B {x | x 1} ，则 A B （A） {x | x 1} （C） {x |1 x 3} （B） {x | x 3} （D） {x | 1 x 1}
1 V h S1 S1S 2 S 2 3
S1 , S 2
其中 p 表示在一次试验中事件 A 发生的概率
2 球的表面积公式 S 4 R


4 V R3 3 球的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，
其中 R 表示球的半径
h 表示棱台的高
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
3 （C） 2
2 （D） 3
5、椭圆 E 的短半轴长为 3 ，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9 ，则椭圆 E 的离心率为
5 （A） 13
3 （B） 5
4 （C） 5
12 （D） 13
6、已知函数 f ( x) 满足: （A） 2
f (1) 2, f ( x 1)
（B） 3
1 f ( x) 1 f ( x) ，则 f (2010)
求 a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
5
题号 答案
1 A
2 C
3 B
4 D
5 C
6 B
7 D
8 A
9 B
10 C
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． 题号 答案 11 12 13 14 15 16 17
7 x [0, ], 2 x [ , ] 2 6 6 6 ， （3）
f ( x) max f ( ) 3, 6
1 sin(2 x ) [ ,1] 6 2

f ( x) min f ( ) 0 2 ．

（14 分）
19、 （14 分） (1) 记 “任意取出四个， 剩下的四个球都是 1 号球”为事件 A ,
▲ ．
1 1 a an 1 1 1 a2 4, 2 n 2 an 1 1 1 an { a } {a } a n n 1 17、整数数列 n 满足 ，则数列 n 的通项 n ▲．
3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、 （14 分）已知函数 f ( x) 2 cos x 2 3 sin x cos x ．求
即 AB OP ；
k AP x1 ，
y2 1 x2 x2 2
k AP kOB
1 x1 x2 1 2 ，
AP OB ，
同理 BP OA ，
所以原点 O 是 PAB 的垂心； （10 分，只需证明两个垂直就得满分） （3）设 PAB 的重心 G ( x, y ) ，则
所以随机变量 的分布列为
6

P
3
4
30 56
5
6
10 56
15 56
1 56
（12 分）
E 3
10 30 15 1 33 4 5 6 56 56 56 56 8 ．
（14 分）
20、 （15 分） （1）证明：因为平面 ABCD 平面 ABEF , AD AB ，
浙江省宁波市 2010 届高三上学期期末试题（数学理）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分． 考试时间 120 分钟．请考生将所有题目都做在答题卷上．
参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 棱柱的体积公式
P A B P A P B