流体力学计算题及问题详解

第二章
例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如下列图。

：水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=, z 2=, z 3=m, z 4=m, 水银密度 3
/13600m kg ρ='，水的密度
3/1000m kg ρ= 。

试求水面的相对压强p 0。

解：
a
p z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100
)()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴
例2：用如下列图的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。

该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。

测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ，倾角θ=30∘，试求压强差p 1 – p 2 。

解： 224131)()(p z z γz z γp =-+-- θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴
例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差〔如下列图〕。

两个U 形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接收充以酒精，密度为ρ1 。

如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、
z 4 ，试求压强差p A – p B 。

解： 点1 的压强 ：p A )(21222z z γp p A --=的压强：点
)()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强：点 B A p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224 )()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴
例4：用离心铸造机铸造车轮。

求A-A 面上的液体总压力。

解： C gz r p +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
22
1
ωρ a p gz r p +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∴2
22
1ωρ
在界面A-A 上：Z = - h
a p gh r p +⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∴2221ωρ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-=∴
⎰
2420
218122)(ghR R rdr p p F a R
ωπρπ
例5：在一直径d
= 300mm ，而高度H
=
500mm 的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。

如下列图。

(1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n 1；
(2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n 2，此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少？ 解：(1)由于容器旋转前后，水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变)，有：
在xoz 坐标系中，自由外表1的方程： g
r z 22
20ω=
对于容器边缘上的点，有：
m L z m d
r 4.015.02
0====
)/(67.1815.04
.08.9222
2
s rad r gz =⨯⨯==
∴ω
∵
图
(2)当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一局部，液面为图中2所指。

在
坐标系中：
自由外表2的方程： g
r z 22
20
ω'='
当
m H z m d
r 5.0,15.02
=='==
时 )/(87.2015.05
.08.9222
2
0s rad r z g =⨯⨯='=
'ω
min)/(3.199287
.20602602r π
πωn =⨯='=
∴
这时，有：
mm H
h H
h H 2502
2
22==
∴
=
-∴
例6：：一块平板宽为 B ，长为L,倾角θ，顶端与水面平齐。

求：总压力与作用点。

解：总压力： LB θ
L γA h γF c 2
sin ⋅== 压力中心D ：
方法一：dA θy γy ydF dM sin ==
3
sin sin sin 3
2
2
L B θγBdy y θγdA y θγM L
A
===⎰
⎰
D Fy M = L F M y D 3
2/=
=∴ 方法二： 6
22
12123
L
L BL L BL L A y J y y c cx c D +=+=+=
例7：如图，一平板，长L,宽B,安装于斜壁面上，可绕A 转动。

L,B,L 1,θ。

求：启动平板闸门所需的提升力F 。

解：
BL θL γf sin 2
1
1=
BL θL γf sin 12=2
32cos 21L
f L f FL ⋅+⋅≥∴θ
⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥
∴
21213
2
cos 1
f f F θ
例8：平板A B,可绕A 转动。

长L=2m,宽b=1m,θ=60°，H 1=1.2m,H 2=3m 为保证平板不能自
转，求自重G 。

解： N θH b H γ
F 8153sin 2111== N bL θL γF 169862
sin 2== N
bL θL H γF 24870)sin (23=-=
0232sin 31cos 23211≥-⋅-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+L F L F θH L F θL G
N
G 69954≥∴
例9：与水平面成45°倾角的矩形闸门AB (图1)，宽1m ，左侧水深h 1 = 3m ，右侧水深h 2 = 2m ，试用图解法求作用在闸门上的静水总压力的大小和作用点。

解：如图2所示，作出闸门两侧的静水压强分布图，并将其合成。

)
(943.0414.13
2
32)(93.61414.1)23(8.92
1
)(2112111m AE AD KN b AE h h b P =⨯===⨯⨯-⨯⨯=⋅⋅-=
⋅Ω=γ
图1
)
(71.271828.2)23(8.9)(2122KN b BE h h b P =⨯⨯-⨯=⋅⋅-=⋅Ω=γ
静水总压力：
设合力的作用点D 距A 点的距离为l ，如此由合力矩定理：
()
m P AD P AD P l AD P AD P l P 45.264
.34828
.271.27943.093.622112211=⨯+⨯=⋅+⋅=
∴⋅+⋅=⋅
即，静水总压力的作用点D 距A 点的距离为。

