二面角和面面垂直
面面垂直的判定和性质
1、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
l
α
.
1
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
性质定理
• 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
• 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平
面β的垂线，只需过这一点在平面 内作
交线的垂线。
Aα
α
A
D
β
B
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过.程 结论 注注
14
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
.
15
例1已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
证明： 正方形ABCD中 C，BDA
P B
A平 D平
面 面
AA BBPCCA DDB
D
A
D
A
C平
面
P
A
C， 平P面A
PA
C
B
O
C
A C P AA
B D平 面 P A C平 面 PA平C面 B D平 面 P B D
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过. 程 结论 注
二面角与面面垂直的判定
类比：从平面角到二面角
一条直线上的一个点把这条直 线分成两个部分， 线分成两个部分，其中的每一 部分都叫做射线 一个平面内的一条直线把这 个平面分成两个部分， 个平面分成两个部分，其中 的每一部分都叫做半平面
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 二面角 这条直线叫做二面角的棱， 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
∠A O B
B1 B
？
β O1
∠A1O1B1
二面角的大小用它的 平面角来度量
平面角是直角的二面 角叫做直二面角 角叫做直二面角
l
A1 A O
α面Leabharlann 垂直定义与判定定理定义：两个平面相交， 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 称这两个平面互相垂直. 角，称这两个平面互相垂直 类比：线面平行→面面平行 线面垂直→面面垂直 面面平行， 面面垂直？？ 类比：线面平行 面面平行，线面垂直 面面垂直？？ 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线， 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直. 平面垂直 简记：线面垂直 垂直， 面面垂直 简记：线面垂直，则面面垂直 符号语言： l 符号语言：若 ⊂β,l ⊥α,则 ⊥α β 图形： 图形：
∪ ∪ ∪ ∪
例1：（1） 在正方体ABCD − A1 B1C1 D1 , 求证： 面ACC1 A1 ⊥ 面BDB1 D1
例1：（2）
在正方体ABCD − A1 B1C1 D1 , E，F分 别是A1 D1，A1 B1的中点，求证： 面ACC1 A1 ⊥ 面BDEF
例1：（3） 在 正 方 体 A B C D − A1 B 1 C 1 D 1 , 求 证 ：
2.3复习课-面面垂直的判定及二面角
α
实质： 线面垂直
面面垂直
探究： 已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B C D A
P D
A
C
B
A
P
l
B Q
A
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角. A
l
O
B
∠AOB 即为二面角α-l-β的 平面角
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
A
B
D
C
B
D
C
P
D
O
C
E
B
A
D1
C1
B1
A1
M
D
F
C
O
A
B
E
复习课
面面垂直的判定 及二面角
二面角的定义
同样,从一条直线出 发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直 线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面 .
l
二面角的记号
, (1)以直线 l为棱， , (2)以直线AB为棱， 以为半平面的二面角 以为半平面的二面角 记为： AB 记为： l 或记作：P-AB-Q
二面角的取值范围: [0 ,180 ] 或 [0， ]
0 0
平面与平面垂直定义
二面角及面面垂直的判定与性质
二面角及面面垂直的判定与性质【知识要点】一、二面角1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2、图形及表示二面角αβ--AB二面角 αβ--a二面角A-BD-C3、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
注：二面角的大小由二面角的平面角来度量；二面角的大小与端点的选取无关；二面角的平面角所在的面与棱垂直；二面角可以是钝角。
二、两个平面垂直的判定1、根据定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、根据判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
注：由判定定理，要证面面垂直，关键是证明线面垂直。
三、两个平面垂直的性质定理1、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【例题选讲】例1、在三棱锥A －BCD 中，∠=∠=︒∠=︒ABC ABD CBD 4560,, 求二面角C －AB －D 的大小， 解：在AB 上任取一点E ， 在平面ABC 内，作EF AB ⊥， 交BC 于F ，在平面ABD 内，作EG AB ⊥，交BD 于G ，∴∠FEG 是二面角C －AB －D 的平面角， 连接FG ，设BE ＝aAEG DBβαB a ACDB A则EF ＝EG ＝a ，FG a =2∴∠=︒FEG 90即二面角C －AB －D 为90︒注意：并不是所有的题端点都可以任意选，端点的选择应该使得到的图形可解而且计算量尽量小。
