江苏省徐州市2020-2021学年高二上学期期中数学试题 (含答案)

2020~2021学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题
本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在名题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳索笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后.将本试卷和答题卡井交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p的否定为
A.∀n∈N，n2>2n
B.∃n∈N，n2≤2n
C.∃n∈N，n2=2n
D.∀n∈N，n2≤2n
2.下列结论正确的是
A.若a>b，c>d，则a-c>b-d
B.若a>b，c>0，则ac>bc
C.若ac>bc，则a>b
D.<a>b
3.已知a∈R，则“a>1”是“1
1
a
<”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =
A.16
B.-16
C.20
D.16或-16
5.若不等式2
10x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是
A.[2，+∞)
B.(-0，-2]
C.[-2，2]
D.(-o ，-2]∪[2，+∞)
6.在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=
A.2019
B.4040
C.2020
D.4038 7.正数a ，b 的等差中项是12，且1a a α=+，1b b
β=+，则αβ+的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6
8.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为Fn 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是( )位数(参考数据：lg2≈0.3010).
A.8
B.9
C.10
D.11
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.
9.下列各结论中正确的是
A.“xy >0”是“0x y
>”的充要条件
2
C.若a <b <0，则11a b
> D.若公比q 不为1的等比数列{}n a 的前n 和n S Aq B =+，则A+B=0
10.已知S n 是等差数列{}n a (n∈N*)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有
A.数列{}n a 的公差d<0
B.数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C.S 10>0
D.S 11>0
11.已知a ∈Z 关于x 的一元二次不等式2
80x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是
A.12
B.13
C.14
D.15 12.设a >0，b >0，称2ab a b +为a ，b 的调和平均数，22
2
a b +为a ，b 的平方平均数，如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，BC=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，
AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，取弧AB 的中点F ，连接FC ，则正确的是
A.BD 的长度是a ，b 的算术平均数
B.OE 的长度是a ，b 的调和平均数
C.CD 的长度是a ，b 的几何平均数
D.FC 长度是a ，b 的平方平均数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.数列{}n a 的通项公式为cos 2
n n a π=，则它的第5项5a =___________. 14.不等式1204
x x -≤+的解集是___________. 15.在疫情防控期间，某医院一次性收治新冠患者127人，在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有1名患者治愈出院如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为________人，第__________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院。

16.若a >0，b >0，且11121
a b b +≤++，则2a +3b 的最小值为__________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
(1)已知集合M={x |x 2-3x -28≤0}，N={x|x 2-x -2>0}，求M∩N ；
(2)己知不等式2
10ax bx +->的解集是{x |3<x <4}，求实数a ，b 的值.
18.(本题满分12分)
在∈3a =5，2526a a b +=；∈22b =，3333a a b +=；
∈39S =，4528a a b +=.三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列{}n a 的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d =q ，___________；求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.
19.(本题满分12分)
已知p ：254x x ≤-，q ：2(2)20x a x a -++≤.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
20.(本题满分12分)
如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，
造价为80元/m 2.
(1)设总造价为S(单位：元)，AD 长为x (单位：m)，求出S 关于x 的函数关系式；.
(2)当AD 长取何值时，总造价S 最小，并求这个最小值.
21.(本题满分12分)
已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且22n n n S a a =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若不等式213222()n n S M n a a ++≤+(n∈N*)恒成立，求M 的最小值.
22.(本题满分12分)
已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.
(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)记{}n a 的前n 项和为Sn ，求证：221n n n S S S ++<(n∈N*)；n 为奇数，
(3)对任意正整数n ，设211
(32),n n n n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和.