例10：如图，一挡水弧形闸门，宽度为b 〔垂直于黑板〕,圆心角为θ ，半径为R ，水面与绞轴平齐。

试求静水压力的水平分量F x 与铅垂分量F z 。

解： θbR θR γ
F x sin sin 2
1
⋅= 压力体如下列图： ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=θR θR R ππθb γF z cos sin 2122
例11：一球形容器由两个半球铆接而成(如图1所示)，铆钉有n 个，内盛
重度为的液体，求每一铆钉所受的拉力。

解：如图2所示，建立坐标系
取球形容器的上半球面ABC 作为研
究对象，显然由于ABC 在yoz 平面上的两个投影面大小相等、方向相反，故x 方向上的静水总压力
；同理。

即：ABC 仅受铅垂方向的静水总压力
而：
图2
图1
)
3
()32(3
2
)(3421)(223
232R
H R R H R R R H R R R H R R +=-+=-+=⨯-+=ππππππ
故： 方向铅垂向上，即
铆钉受拉力。

每
一
铆
钉
所
受的
拉
力
为
：
第三章
例1：u =－(y+t2)， v =x+t ，w =0。

求t=2，经过点〔0，0〕的流线方程。

解：t=2时， u =－(y+4)， v =x+2， w =0 流线微分方程：
2
)4(+=+-x dy
y dx
c y x =+++∴
22)4(2
1
)2(21 流线过点〔0，0〕 ∴ c=10 流线方程为： (x+2)2+(y+4)2=20
例2：某流场中流速分布为：u = -x ， v = 2y ，w = 5-z 。

求通过点(x,y,z)=(2,4,1)的流线方程。

解： 流线微分方程为：
w dz
v dy u dx == z
dz
y dy x dx -==-∴52
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--==-∴
---=⋅=-
∴
z z d x
dx y y d x dx z z d y y d x dx 5)5(2)2(215)5(2)2(21
由上述两式分别积分，并整理得： ①⎪⎩⎪⎨
⎧=-+=0
5221
c z c x c y x
即流线为曲面1c y x =和平面
的交线。

将
代入①可确
定21c c 和：
图2
2
1421==∴
c c ，
故通过点(2,4,1)的流线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=0
524
z x y x
例3.求小孔出流的流量：
解：如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：
g
V αγp z g V αγp z a 222
11120000++=++
()gh z z g V 22101=-=∴
gh A μA V μQ 21==∴
上式中：A 为小孔的面积，μ A 为1-1断面的面积。

文丘里流量计测定管道中的流量：
解：如图，在1-1与2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：
g
V αγp z g V αγp z 222
222221111++=++ 2211A V A V =由于：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-γp z γp z A A g V 2211212
22212故：
()()()34422311z z γz z γp z z γp -'+-+=-+
又
()()342234221111z z ρργp z z z γγγp z γp z -⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-'++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'++=+
∴
h ρρA A g V ∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴
112212
2
22
()()
2
122121A A h
g ρρV -∆-'
=
∴
22A V μQ =∴
μ：考虑能量损失与其它因素所加的系数。

μ<1。

例5：输气管入口，：ρ’=1000kg/m 3，ρ3，d = 0.4m ，h = 30mm 。

求：Q = ?
解：对0—0和1—1断面列伯努利方程，不计损失，有： g
V αγp z γp z a 22
11110++=+ a p h γp z z α='+==1101,
,
0.1又因为：
s m gh ρ
ρgh γγV /784.21221='
=
'
=∴
s m d πV Q /737.24
32
1==∴
例6：如图，：V 1 、 A 1 、 A 2 ； θ；相对压强p 1 ；且管轴线在水平面内，试确定水
流对弯管的作用力。

解：对1-1与2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：
g
V γp g V γp 222
22211+=+ 2211A V A V Q ==且： 。