例2、在三棱锥A －BCD 中，所有的棱长均为a ， 求二面角A －CD －B 的余弦值 解：取CD 的中点E ， 连接AE 、BE ，AC ADAE CD=∴⊥同理 BE CD ⊥∴∠AEB 是二面角A －CD －B 的平面角，在∆ABE 中， AE BE a AB a ===32,c o s()()∠=+-⋅⋅=ABE a a a a a 32322323213222即二面角A －CD －B 的余弦值为 13例3、三棱锥D －ABC 中，DC ⊥平面ABC ，AC BC AC BC DC ⊥===,,,152012，求二面角D －AB －C 的大小。
证明面面垂直的方法及知识点
证明面面垂直的方法及知识点证明面面垂直的方法及知识点面面垂直是几何图形的一种体现，那该怎么证明呢？证明的方法是的呢？下面就是店铺给大家整理的怎样证明面面垂直内容，希望大家喜欢。
证明面面垂直的方法如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)为方便，下面#后的代表向量。
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD两组对边平方和分别为：AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BCAD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的.垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
面面垂直的知识点一、初中部分1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
4两面垂直的判定和性质
六、两个平面垂直课堂练习
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为 45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是（ D ） A.30°， B.30°或150°， C.45°， D.45°或135°。
作业：P81页，2、5题
三、两个平面垂直的性质定理
[情境问题]： 为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？ 将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书 面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？ 由物理学原理知，它会倒塌． [探索研究 ]： 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于 交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？
三、两个平面垂直的性质定理
如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD， α∩β=CD，求证：AB⊥β。
[分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证 AB垂直于β内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一 条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用，由 α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有 AB⊥BE，也就有 AB⊥β， 问题也就得到解决．
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、 OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角 的平面角。
α A B
1 2 a ，AO= a 设AB=a,则AC= 2 2
AO 2 则sin∠ACO= AC 2
β
O
C
二面角,面面垂直的判定
α
H
A
面角的平 面角！
F E
O
β
例4 求正四面体A-BCD中的侧面与底面所 成角的余弦值。 定义法
4.若m⊥α，m
β，则α⊥β.(
) √
∪
二、填空题：
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作_____个平面与已知平面垂 直.
一 3.过平面α的一条斜线，可作____个平 面与平面α垂直.
一 4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.
例题讲解
§ 两个平面垂直的判定
3、二面角的范围：
[0 ,180 ]
。
。
A
4、直二面角—— 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
O
B
两个平面垂直的判定
两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作：
B
A C
画法：
l
问题引入：
建筑工人砌墙时，如何检测所砌的 墙面和地面是否垂直？
3、二面角的画法
C B D A
二面角C－AB－ D
F A l B D C E
二面角－ l－
如何度量二面角的大小？
能否转化为平面角来处理？
找一个能变化的平面角∠AOB,把它放入二面角的模型 内,将顶点O放在棱上,两边紧贴在两个面上。
二面角的有关概念面面垂直判定
l
α
思考3:在二面角α-l-β的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA，OB，能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一 确定？这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关？
β
B
O
lA
α β
思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中，有哪些实例反映出两个平面垂 直？
思考4:在图形上，符号上怎样表示 两个平面互相垂直？
β
β
α
α
思考5:如果平面α⊥平面β，那么 平面α内的任一条直线都与平面β 垂直吗？
α
β
知识探究（二）：两个平面垂直的判定
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？
如果一个平面经过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直.
思考5:结合图形，两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
思考6:过一点P可以作多少个平面与 平面α垂直？过一条直线l可以作多 少个平面与平面α垂直？
P l
α
l α
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
高中数学必修二 二面角和面面垂直
思考：在四面体P-ABC中，有几
对平面互相垂直？有几个直角
三角形?