2020～2021学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题参考答案
一、单项选择题：
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.B
7.C
8.C
二、多项选择题：
9.ACD 10.AC 11.BCD 12.CD
三、填空题：
13.12- 14.()1,4,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
15.16 21 16.1 四、解答题：
17.(1)M=[-4，7]…………2分
N=(-∞，-1)∪(2，+∞]……………3分
M ∩N=[-4，-1)∪(2，7]……………5分
(2)112a =-，712
b =……………10分
18.方案一：选条件∈
(1)35a =，2526a a b +=；11a b =，d q =，1d >…………………………2分 ∴11125256a d a d a d
+=⎧⎨+=⎩
解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512
a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) ∴112
b q =⎧⎨=⎩
…………10分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-，1112n n n b b q --==…………12分
方案二：选条件∈
(1)22b =，3333a a b +=，11a b =，d q =，1d >…………………………2分 ∴1211
2253a d a d a d =⎧⎨+=⎩ ∴11
2256a d a d d =⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨
=⎩或112a d =-⎧⎨=⎩(舍去) ∴112
b q =⎧⎨=⎩………………………10分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-，1112n n n b b q --==……………12分
方案三：选条件∈
39S =，4528a a b +=，11a b =，d q =，1d >…………………………2分
∴111
2278a d a d a d =⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去) ∴112b q =⎧⎨=⎩
………………………8分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-，1112n n n b b q --==…………12分
19.【解析】p 对应的集合为{}
14A x x =≤≤，
设q 对应的集合为B.
由2(2)20x a x a -++≤得(2)()0x x a --≤.……………………2分
当2a =时，不等式的解为2x =，对应的解集为{}2B = 当2a >时，不等式的解为2x a ≤≤，对应的解集为{
}2B x x a =≤≤ 当2a <时，不等式的解为2a x ≤≤，对应的解集为{}2B x a x =≤≤…………6分
若p 是q 的必要不充分条件，则B A ⊆…………8分
当2a =时，满足条件；
当2a >时，因为{}14A x x =≤≤，{}
2B x x a =≤≤，则满足24a <≤； 当2a <时，因为{}14A x x =≤≤，{}
2B x a x =≤≤，则满足12a ≤<； 综上，实数a 的取值范围为{}
14a a ≤≤…………12分 20.解：(1)设DQ y =，AD x =则，所以2
4200x xy +=所以，2
2004x y x -=………3分
所以221420021048042
S x xy y =+⨯+⨯⨯
2240000038004000(0x x x
=++<<………8分 注：丢失定义域扣1分
(2)因为22
40000038004000S x x =++
3800118000(0x ≥+=<<………10分
当且仅当2
24000004000x x =，即x =时，min 11800S =(元)………11分
答：当AD 11800元.………12分
21.解：(1)当2n ≥时，由题得2211122n n n n n n S S a a a a ----=-++
22112n n n n n a a a a a --=-++
2211()0n n n n a a a a ----+=
11()(1)0n n n n a a a a --+--=
因为{}n a 是正项数列，所以11n n a a --=…………3分
当1n =时，21112a a a =+，因为10a >，
∴11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即1(1)1n a n n =+-⨯=.…………4分
(2)因为n a n =，所以(1)2
n n n S +=，根据已知条件得，
2(+1(2)2(32)(2)2
n n M n n +≤++）恒成立， 即+1(32)(2)
n M n n ≤++恒成立…………6分 设1t n =+，于是有
2+1131(32)(2)(31)(1)323132n t t n n t t t t t t ===++++++++…...8分 因为函数31y t t =+
在(
上单调递减，在)+∞上单调递增， 又56(5)5f =，6756(6)65
f <…………11分 所以31259326t t ++≥，所以M 的最小值为6259
…………12分 22.(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由11a = 5435()a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由11b =，5434()b b b =-
又0q ≠，可得2
440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．……2分 (2)证明：由(∈)可得(1)2n n n S +=，故11(1)(2)(3)4
n n S S n n n n -=+++， 22211(1)(2)4n S n n +=++，从而2211(1)(2)02
n n n S S S n n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<．…………6分
(3)解：当n 为奇数时，111
2(32)(32)222(2)2n n n n n n n n n a b a c a a n n n n
-+-+--===-++； 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==
对任意的正整数，有222221112221212121k k n
n n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，............8分 和223113521 (4444)
n k n k n c =-=
++++∑ ∈ 由∈得2231113521 (4444)
n k n k n c +=-=+++∑ ∈ 由∈∈得2211121131222112144 (1444444414)
n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 从而得21565994
n
k n k n c =+=
-⨯∑.....................10分 因此2212111465421949n n n
n k k k n k k k n c c c n -===+=+=---⨯∑∑∑ 所以，数列{}n c 的前项和为465421949n n n n +---⨯．…………12分。