和可求出：22p V
在x 方向列动量方程，有： )cos (cos 122211V θV Q ρθA p A p F x -=-+-
)cos (cos 122211V θV Q ρθA p A p F x ---=∴
在y 方向列动量方程，有： θQV ρθA p F y sin sin 222=-
θQV ρθA p F y sin sin 222+=∴
例7：水渠中闸门的宽度 B = 3.4m 。

闸门上、下游水深分别为h 1 = 2.5m, h 2 = 0.8m,求：固定闸门应该施加的水平力F 。

解：对1-1与2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：
g
V γp h g V γp h a a 222
22211++=++ B h V B h V Q 2211==又：
以上两式联解，可得： s m V s m V /095.6,/95.121==
s m B h V Q /575.16311==所以：
在水平方向列动量方程，有： )(22122211V V Q B h h B h h F -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-ργγ
)()(2
122
221V V Q ρh h B γ
F ---=∴。

故：N F 24812=
例8：嵌入支座内的一段输水管，其直径由d 1为变化到d 2为1m(见图1)，当支座前的压强p 1 = 4个工程大气压(相对压强)，流量为3/s 时，试确定渐变段
支座所受的轴向力R ，不计水头损失。

解：由连续性方程知：
)/(29.218.144
)/(02.15.18.144
2
22
22
2
1
1s m d Q
V s m d Q
V =⨯⨯==
=⨯⨯==
ππ
ππ
在1-1与2-2两断面列伯努利方程(不计损失，用相对压强)：
g
V
g V p p g
V p g V p 220
.1202022
21
1
2212
222
2
111
-+
=
∴
==+
+=+
+γ
γαααγ
αγ
取：
)(2
222
112V V ρp p -+
=∴
)
29.202.1(2
1
108.9422-⨯+⨯⨯=
d 2
图1
图2
而 )/(392108.942
1m KN p =⨯⨯= 取控制体如图2建立坐标系xoy 。

KN
P P KN p d P KN P P KN p d P x x 2.306)
(2.3069.3894
147.692)(7.69239245.14222
2222112
12
11-=-=∴=⨯⨯=⋅===∴=⨯⨯=⋅=
ππππ
)/(29.2);/(02.12211s m V V s m V V x x ====
显然，支座对水流的作用力
的作用线应与x 轴平行。

设
的方向如图2所示：
R R x
'-=' 在x 轴方向列动量方程：
)
02.129.2(8.112.3067.692)(,0.1122112-⨯⨯='---='++==R V V Q ρR P P ββx x x x x ：
即则：：取
根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R 与
大小相等，方向相反 (R 的方向水平向右)。

例9：如下列图一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径R = 25cm ，喷嘴直径d = 1cm ，喷嘴倾角45°，假如总流量。

求：
(1)不计摩擦时的最大旋转角速度。

(2)假如旋臂以
作匀速转动，求此时
的摩擦阻力矩M 与旋臂的功率。

解：每个喷嘴的流量： s l Q
Q /28.02
==
' (1)显然，喷嘴喷水时，水流对洒水器有还击力的作用，在不计磨擦力的情况下，要维持洒水器为等速旋转，此还击力对转轴的力矩必须为零。

即要求喷水的绝对速度方向为径向，亦即喷水绝对速度的切向分量应为零。

故： 0sin =-u V
α
式中V 为喷水相对速度， )/(565.301.01028.0444
2
322
s m d Q d Q V =⨯⨯⨯='='
=
-πππ
为园周速度： ω⋅=R u
图
52.245sin 565.3sin =⨯==∴°αω
V R )/(08.1025
.052
.2sin s rad R V ===
∴αω 故，不计摩擦时的最大旋转角速度为。

〔2〕当时，洒水器喷嘴局部所喷出的水流绝对速度的切向分量为：
列动量矩方程，求喷嘴对控制体作用的力矩：
m
N m KN R
u V Q R u V Q M ⋅=⋅⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=--'='--18.0)(1018.025.0)525.045sin 565.3(1056.01)sin (0)sin (23
3
°αραρ
由于匀速转动，故：M M '= 此时旋臂的功率为：
)(9.0518.0W M P =⨯=⋅=ω。

