北京市东城区2015届高三5月二模(数学文)
数学_2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷(文科)(含答案)
2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A (−3, 1]B (−3, 1)C [1, 2)D (−∞, 2)∪[3, +∞)2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为（）A −2B 1C 2D 43. “α=π3”是“cosα=12”的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A k≤11B k≤10C k≤9D k≤85. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A 4cm2B 12cm2C 8+4√2cm2D 4+4√2+2√3cm26. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）A −3B −2C −1D 07. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A 12B 14C 16D 188. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0−x2−2x+3,x>0，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A (−∞, −2)B (−∞, 0)C (0, 2)D (−2, 0)二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1表示的平面区域的面积为________．10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →|＝________．11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．（1）求C 的大小；（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. C7. B8. A9. 110. 511. n(5−n)212. 2√313. −4514. 3015.(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，整理得a n＝2a n−1，由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1(II)因为a n=2n−1，由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−11−2=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，即sin(B+C)＝acosC，即sinA＝acosC．由正弦定理可知：asinA =csinC=1cosC，由于c＝1，则sinC＝cosC，即tanC＝1，C是三角形内角，∴ C=π4．由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，得1＝a2+b2−√2ab，又ab≤a 2+b22，∴ (1−√22)(a2+b2)≤1，即a2+b2≤2+√2．当且仅当a＝b即A＝B=3π8时，a2+b2取到最大值为2+√2．17.(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O．又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D．(II)证明：因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．由(I)知BC⊥A1D．又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．又A1D⊂平面A1CD，所以平面A1BC⊥平面A1CD．(III)因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C．因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．所以V A1−BCD =V D−A1BC=13×12×6×8×6=48．18.(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，则f′(x)＝3x2−6x，由f′(x)>0，得x<0，或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1, 3]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈[1,3])，则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=56．所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，解得m ＝−2．所以椭圆W:x 26+y 22=1． 离心率e =ca =2√6=√63．(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．联立{y =k(x +3)x 26+y 22=1得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)． 因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)， 所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−121+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：∴ f(x)存在唯一的零点，又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，∴ 零点属于(3, 4)；由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，得：k <xlnx+xx−1，(x >1)，令ℎ(x)=xlnx+xx−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2=f(x)(x−1)2，设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，而3<ℎ(3)=31n3+32<4，83<ℎ(4)=41n4+43<4，∴ ℎ(x0)<4，∴ k的最大值是3．。
北京市东城区2015届高三二模考试语文试题(含答案)
北京市东城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习（二）语文本试卷共10页，共150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共10小题，共31分。
阅读下面的文字，按要求完成1-10题。
【材料一】中药命名的文化意蕴?厚朴?是一味中药。
中医药书称其因?本质朴而皮厚?得名。
但这看似简单的药名却实在不简单。
厚，是淳厚的厚；朴，是质朴的朴。
淳厚与质朴是中国人一向赞美的品德，巧妙地落在了一味药草上。
在数千种中草药中，有很多这样粗看自然质朴，细品却韵味十足的药名。
“百合”的意趣医圣张仲景的经典著作《金匮要略》中记录了这样一种病：患病者精神、饮食、行动皆异于常人，沉默少言，欲睡难眠，不思饮食，此为?百合病？。
中医认为这个病多由心神失养，或情致不调等引起。
治疗这个病常用?百合?为主药，以百合地黄汤为主方，在此基础上再根据病情及时调整。