A
O
B
C
A
9
例2、如图，正方形ABCD，PA⊥平面ABCD， BE ⊥ PC，E为垂足．
（1）求证：平面BDE ⊥平面PBC； （2）若PA=1, PB= 7 ,求二面角E-BD-C的余弦
P
E
D
C
P69、练习 A
AB
10
例3、设E、F、G是正方体相应棱的中点，
•
D
C
A
B
A
24
[ 例 7] 如 图 ， 过 正 方 形 ABCD 的 顶 点 A 作 PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，求平面 PAB和平面PCD所成二面角的大小．
补形
A
25
例8、ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝900 SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝0.5． （1）求SC与平面ASD所成的角余弦； （2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦
D1DBB1垂直吗？
A
23
例5、 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1
探究: (1)A1C与面AB1D1的交点M如何确定？
(2)A1C 面AB1D1吗？
(3)猜想M是三角形AB1D1的什么心？
D1
C1(4)如何求A1到面AB1D1的距离？
A1
B1 (5)M是A1C上的什么分点？
•
M
(6)求证：面AD1B1//面C1BD
B1 B
？ ∠A O B
∠A1O1B1
l
O1 O
A A1
范围 [0°，180A °]
5
9
直二面角
面面垂直课件
3 60
E
B
0
a
A
例 • 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、
B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
能力·思维·方法
例.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二 面角α的度数. A A1
∠A O B
B1 B
？
l
O1
∠A1O1B1 平面角是直角的二面角 叫做直二面角
A A1
O
9
⑵二面角的平面角的取 值范围是 [0 ,180 ]
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
注意：
A
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
。
C
B
D
E
即AB⊥BE ∴AB⊥ β .
又∵CD∩BE=B，
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必 在第一个平面内.
P
b a b
a
P
c
c
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相 互垂直.
高考数学专题复习：平行、垂直、线面垂直、线面角、二面角知识点及方法总结
高考数学专题突破——空间几何课题1：平行、垂直的证法定理cc∥∥b a ba ∥⇒ ③线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面； ④面面平行的性质定理：一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面； ⑤面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3.面面垂直的证明方法：①面面垂直的定义：两个平面的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直；课题2：平行与垂直常用方法归纳一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1、利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2、利用三角形中位线性质3、利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4、利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5、利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6、利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα α⊥a αab7、利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8、利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1、利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3、利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
7.6二面角与面面垂直
7.6二面角与面面垂直课标要求精细考点素养达成1.理解二面角的概念和面面垂直的定义2.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理3.能运用平面与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题求二面角通过求二面角,培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算素养平面与平面垂直的判定与性质通过平面与平面垂直的判定与性质的应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养平行、垂直关系的综合运用通过平行与垂直关系的综合应用,培养学生的逻辑推理、直观想象素养1.(2024·江苏期初调研)设m,n,l是三条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,有下列命题中,真命题为( ).A.若m⊥n,n⊥l,则m⊥lB.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γC.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α2.(对接教材)如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面有对.3.(对接教材)如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中:(1)二面角D'ABD的大小为 .(2)二面角A'ABD的大小为 .4.(易错自纠)(多选)如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则结论正确的是( ).A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°5.(真题演练)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( ).A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D求二面角典例1如图,在四棱锥PABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,BC=PC,E是PB的中点.(1)求证:PB⊥平面EAC.(2)求二面角PACE的大小.综合法求二面角的方法1.定义法:步骤是“一作、二证、三求”.(1)一作:作出二面角的平面角.(2)二证:证明所作的平面角满足定义,即为所求二面角的平面角.(3)三求:将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小.注:作二面角的平面角的点拨.①定义法:分别在两个半平面内向棱作垂线,垂足为同一点,求两线的夹角.②垂面法:作垂直于棱的一个垂面,这个平面与两个半平面分别有一条交线,求两条交线所成的角.③三垂线法:过一个半平面内的一点A作另一个半平面的一条垂线,过垂足B作棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB或其补角即为二面角的平面角.2.面积法:若二面角一个面上的几何图形的面积为S,其在另一个面上的投影的面积为S',则二面角的余弦值cosα=S'S(客观题).训练1(2023·全国乙卷理)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角CABD为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( ).A.15B.√25C.√35D.25平面与平面垂直的判定与性质典例2如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1BB1C1C的高.1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法:①面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质的应用(1)证明线面垂直,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.训练2已知三棱锥PABC(如图1)的展开图如图2,其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形.求证:平面PAC⊥平面ABC.图1 图2平行、垂直关系的综合运用典例3(2023·宿迁第二学期市统测)如图,在三棱台ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C⊥底面ABC,且BB1=B1C1=C1C=1,BC=2,底面△ABC为正三角形.(1)求三棱台ABCA1B1C1的体积.(2)过点B1作平面B1DE平行于平面AA1C1C,分别交BC,AB,A1B于点D,E,F.