第四章
例1：有一虹吸管，：d = 0.1m, h WAC =2.12m ，h WCB =3.51m,h=6.2m,H=4.85m 。

求：Q=? p a
–p c = ?
解：1).对水池液面和管道出口断面列伯努利方程，有：
wACB a
a
h g
V p p h ++
=
+
22
αγ
γ
s m h h g V wACB /344.3)(2=-=∴。

s m VA Q /02626.03==∴
2).对水池液面和管道C 断面列伯努利方程，有：
wAC c
a
h g
V p H p ++
+
=22
αγ
γ
m h g
V H p p wAC c
a 54.722
=++=-γ
Pa p p c a 73946=-∴
例2：圆截面输油管道::L=1000m ，d=0.15m, p 1-p 2×106
Pa, ρ=920kg/m 3
, ν= 4×10-4m 2/s ，试求流量Q 。

解: ).(368.0s Pa ==ρνμ
在两断面间列伯努利方程，有： g
p p p p h f ργ
2
12
1-=
-=
假设流态为层流， 2
020max 882:
r l
h r J u V f μγμγ===则
)/(448.182
021s m r l p p V =-=∴
μ
691Re ==
ν
Vd
又
故假设成立。

)/(0326.04
32
s m d V Q =⋅
=∴
π
例3：测量动力粘度的装置。

:L =2m,d=0.006m, Q=7.7×10-6m 3/s ，h=0.3m ，ρ=900kg/m 3, ρ’=13600kg/m 3。

试求动力粘度μ。

解：假设流态为层流 s m A
Q V /27233.0==
Pa gh ρρp p 7.37364)(21=-'=-由于：
36.322221221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∴==-V g
l d p p g
V d l h p p f γλλ
γ而：
05.1964
Re ==∴λ 假设成立。

μ
Vd
ρ=
Re
s Pa Vd
ρμ⋅==
∴0772.0Re
例4：水管：d=0.2m, Δ=0.2mm,。

s m ν/105.126-⨯=。

，，s m s m s m Q /4.0/02.0/1053333-⨯= 求沿程损失系数λ。

解：
001.0=∆d 。

s m s m s m A
Q
V /732.12,/6366.0,/1529.0== 。

6441070.1,1049.8,1012.2Re ⨯⨯⨯==ν
Vd
0198.0,0225.0,028.0=λ查得：
例5
应为多少？。

求已知：水管，d
m h s m s m Q m d m l f ∆=====-3,/10,/055.0,3.0,1000263ν
解： s m A Q V /7781.0==
510334.2Re ⨯==ν
Vd m g
V d l λh f 322==又因为：
02915.0=∴
λ
0045.0=∆
d
查得：
例6：新铸铁管道，Δ=0.25mm ，L =40m ，d=0.075m ，水温10℃3/s ，求h f
解：查表1—1， ν×10-6m 2/s
s m d
πQ
V /6411.142
==
93954Re ==
∴ν
Vd
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛+∆-=⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛+∆-=λλλλRe 51.27.3ln 8686.01
Re 51.27.3log 21
d d cx
b c
a
1(x )f 0cx )aln(b x f(x ):Re 51
.2,10009.97.3,8686.0,1x :'4++==++==
⨯=∆===
-，则令c d b a λ。

，经迭代得因此设初值为设9495922.5:77.5,77.51,
03.0:0====x x λ
λ
0282504.0=∴
λ 。

m g
V d λh f 07.222
==∴
例7：：d 1=0.2m,L 1=1.2m,d 2=0.3m,L 2=3m,h 1=0.08m, h 2 =0.162m, h 33
/s 求：ζ
解： s m A Q
V s m A Q V /85.0/91.12
211====如图：
g V d l λ
g V γp z g V γp z 2222
22223332222+++=++ m h h γ
p p g V d l λ01.02323
22222=-=-=∴
02722.0=∴
λ
g
V ζd l λg V γp Z g V γp Z 2222221
22222111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++ m g
V d l λg V V h h g V ζ0632.02222
22122212122=--+-=∴
716.1=∴
ζ
例8：水箱用隔板分成A 、B 两室如下列图，隔板上开一孔口，其直径d 1=4cm ，在B 室底部装有园柱形外管嘴，其直径d 2=3cm 。

