最新高一下学期期中考试数学试题含答案

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数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B = A ．{}11x x -<<B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或
2．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =
A
．
．
D
．3．已知向量()()1331a b =-=-，
，，，则a 与b 夹角的大小为 A ．6π
B ．
2
πC ．23πD ．56
π
4．设等比数列{}n a 的公比2q
，前n 项和为n S ，则
5
2S a =
A ．2
B ．4
C ．172
D ．31
2
5．在ABC 中，2BD DC =，则AD =
A ．1233A
B A
C -B ．1233AB AC +C ．2133AB AC -
D ．2133
AB AC +
6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b += A ．3B ．6C ．7D ．8
7．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =
A ．3
πB ．23
πC ．34
πD ．56π
8．已知向量()3,1a =，(3,3
b =-，则向量b 在向量a 方向上的投影为
A ．
B ．-1D ．1
9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，
c 依次成等差
ABC 的形状为 A ．等边三角形B ．等腰直角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角边不相等的直角三角形
10．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，
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()3f x x =，则52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A ．278-
B ．278
C ．18
D ．1
8-
11．若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
且sin 5α=
,(
)sin 10
αβ-=-,则sin β= A
．
10B
．2
C ．12
D ．110
12．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫=+> ⎪
⎝
⎭，若()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为
A ．12
B ．2
3C ．34
D ．1
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知sin 2sin αα=，0,2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则tan α=________． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则n S 的最小值为______． 15．设数列{}n a 满足12
26a a ==，，且211
22n n n n n a a a b a ，++-+==，则数列{}n b 的前n 项
和n S =_______________.
16．在直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P
的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP 的坐标为________．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，
（Ⅰ）若AC AB BD λ+=，求实数λ的值； （Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅的值
18．（12分）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*
n S n N ∈。

{}n b 是等
差数列，已知2433315732,4,,3a a a a b b a b b ==+=+=+。

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n S b +的前n 项和为()*
n T n N ∈，求n T 。

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19．（12
分）已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域．
20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
12
n n n S +=，*n N ∈. （Ⅰ）求证：数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11
n n n b a a +=，12
n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .
21．（12分）设{}n a 是一个公比为q 的等比数列，且14a ，23a ，32a 成等差数列. （Ⅰ）求q ；
（Ⅱ）若数列{}n a 前4项的和415S =，令2n n b na =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（12分）已知函数
6
()4f x x x
=-+． （Ⅰ）若不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数()()
22222
log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+恰好有三个零点，求b 的值及该
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函数的零点．
参考答案
1．A2．A3．D4．D5．B6．D7．B8．A9．A10．D11．B12．B
13
．10-15．1
n
n +16．(1sin1,1cos1)--
17．（Ⅰ）因为AC AB BD λ+=，所以AD DC AB BA AD λ++=+,1 03
AB AB AB λ++=, 因此43
λ=-，
（Ⅱ）()()()()()2
2
2
2
2
·
·······3?3 3.
AC BD AD DC BC CD AD CD DC BC CD AD BC CD CD AB BC CD BC CD CD CD CD CD CD CD =++=+-=--=++--=-+-=-=-
18．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，
∵22a =，∴22
432244202a a a q a q q q q =+⇒=+⇒--=⇒=或1q =-（舍）
∴2
122n n n a a q
--=⋅=
由3311157
3121
3341,a b b b d b a b b b d d =++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=++==⎩⎩⎩，∴()111n b n n =+-⨯=
∴{}n a 的通项公式为1
2n
n
a ，{}n
b 的通项公式为n b n =
（2）∵()11121121222112
n n n n n S a a a -⨯-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=
=--
∴21n
n n S b n +=+-
∴()()21
212012212
22
n n n n n n n T +-+--=
+=-+
- 19．
(1) 1
()2cos 2sin 22f x x x x ⎫=--⎪⎪⎭
1sin 2cos 222
x x =-sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， T π
=；
(2)
4
4
x π
π
-
≤≤
，∴52636
πππ
-
≤-≤x ，∴11sin 232
x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的值域为11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
20．解：（1）∵()
12
n n n S +=
，当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()1122
n n n n +-=-n =， ∴n a n =，*n N ∈； （2）∵11n n n b a a +=
()11n n =+111n n =-
+，
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∴11111122334n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝
=⎭⎝⎭⎭
11...1n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭111n =-
+1
n
n =+． 21．（1）因为{}n a 是一个公比为q 的等比数列，所以1
1n n a a q -=.
因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+即2
320q q -+=.
解得2q ，1q =.
（2）①若2q ，又它的前
4和415s =，得
()411151a q q
-=-，解得11a =
所以1
2n
n
a ，因为22n
n n b na n ==⋅，（n *∈N ），
∴23
1222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯，
()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
∴23
122222n n n T n +-=+++
+-⋅，
∴()111
22212212n n n n T n n +++⎛⎫-=--⋅=-⋅+ ⎪-⎝⎭
②若1q =，又它的前4和415s =，即1415a =，1154
a ∴=
因为2n n b na =，（n *∈N ），所以()()15
15
12312
4
n T n n n =
++++=
+. 22．（1）令ln t x =,由21,1e x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
可得[)2,0t ∈- 则不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上恒成立,可化为()0f t at -≥在[)2,0t ∈-上恒成立
即640t at t -+-≥,变形可得2641a t t ≥-++所以2115633
a t ⎛⎫
≥--+ ⎪⎝⎭
因为[)2,0t ∈-,则11,2t ⎛⎤
∈-∞- ⎥⎝⎦
所以根据二次函数的图像与性质可知 实数a 满足22max
115115566332332a t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≥--+=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 所以实数a 的范围为52
a ≥-
（2）令()2
2log 4m x =+,则由对数的性质可知2m ≥
函数()()22222
log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+的三个零点需满足0y = 所以()()22222log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅-=⎣⎦+,化简可得()290f m b m
+⋅-= 即62490b m m m
-
++-= 化简可得
2526
0m m
m b -+-= 因为()()
22222
log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅-=⎣⎦+恰好有三个实数根 则必有一根为0x =（否则根据函数的对称性可知会有四个根） 即()2log 042m =+=
代入方程
2526
0m m
m b -+-=可解得6b =
11 / 11 则方程可化为2560m
m m -+=,解方程可得2m =或3m = 当3m =时,即()22log 43x +=,解得2x =±综上可知,6b =,函数的三个零点分别为0,2,2-。