求证:B1E⊥平面A1BC.1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直,那么一般要用性质定理,先在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.线面平行与垂直关系的相互转化:训练3如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.投影法求二面角典例如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是菱形,其中∠BAD=60°,平面PAD⊥平面ABCD,其中△PAD为等边三角形,AB=4,M为棱PD的中点.求异面直线PB与AM所成角的余弦值.训练如图,在五面体ABCDFE中,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面CDFE,CD∥EF,DF⊥EF,EF=2CD=2,DF=2.求二面角ACEF的正弦值.一、单选题1.已知平面α,β和直线m,l,则下列命题正确的是( ).A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β2.已知两个平面垂直,则下列结论正确的是( ).A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D.若过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为( ).A.1B.2C.3D.44.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角AB1D1A1的正切值为( ).A.√22 B.√22C.√2D.√2二、多选题5.如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列结论正确的是( ).A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC6.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角PACO为45°,则( ).A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为4√3πC.AC=2√2D.△PAC的面积为√3三、填空题7.m,n表示直线,α,β,γ表示平面,给出下列结论:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β; ②若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;③若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β; ④若α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m.其中正确的是.(填序号)8.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=√2,则平面PAB与平面ABCD的夹角为.四、解答题9.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥PBCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥PBCDE的体积;(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE.10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=√3,AD=CD=1,∠ADC=120°,M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=1PB.4(1)求证:MN∥平面PDC.(2)在线段BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.11.(2024·广东湛江期初改编)已知正方体ABCDA1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上,P为该球面上一动点,当平面PAA1⊥平面CB1D1时,点P的轨迹长度为.12.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若,则该五AB=25 m,BC=AD=10 m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145面体的所有棱长之和为( ).A.102 mB.112 mC.117 mD.125 m。
二面角
二面角知识点:1.线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行符号表示:2.面面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号表示:3.二面角的平面角的定义：以二面角的棱上作意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所形成的角就叫二面角的平面角。
三个特征：1。
过棱上任一点（O ∈a ）2。
分别在两个半平面内作射线（OA α⊂，OB β⊂） 3。
射线垂直于棱（OA ⊥a ，OB ⊥a ）4．常见的作二面角的平面角的方法 （１）定义法：在二面角的棱a 上任取一点Ｏ为端点，在面α、β内分别引垂直于棱a 的射线ＯＡ、ＯＢ，则∠ＡＯＢ就是二面角的平面角。
（２）作垂直面法：过二面角的棱上任一点Ｏ，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂直面），平面γ与平面α、β分别交于ＯＡ、ＯＢ，则∠ＡＯＢ就是二面角的平面角。
（３）三垂线定理法：在二面角α－a －β的面α内任取一点Ａ，过点Ａ分别作棱a 的垂线ＡＯ，作面β的垂线ＡＢ，连ＯＢ；或过Ａ作ＡＢ⊥β，过Ｂ作ＢＯ⊥a ，连ＡＯ，则∠ＡＯＢ就是二面角的平面角。
aOA Bα βＯＡＢαβ γＯ BA α βa例题解析:例1．在︒30的二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离为a ，则它到棱的距离为（ ）A ．2aB ．2aC ．aD ．a练习1:把边长为a 的正方形ABCD 以BD 为轴折叠，使二面角A －BD －Ｃ成︒60角，则Ａ、Ｃ两点距离为（ ） Ａ．a Ｂ．a 5 Ｃ．2a Ｄ．a 22 例2.如图 ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD,则(1)面PAB 与面ABCD(2)面PBC 与面ABCD (3)面PAD 与面PCD (4)面PAC 与面ACD练习2:在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=21AB ，求二面角B-AD-C 的大小。
PCB ACDAABCDA例3、在三棱锥ABC S -中，⊥SA 平面DE BC AB ABC ,,⊥垂直平分SC ,且分别交AC 、SC 于E D 、,又2,===BC a AB SA a. (1)求证:⊥SC 平面BDE (2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小.练习3:锐二面角βα--l 中，AB l A AB AB ,,2,∈=⊂α与l 成 45角，与β 成30角，则二面角βα--l 的大小为 .巩固练习:1．下列命题：① 若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ② 平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ；③ 直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β； ④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β．其中正确命题是2．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为 （ ）（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β （C ）过点P 且垂直于β的直线在α内 （D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内 3．E 是正方形ABCD 的边BC 的中点，沿BD 将△ABD 折起，使之成为直二面角，则∠AEB ＝ ．4如图，P 是边长为a 的正方形ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA ＝AB ．（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点D 到平面PCE 的距离．SECDA5.如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.6.矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A ′落在BC 上，求二面角A-BD-C 的大小的余弦值．7.如图：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90，PA=PB ，PC=PD.（1）证明平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）如果CD=AD+BC ，二面角P —BC —A 等于60°，求二面角P —CD —A 的大小．_ D _ P_ C _ B _ A。
面面垂直的性质
D
,
, CD 思考4:一般地， AB , AB CD ,垂足为B，那么直 的位置关系如何？为 线AB与平面 什么？
CD, AB , AB CD,
β E D B C A
α
定理 若两个平面互相垂直，则在 一个平面内垂直交线的直线与另一 个平面垂直. 上述定理通常叫做两平面垂直的性 质定理 l , m, l m
α l m
l .
