10年高考真题汇总—(立体几何高考试题汇编)

立体几何分类汇编
一、异面直线夹角
（2007全国理I）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为
A．
5
1
B．
5
2C．
5
3D．
5
4（2008全国理II）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）
A．
13
B．
23
D．
23
（2009全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为111A B C 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
D.
34
（2009全国理II）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，
E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为
A.
10
B.
15
C.
10
D.
35
（2012全国理I）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，
1160BAA CAA ∠=∠= ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________。

（2013全国理I）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、
1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

（2014全国理II）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠= ，,M N 分别是1111,A B A C 的中点，
1BC CA CC ==，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为（
）
A.1
10
B.2
5
C.
D.
二、线面夹角
（2007全国理II）已知正三棱ABC A B C -111的侧棱长是底面边长相等，则AB 1与侧面
ACC A 1所成角的正弦等于
A.
64
B.
104
C.
22
D.
32
（2008全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）
A．
13
B．
23
C．
33
D．
23
（2010全国理I）正方体1111ABCD A B C D -中,1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A）
23
（B）
33
（C）
23
（D）
63
（2016全国理I）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α 平面11CB D ，α 平面
ABCD m =，α 平面11ABA B n =，则,m n 所成角的正弦值为
A.
32 B.22
C.
33
D.
13
（2007全国理I）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC ∠= ,2,22,3
AB BC SA SB ====（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

三、球
（2007全国理II）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。

如果正四棱柱的
cm.
底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2
（2008全国理II）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）
A．1
B．2
C．3
D．2
（2009全国理I）直三棱柱111ABC A B C -各顶点都在同一球面上.若
12,AB AC AA ===120BAC ∠= ，则此球的表面积等于
.
（2009全国理II）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于
74
π
，则球O 的表面积等于.
（2010全国理I）已知在半径为2的球面上有,,,,A B C D 四点，若2AB CD ==,则四面体
ABCD 的体积的最大值为
A.
3
B.
3
C. D.
3
（2011全国理I）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且
6,AB BC ==
,则棱锥2
3269a a a =的体积为。

（2011全国理II）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为
A.7π
B.9π
C.11π
D.13π
（2012全国理II）已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，
ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（
）
()
A 6
()
B 6
()
C 3
()
D 2
四、体积和距离
（2009全国理I）已知二面角l αβ--为60 ，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到β的距离
，Q 到α的距离为，则,P Q 两点之间距离的最小值为
A.060
B.2
C.
D.4
（2010全国理II）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个
（D）有无数个
（2010全国理II）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A）1
（C）2
（D）3
（2010全国理II）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN =
．
（2011全国理II）已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若2,1,AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于
A.
23
D.1
（2012全国理I）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为
（A）2
32（D）1
（2013全国理I）如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点间的球面距离为（）
A、2arccos
4
R B、
4
R πC、3arccos
3
R D、
3
R π五、三视图
（2011全国理I）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为
中的坐标分别是
（2013全国理II）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以ZOX平面为投影面，则得到的正视图可以为()．
（2014全国理I）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A.62
B.42
C.6
D.4
（2015全国理I）圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何
休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则
r=
（A）1 B.2 C.4 D.8
（2016全国理II）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积
为
（A）20π（B）24π
（C）28π
（D）28π
六、二面角
（2011全国理II）己知点,E F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱11,BB CC 上，且
112,2B E EB CF FC ==，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于
.
C
D
E
A
B
（2007全国理II）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底
面ABCD ，,E F 分别是,AB SC 中点。

（1）求证：EF ∥平面SAD
（2）设2SD CD =，求二面角A EF D --的大小
（2008全国理I）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
2BC =
，CD =，AB AC =．
（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；
（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45 ，求二面角C AD E --的大小．
A
B
C
D
S
E
F
（2008全国理II）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且
EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
（2009全国理I）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，
2, 2.AD DC SD ===点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠= .
(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。

A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
（2009全国理II）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC （I）证明：AB AC
=（II）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

（2010全国理I）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，AB CD ，AD DC ⊥，
1,2,AB AD DC SD ====E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面
SBC .
（Ⅰ）证明：2SE EB =；
（Ⅱ）求二面角A DE C --的大小.
（2010全国理II）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．
（2011全国理I）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四
边形，60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD .(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；
(Ⅱ)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值。

（2011全国理II）如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2, 1.AB BC CD SD ====.
（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥;（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
（2012全国理I）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A PB C --为90 ，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

（2012全国理II）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 的中点，BD
DC ⊥1（1）证明：BC
DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。

（2013全国理I）如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠= ，
60PAB ∠= ，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面ABC 。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

（2013全国理II）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，DE 分别是1,AB BB 的中
点，122
AA AC CB AB ===
(1)证明：1BC 平面1A CD ；
(2)求二面角1D A C E --的正弦值．
（2014全国理I）如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（I）证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角
111A A B C --的余弦值.
（2014全国理II）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（Ⅰ）证明：PB 平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，
1,3AP AD ==AP=1，AD=3，求三棱锥E ACD -的体积.
（2015全国理I）如图，四边形ABCD 是菱形，0
120＝
ABC ∠，,E F
是平面ABCD 同一侧的两点，
ABCD BE 平面⊥，ABCD DF 平面⊥
EC
AE DF BE ⊥，＝2(Ⅰ)证明：AFC AEC 平面平面⊥；(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成有的余弦值。

（2015全国理II）如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，
90ADC ∠=︒且2,2,1CD AD AB PD ====，E 在线段PC 上移动，且PE PC λ=
.
(Ⅰ)当1
3
λ=
时,证明:直线//PA 平面EBD (Ⅱ)是否存在λ,使面EBD 与面PBC 所成二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
（2016全国理I）如图，在已,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，
2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．
P
D C
A
B
（I）证明:平面ABEF EFDC ⊥；（II）求二面角E BC A --的余弦值．
（2016全国理II）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5
4
AE CF ==
，EF 交BD 于点H 将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置
OD '=.
（I）证明：D H '⊥平面ABCD ；（II）求二面角B D A C '--的正弦值.。