H=3m ，h 3，μ孔=0.62，μ嘴=0.82，水恒定出流。

试求：(1)h 1，h 2；(2)流出水箱的流量Q 。

解：显然，要箱中水恒定出流，即h 1，h 2保持不变，如此必有：
而
为孔口淹没出流流量，
为管嘴出流流量，分别有：
3
213221232211000738.0000992.0)(203.04
82.0204.0462.0)
(22h h h h h g π
gh πh h g A μgh A μ+=+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯∴
+=∴即：嘴孔
807.113
2=+∴
h h h ① )(5.25.03321m h H h h =-=-=+又
②
①、②联立，解得：。

水箱出流量：
例9：：L 1= 300m ，L 2= 400m ，d 1=0.2m ，d 2=0.18m ，λ1=0.028，λ2=0.03，阀门处ζ=5,其余各处局部水头损失忽略不计，ΔH=5.82m 。

求:Q=?
解：在1-1与2-2断面列伯努利方程，有：
g V ζd l λg V d l λγp z γp z a a 222222
22111121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=+ 2211A V A V Q ==又：
g V d l A A d l g V g V d l g V d l z z H 222.992222
22222
1211122222222111121=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=∆∴
ζλλζλλ
s m V /073.12=∴。

s m A V Q /0273.0322==∴
例10：水泵抽水，如图。

： =10m ，L=150m ，H=10m ，，3
/s ，λ=0.03, p 1-p 2 < 58KPa ，不计局部损失。

求：h=?，P=?
解： s m A Q
V /146.12
2==
对1-1和2-2断面列伯努利方程，有：g
V d l λg V αγp z γp z a 222
222221+++=+ m g V d l λγp p z z h a 75.5212
2212<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=-=∴
对1-1和3-3断面列伯努利方程，有： w m h z H z +++=+++000031
w w m h H h z z H +=+-=∴13
m g
V d L l λh w 6068.122
2=+=而：
故，水泵的有效功率为： W h H Q γQH γP w m 4098)(=+==
例11：
： 1 2 3 4 5 L(m) 1500 800 600 700 1000 d(m ) 0.25 0.15
且：H=10m,l=0.025；不计局部损失。

求各管流量。

解：如图，有： 521f f f h h h H ++= 432f f f h h h ==
2
224212⎪⎭
⎫ ⎝⎛==d πQ g d l λg V d l λh f
5
4
2
444532333522222d Q l λd Q l λd Q l λ==∴
069.1,661.05
2444222
4
5
2333222
3=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴
d d l λl λQ Q d d l λl λQ Q 又：43251Q Q Q Q Q Q ++=== 故：
()224232173.2//1Q Q Q Q Q Q Q =++=
()12
155
51
11552
125
2
1
112
21151215212986.21//1f f f f f f f f f f h Q Q d d l l Q Q d d l l
h h h h h h h h h H =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=++=∴
λλλλ m H
h f 3505.42986
.21==
∴
m g
V d l λh f 3505.422
11111==又由：
s m V /7542.01=可得：
s
m Q Q s m Q Q s m Q Q s m Q Q s m A V Q /03702.0/0145.0069.1/00896.0661.0/01356.073.2//03702.03153243233123111==========∴
例12：两水库以直径为d ，长为的管路相通，当水头为H 时，管中流量为。

今在管路中点处分成两个支管，支管直径亦为d ，在水头H 不变的情况下，管中流量为。

求该两种情况下的流量比
/。

解：如下列图，按长管计算。

225
22
2284212AlQ lQ d
πg λ
d πQ g d l λg V d l λh H f ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=== 第一种情况下，水头：
第二种情况下，水头： 2
2222⎪
⎭
⎫
⎝⎛'⋅+'⋅=Q l A Q l A H
28
5
Q Al '=
因水头H 未变，故：
265
.15/8/=='∴
Q Q
例13：圆柱环形轴承中轴的半径R=40mm ，轴与轴承之间的间隙，轴长L=30mm ，
轴转速n=3600r/min ，间隙中的润滑油的动力粘度μ=0.12 Pa ·s 。