β
ห้องสมุดไป่ตู้
思考1:若α ⊥β ，过平面α 内一点A作平 面β 的垂线a，那么a与α 什么位置关 系？.
α A
β
思考2:对于三个平面α 、β 、γ ， l ，那 如果α ⊥γ ，β ⊥γ ， 么直线l与平面γ 的位置关系如何？ 为什么？
l
α γ β
已知： ， ， ＝l
求证： l
l
α b
β
a
γ
思考3:若一个平面与另一个平面的垂线 平行，那么这两个平面是什么位置关系？
α
l
β
已知： l ，l ∥ 求证：
例1 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2，BC 2 ，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
3、平面与平面垂直的性质定理：
l b bl
b
4、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直； 面面垂直→线面垂直
5、线线、线面、面面之间的关系的转化 是解决空间图形问题的重要思想方法。
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
11.4.2 平面与平面垂直
11.4.2 平面与平面垂直在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1．二面角棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.2.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理(4)面面垂直的性质定理思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示] 相交或平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．( )(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．( )(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．( )[提示] (1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案] (1)√(2)×(3)×2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB [A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B 正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.所以∠C1OC＝30°.]【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．[思路探究] 求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解] 因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.所以二面角BA1C1B1的正切值为.平面与平面垂直的证明【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC．(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角．②证明这个平面角是直角．③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面BDE⊥平面PBC．[证明] (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC．又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[思路探究](1)―→―→(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直．(2)证明直线与直线平行．(3)作平面的垂线．2．应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．3．如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．[证明] 因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA．又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC．因为VA⊂平面VAC，所以平面VBC⊥平面VAC．垂直关系的综合应[探究问题]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD 吗？[提示] 因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，因为AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD．2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．[提示] 连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．【例4】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC 于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究] (1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明] (1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因为BC∥AD，所以MN∥BC．又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．所以MN∥BC且MN＝BC，又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四边形DENM为平行四边形．所以EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．所以EN∥平面PDC．(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD．又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，所以AD⊥PB．又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB．且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC．所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC．[证明] (1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．知识：1．二面角构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．方法：1．求二面角大小的一般方法(1)定义法；(2)垂线法．2．判定或证明面面垂直的一般方法(1)定义法，即计算二面角的平面角为90°；(2)利用面面垂直的判定定理证明．1．(多选题)下列说法正确的是( )A．两个相交平面组成的图形称为二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系BD [由二面角的定义，可知A说法不正确，D说法正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知B正确．对于C，如图，平面α，β，γ两两垂直，过β，γ的交线m作可绕m旋转的半平面λ，显然二面角αlβ的两个半平面α，β分别垂直于γmλ的两个半平面λ，γ，但二面角γmλ的大小无法确定，故C说法不正确．故选BD．]2．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]3．已知A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝，点A到l的距离为2，则二面角αlβ的平面角的大小为________．60°[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由AB⊥β，知△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．易得sin∠ACB＝，因此∠ACB＝60°，即二面角αlβ的平面角的大小是60°.]4．如图所示，在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠DAB ＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a.求证：(1)平面SAB⊥平面SAD；(2)CD⊥平面SAC．[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥SA．又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD．∵SA∩AD＝A，∴AB⊥平面SAD．又AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．(2)取AD的中点E，连接CE(图略)．∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2a，BC＝a，E是AD的中点，∴四边形ABCE是矩形，CE＝AB＝a，DE＝a，∴CD＝a.在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝2a，∴AC2＋CD2＝AD2，即CD⊥AC．又∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA．又SA∩AC＝A，∴CD⊥平面SAC．11.4.2 平面与平面垂直在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1．二面角棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.2.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理(4)面面垂直的性质定理思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示] 相交或平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．