江西省吉安市遂川中学2021-2022高二数学下学期第三次月考试题(理重).doc

江西省吉安市遂川中学2021-2022高二数学下学期第三次月考试题
（理重）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ,若P(>2)=0.023ξ,则P(-22)=ξ≤≤( )
A.0.477
B. 0.628
C. 0.954
D. 0.977
2.已知回归直线斜率的估计值为2.1，样本点的中心为(3,4),则回归直线方程为( )
A. 2.1 5.4y x =-
B. 2.1 2.3y x =-
C. 2.1 2.3y x =+
D. 2.3 2.1y x =-
3.直线3,14,
x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)与圆3cos ,3sin ,x y b θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)相切，则b =( )
A 46-或
B 64-或
C 19-或
D 9-或1
4. 把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是( ) A.1[,]i i n n - B.1[(),()]i i b a b a n n
--- C.1[,]i i a a n n -++ D.1[(),()]i i a b a a b a n n
-+-+- 5.若521)(x
x -
的展开式中含αx R α∈（）的项，则α的值不可能为( ) A. 5- B. 1 C. 7 D. 2
6.设1(3,)3X B ,31Y X =+,那么,EY DY 分别是( ) A ．3,2 B. 4,6 C.3,7 D. 6,7
7.记集合(){}22,|16A x y x y =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为( )
A.24ππ-
B.324ππ+
C.24ππ
+ D.324ππ- 8.若0,0x y >>，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ( )
A.112
B.3
C.92
D.4 9.一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所做的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入 土壤的深度成正比。

若第一次打击将木桩打入1米深，则第二次打入的深度为( )米
11
10.将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一
个骰子掷出3点”，则条件概率(/)(/)，P A B P B A 分别是( )
A.6091，12
B.12，6091
C.518，6091
D.91216，12 11.已知012201420152015201520152015201512320152016
C C C C C M =+++++。

,则M = ( ) A.201621- B.201622016 C.2015212015- D.2015
22015
，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
B .
C .
D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填写在试题的横线上 13
．1m I i
+（）= . 14.平面上有k 个圆，每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，设k 个圆把平面分成()
f k 个区域，那么k+1个圆把平面分成()f k + 个区域。

15.已知曲线32:,11cos 2R ρθθΓ=∈-
与曲线12:,x t C t R y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩相交于,A B 两点，又原点(0,0)O ，则OA OB =
16.若集合{}{
}4,3,2,1,,,=d c b a ，且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ； ④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
(1)已知100a b c d +++>，求证,,,a b c d 中，至少有一个数大于25；
(2)已知0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+
18.(本小题满分12分)
设函数()(,n)1n f x x =+,()
n N *∈.
(1)求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；
(2)若(,n)32f i i =(i 为虚数单位),求13579n n n n n C C C C C -+-+.
19.(本小题满分12分)
某学校为丰富教师的业余文化生活，准备召开一次趣味运动会。

在“定点投篮”这项比赛活动中,制定的比赛规则如下：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都在罚球线外同一位置依次投篮5次；若这5次投篮中，最后两次都投中，且前三次投篮至少有1次投中，则此人获奖，否则不获奖。

已知甲每次投篮命中的概率都为，且各次投篮结果互不影响。

(I)求甲在投篮比赛中获奖的概率；
(II)设甲在获奖的前提下在前3次投篮中命中的总次数为随机变量，求的分布列及数学期望。

20. (本小题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

圆1C ，直线2C 的
极坐标方程分别为4sin ,cos()4πρθρθ=-
= (1)求1C 与2C 的交点的极坐标；
(2)设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 的交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33,().12
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求,a b 的值。

21.(本小题满分12分)
在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1号~6号)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求
x 的分布列.
22．(本小题满分12分) 已知函数)ln ()(x x a x e x f x
--=.
（1）当0≤a 时，试求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围.
理数重参考答案
1-6：CBADDB 7-12:BDBAAD
13.14. 2k 15.
125
16. 6 17(1)证明：假设结论不对，即，，，a b c d 均不大于25， ……………2分
那么，25252525100++a b c d +≤+++=，这与已知条件矛盾. ……………4分 所以，，，，a b c d 中，至少有一个数大于25. ……………5分
(2)证法一 分析法
要证2233ab b a b a +≥+成立.
只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， ……………2分
又因0>+b a ， 只需证ab b ab a ≥+-22成立，
又需证0222≥+-b ab a 成立，
即需证0)(2≥-b a 成立 ……………4分
而0)(2≥-b a 显然成立. 由此命题得证。