求空载运转时的转矩和功率。

解：由于环形间隙远小于轴的半径，可以把这个环形间隙流动简化成有相对运动的两平行平板之间的间隙流动。

轴承简化为固定的下板，轴简化为运动的上板其速度为：U=R ω。

间隙内液体的压强梯度为零。

图
y h
R n y h R y h U u 602,πω===
速度分布为：故 作用在轴外表上的切应力为： Pa h
R
n dy du w 4106602⨯====πμμ
ττ m N R RL M w ⋅=⋅=1.182πτ转矩：
W n
M M P 5.682360
2=⋅
==πω功率：
第五章
例1：完全气体由大容器经一细长管流入大气，流动过程绝热。

不考虑粘性影响，求气体出流速度。

解： 这是理想可压缩流体的绝热定常流动问题，可把细管中流体看成是流线，用能
量守恒方程求解。

由此解出气体的出流速度为：
例2: 子弹在15︒C 的大气中飞行，已测得其头部马赫角为40︒，求子弹的飞行速度。

解： 28815273=+=T
s
m RT Ma c Ma u /2.529=⋅=⋅=∴γ
例3：空气在管道中作绝热无摩擦流动，某截面上流动参数为
T = 333 K ， p = 207 kPa ，u = 152 m/s ，求临界参数 T *、p *、ρ*。

解：绝热无摩擦流动就是等熵流动。

先求马赫数，再求 T *、p *、ρ* 。

a
np p =000
V ≈
对于空气： K)J/(kg 287⋅=R 4.1=γ
4155.0==
∴RT
u
Ma γ 8621.02
121
1//2
00=+-+
==∴
*
*γγMa T T T T T T K 08.287=∴
*T
5949.01
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∴
-**γγ
T T p p kPa 15.123=∴*p
3kg/m 4947.1==
∴
*
*
*RT p ρ 例4: 空气自大容器经收缩喷管流出，容器内流体压强 p 0 = 200 kPa ，温度 T 0 = 330 K ，喷管出口截面面积为 12 cm 2。

求出口外背压分别为 p b = 120 kPa 和p b = 100 kPa 时的喷管质量流量 Q m 。

解: 先判断背压是否小于临界压强。

对于空气 γ =1.4
5283.0121
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-*γγ
γp p 当 p b = 120 kPa ，p b /p 0 > p * /p 0，出口截面流动还未达到临界状态，所以流体压强等于背压，
即 p = p b 。

出口截面流体速度为: s m p p T c u p /300121
00=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-γγ 式中：K)J/(kg 5.10041
⋅=-=
γγR
c p 容器内气体的密度: 30
0kg/m 1117.2==
RT p ρ s kg p p T c p p A Q e p e e m /5279.0121
001
00=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴
-γγγ
ρ 当 p b = 100 kPa ，p b /p 0 = 0.5 < p */p 0，出口截面流动已达到临界状态，所以流体压强
等于临界压强，即 p e = p * 。

5283.0121
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-*γγ
γp p
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴
-γγγ
ρ1
001
0012p p T c p p A Q e p e e m s kg p p T c p p A p e /5340.0121
001
00=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-*
*γγγ
ρ 第七章
例1：流体流动的流速场为: u = ax ,v = by , w = 0，试判断该流动是无旋流还是有
旋流？
解： 021=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=
z v y w x ω 021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x w z u y ω 021=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=y u x v z ω 故流体流动是无旋流。

例2：对于平面流动，设面积A ´外的区域是无旋流动区。

试证明 包围A ´的任一条封闭曲线L 上的速度环量等于区域的边界曲线L ´上 的速度环量。

证： 如下列图，作割线并记割线两侧为ab 和a ´b ´。

显然，封闭曲线abcb ´a ´da 所围的区域是无旋流动区域，其速度环量 应为零，即：
0=⋅⎰''da
a b abc s d v
0=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰''
''
''da
a a
b b b
c ab
da
a b abc s d v s d v s d v s d v s d v 而：
由于ab 和b ´a ´ 是同一割线的两侧，而且积分方向相反，故： 0=⋅+
⋅⎰⎰
'
'a b ab
s d v s d v
0=⋅+⋅∴
⎰⎰''
da
a b bc s d v s d v ⎰⎰''
⋅-=⋅da
a b bc s d v s d v 即：
⎰⎰'
⋅=⋅∴
L L
s d v s d v
例3.不可压缩平面流动的流函数： xy y x y 23
23
+-=ψ 〔1〕求流速分量：
〔2〕流动是否无旋？假如无旋，确定其流速势函数。