( )(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．( )(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．( )[提示] (1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案] (1)√(2)×(3)×2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB [A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.所以∠C1OC＝30°.]【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．[思路探究] 求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解] 因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.所以二面角BA1C1B1的正切值为.平面与平面垂直的证明【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C，所以DC⊥平面PAC．(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．证明面面垂直的两个方法及实质(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角．②证明这个平面角是直角．③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC 的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面BDE⊥平面PBC．[证明] (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC 的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC．又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．面面垂直性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[思路探究](1)―→―→(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用(1)证明直线与平面垂直．(2)证明直线与直线平行．(3)作平面的垂线．2．应用性质定理证线面垂直的关键一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．3．如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．[证明] 因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA．又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC．因为VA⊂平面VAC，所以平面VBC⊥平面VAC．垂直关系的综合应用[探究问题]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？[提示] 因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，因为AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD．2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD ＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．[提示] 连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．【例4】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究] (1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明] (1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因为BC∥AD，所以MN∥BC．又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．所以MN∥BC且MN＝BC，又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四边形DENM为平行四边形．所以EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．所以EN∥平面PDC．(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD．又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，所以AD⊥PB．又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB．且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC．所以平面PBC⊥平面ADMN.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC．[证明] (1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．知识：1．二面角构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．3．垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．方法：1．求二面角大小的一般方法(1)定义法；(2)垂线法．2．判定或证明面面垂直的一般方法(1)定义法，即计算二面角的平面角为90°；(2)利用面面垂直的判定定理证明．1．(多选题)下列说法正确的是( )A．两个相交平面组成的图形称为二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系BD [由二面角的定义，可知A说法不正确，D说法正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知B正确．对于C，如图，平面α，β，γ两两垂直，过β，γ的交线m作可绕m旋转的半平面λ，显然二面角αlβ的两个半平面α，β分别垂直于γmλ的两个半平面λ，γ，但二面角γmλ的大小无法确定，故C说法不正确．故选BD．]2．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]3．已知A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝，点A到l的距离为2，则二面角αlβ的平面角的大小为________．60°[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由AB⊥β，知△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．易得sin∠ACB＝，因此∠ACB＝60°，即二面角αlβ的平面角的大小是60°.]4．如图所示，在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC ＝a，AD＝2a.求证：(1)平面SAB⊥平面SAD；(2)CD⊥平面SAC．[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥SA．又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD．∵SA∩AD＝A，∴AB⊥平面SAD．又AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．(2)取AD的中点E，连接CE(图略)．∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2a，BC＝a，E是AD的中点，∴四边形ABCE是矩形，CE＝AB＝a，DE＝a，∴CD＝a.在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝2a，∴AC2＋CD2＝AD2，即CD⊥AC．又∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA．又SA∩AC＝A，∴CD⊥平面SAC．。
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1、经典图形
P A C B
2、充分利用题目条件找线线垂 直 再 线面垂直 线线垂直 面面垂直
二面角和面面垂直
教学目标：掌握判定定理，并会应用 培养空间想象能力，推理能力
教学难点：判定定理及其综合应用
1、问题：一条直线可以把一个平面分成多少部分？
2部分 2、观察一下 从一条直线出发的两个半平面所组成的的图形叫二面角. 二面角的棱、二面角的面，记作： 每一部分都叫做半平面
a
在棱上取点O，分别在两个半平面上作垂直于a的的直线 OA、OB，把 AOB 叫二面角的平面角。
若AOB 90 , 此时二面角为直二面角
0
面面垂直：两个相交的平面所成的二面角是直二面角， 就说两个平面互相垂直.
定理6.2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那 么两个平面垂直。 面内 条件 垂直 找一条垂直直线 关键：
A
若AB , AB , 则 .
简述为：线面垂直 面面垂直
B
思考：如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ，P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC， 问：四面体PABC中有几个直角三角形？并 证明之. P C 答案：四个面 都是直角三角 形 A B
例：如图AB为⊙O的直径，⊙O所在平 面为α，PA⊥ α于A，C为⊙O上一点， 求证：平面PAC ⊥平面PBC 分析：在一 P 个平面内找 一条直线垂 直另一个平 C 面 A B —可证 O α BC⊥AC，