……………5分
证法二 综合法
ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)( ……………2分 由0,0>>b a ，得0>+b a ，
∴)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+， ……………4分
∴2233ab b a b a +≥+成立。

……………5分
证法三 求差法
3322222()()()()()()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-+ ……………3分
∵0,0>>b a ，2()0a b -≥
∴2233ab b a b a +≥+ ……………5分
也可以用排序不等式证明。

18．解：(1)展开式中系数最大的项是第4项＝()3
33620C x x =； ………5分
(2)由已知，n (1)32i i =＋，两边取模，得n 32=，所以10n =. (8)
分
所以13579n n n n n C C C C C -+-+=135791*********C C C C C -+-+
而1001229910101010101010(1)
i C C i C i C i C i =+++++＋
()()0246810135791010101010101010101010C C C C C C C C C C C i =++++－－－－＋－32i =
所以.32910710510310110=+-+-C C C C C …………12分
19.解：解：（1）记甲在5次投篮中，投中k 次获奖的事件为5,4,3,=k A k 。

()()()
,,345345A A A P P A P A P A =
++两两互斥，则甲获奖的概率 ……1分 ()3P A =C 13
…..2分
……3分
……4分
……6分 （2）由题意，ξ的取值可以为1,2,3；记A 为“甲在一场比赛中获奖”
，
由（1
分
分 分 ξ∴的分布列为
分 20解：(1)由cos ,sin x y ρρθρθ===得，
圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=
直线2C 的直角坐标方程分别为40x y +-=
由22(2)4,40.x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得1212
0,2,4,2,x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以圆1C ，直线2C 的交点直角坐标为(0,4),(2,2) ………………4分
再由cos ,sin x y ρρθρθ===
，将交点的直角坐标化为极坐标(4,)24ππ所以1C 与2C
的交点的极坐标(4,)24ππ
………………6分 (2)由()I 知，点P ，Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)
故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+= ① ……………………8分
由于直线PQ 的参数方程为
33,().12
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数消去参数122b ab y x =-+ ② ………10分 对照①②可得1,21 2.2
b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得1, 2.a b =-= ……………………12分
21.解：设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C 表示“媒体丙选中3号歌手”，则
1344235523(1)55
C C P A P B C C ====（），（） 254)531(52)()()(=-⨯==∴B P A P B A P ………………5分
25361(2)()2
C P C C == ………………7分 X 可能的取值为0,1,2,3.
253)211)(531)(521()()0(=---===C B A P X P
(1)()()()
23123123119(1)(1)(1)(1)(1)(1)55255255250
P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯--+-⨯-⨯+-⨯⨯-= (2)()()()
23123123119(1)(1)(1)55255255250
P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
253
215352)()3(=⨯⨯===ABC P X P …………………………10分
X ∴的分布列为：
…………………………12分
22【解析】：（Ⅰ）
2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2e (1)(1)
x x ax x x ---=，
2(e )(1)
x ax x x --= ．
当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，
所以 '()0f x > ⇒1x >； '()0f x < ⇒ 01x <<0.
所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ．
（Ⅱ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解．
令'2(e )(1)
()0x
ax x f x x --== ⇒e 0x ax -= ⇒e x
a x = .
设e ()x
g x x = (0,1)x ∈,
所以 'e (1)()x x g x x -=, 当(0,1)x ∈时，'
()0g x <恒成立，
所以()g x 单调递减.
又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞,
即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,
所以 当e a >时，'2(e )(1)
()0x ax x f x x --== 有解.
设()e x H x ax =-，则 ()e 0x H x a '=-< (0,1)x ∈，
所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减.
因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<,
所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x .
所以有：
所以 当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一.
当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'
()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．
综上，a 的取值范围为(e,)+∞．。