解：〔1〕其流速分量为：
y xy y xy x v x x y y u 22)22( ,222-=+--=∂∂-=+-=∂∂=
ψ
ψ 存在。

故流动无旋，有势函数φx
v
y y u ∂∂==∂∂2)2(
dy y xy dx x x y vdy udx d )22()2(22-++-=+=∴
φ
)()2()(2
2
y c dx x x y y c dx u ++-=+=∴
⎰⎰φ)(3
23
2
y c x x x y ++-=
y xy v y c xy y
22)(2-=='+=∂∂φ
而：
y y c 2)(-='∴
c y ydy y c +-=-=∴
⎰22)(
)(3
223
2
等于零可令故，
c c
y x x xy +-+-=φ
例4： 设平面流动 (a) u = 1, v = 2； 流动 (b) u = 4x, v =-4y 。

〔1〕对于 (a) 是否存在流函数ψ ？假如存在，求 ψ 。

〔2〕对于 (b) 是否存在速度势函数ϕ ？假如存在，求 ϕ 。

解：〔1〕对于流动 (a) 有：
00=∂∂=∂∂y
v
x u
显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。

)2(2x y d dy dx udy vdx dy y
dx x d -=+-=+-=∂∂+∂∂=
ψψψ 积分后得到：ψ = y -2x (略去了积分常数) 。

〔2〕对于流动(b) 有：
0)
4(,0)
4(=∂∂=∂∂=∂-∂=∂∂y
x y u x y x v 021=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=∴
y u x v z ω 因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函数。

)22()4(422y x d dy y xdx vdy udx d -=-+=+=∴
φ
积分后得到： φ = 2x 2
-2y 2
(已略去积分常数)
例5: 理想不可压缩流体作平面无旋流动。

假设流场的复势是W(z) = az 2 ( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为 p 0，试求:(1) 上半平面的流动图案； (2) 沿 y = 0 的速度与压强。

解: 令 z = re i θ，于是: ()
)2sin 2(cos )(2222
θθθθ
i ar e ar re a z W i i +===
所以: θψθφ2sin ,2cos 22
ar ar ==
令 ψ = 0，得到零流线：
),2,1(2
,0 ±±==
=k k π
θθ及： 它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为 90°的直角区域。

流速为: θθθ2sin 2,
2cos 2ar v ar v r -==
在 y = 0 ( 即θ = 0 与 θ = π ) 上， .0,
2==θv ar v r
对坐标原点和 y = 0 上的任意一点( r , 0 )或者( r , π )列出伯努利方程。

ρ
ρ0
22)2(p p ar =+∴
于是得到 y = 0 上的压强分布为： ρ2
202r a p p -=
例6： y =0 是一无限长固壁，在 y = h 处有一强度为Γ 的点涡。

求固壁 y = 0 上的速度。

解：
)ln(2)(00z z i
z W z -Γ
=
π点：点涡在
)ln(2)ln(2)(ih z i
ih z i z W +Γ--Γ=
∴
ππ ()
2
2112h z h ih z ih z i dz dW iv u +Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--Γ==
-∴
ππ 令 y = 0 ，得固壁面上的流速分布：
()
2
2h x h
u +Γ=
∴π 0=∴
v
例7: z =d ，点汇 –Q ，z = -d ，点源 Q ，与均匀流 V ∞ 叠加。

求流函数和物面形状。

解: 叠加三个根本势流的流函数，得到：
()()
222224421d z r d z Q d z r d z Q r V ψ-+-⋅++++⋅-=∞ππ
令 ψ = 0，得到零流线方程：
()()
0442122222=-+-⋅++++⋅-∞d z r d z Q d z r d z Q r V ππ
代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。

显然，流函数Ψ = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。

这类卵形回转体也称为兰金〔Rankine 〕体。