那么，?百合?究竟是什么样子呢？说来没什么稀奇，罗大佑歌中的?野百合?和近年被阿宝唱响的?山丹丹?就是这味百合良药。
娇艳的百合花在山野蓬蒿．中亭亭玉立，其生于地下的鳞茎由近百块鳞瓣抱合而成，古人将其视为?百年好合?的吉兆，花也因此得名。
不过，治疗百合病的不是美丽的花朵，而是那抱合的鳞茎。
百合具有滋阴润肺、镇静安神之功效，在中医看来，精神、情绪上的问题，就要用?百合?去治。
因此，就有了百合病是?因以百合为主药才得名?的说法，百合也有了?因治百合病才叫百合?的另一种得名原因。
中草药中，像百合一样拥有美妙、独特的名字的还有很多。
比如《神农本草经》一书中将一种主治时疾寒热、内补不足的?玉竹?列为上品，但此草并非竹类，它还有个名字叫?葳蕤．．?，有华美之意。
不过，?玉竹?之名更雅。
李时珍说?其叶光莹像竹，其根长而多节？，故名玉竹。
药名的诗情比起西药以化学分析为起点命名的科学和理性，中药本草的命名则大都感性。
有的药名本身就极富诗意，成为可以寄喻．情思的对象。
2015年高考模拟试题三模试题_北京市东城区2015年高考第二次模拟考试数 学 试 题 (文科)
为 10 ，那么椭圆的离心率等于 A．
3 5
B．
4 5
5 4）D．3 4开始8．执行如图的程序框图，输出的 T = （ A．30 B．25 C．20
S 0,T 0,n0
D．12
x 2 y 8 9．若变量 x ， y 满足约束条件 0 x 4 ， 0 y 3
x
） D． 0 , 1 , 2 ）
C． 1 , 2
2．若函数 y f ( x) 是函数 y 2 的反函数，则 f (2) （ A． 1 B． 2 C． 1
D． 0 3．已知点 A(1,1) ， B (4, 2) 和向量 a (2 , ) ，若 a// AB ，则实数 的值为 （ A．
)
2
2
)
B． y sin( 2 x D． y cos( x
2
3
3
) )
1 正视图 2 1 2 1 侧视图
2
6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体 积为 ( )
俯视图
-1-
A．
1 2
B． 1
C．
3 2
D． 3
7．已知椭圆与双曲线
x2 y 2 1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 4 12
）
2 3
B．
3 2
C．
2 3
D．
3 2
）
4．已知数列 {an } 为等差数列，且 a1 2 ， a2 a3 13 ，则 a4 a5 a6 （ A．45 B．43 C． 40 ） D．42
5．下列函数中周期为 且为偶函数的是 （ A． y cos( 2 x C． y sin( x
北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学(理)试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.23sin()6π-=( )（A ）2- （B ）12-（C ）12（D ）2【答案】C 【解析】试题分析：根据题意23231sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以答案为C. 考点：1.诱导公式;2.常见角的三角函数值.2.设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >> 【答案】D 【解析】试题分析：根据对数函数的性质知：4414log 1,log 0,1a b c πππ=<=<=>，所以c a b >>，答案为D.考点：1.对数函数的单调性;2.对数比较大小.3.已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.4.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ） （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s < （C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >【答案】B 【解析】试题分析：根据题意甲，乙的平均数分别为：185x =和285x =，方差分别为：()()()()()()()()22222222211[79857885868585858585848591859285]8s =-+-+-+-+-+-+-+-=1758=；()()22221[778578858s =-+-()()()()()2222283858585858587859285+-+-+-+-+-+()22349385]8+-=；所以12x x =，12s s <，答案为B. 考点：1.茎叶图;2.平均值和方差.5.已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：若p q ∧是真命题，则p 为真命题，且q 为真，而p ⌝为假命题，所以“p q ∧是真命题”是p ⌝为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D. 考点：1.充要条件;2.含有逻辑联结词的命题的真假性.6.若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（ ）7 83 5 5 7 2 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8乙甲（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[- 【答案】D 【解析】试题分析：画出可行域，当6,1x y ==-时，z 取得最大值max 11z =；当时，z 取得最小值min 1z =-.答案为：D.考点：1.线性规划;2.最优解问题.7.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（ ）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015 【答案】A 【解析】试题分析：根据)()6(x f x f =+可知：()f x 是周期为6的周期函数，且()()()()()()()()1234561210101f f f f f f +++++=++-++-+=， ()()20156335513351336f f =⨯+=⨯+=，所以答案为A.考点：1.函数的周期性;2.利用函数的周期性求函数值.8.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011 【答案】C 【解析】试题分析：根据信息时的规则，中间三位是需要传输的信息，前后为生产信息. A.11010传输信息001102101,101,110h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，正确； B.01100传输信息001102110,110,000h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，正确； C.10111传输信息001102011,011,h 110h a a h a =⊕=⊕==⊕=⊕=，错误；D.00011传输信息，001102000,011h a a h h a =⊕=⊕==⊕=⊕=正确； 考点：1.创新题;2.推理.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】6,15考点：1.二项式系数和;2.二项式的同通项公式.10.已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：因为：0,0x y >>，由均值不等式得：22x y x y xy +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，令x y t +=，则240,4t t t -≥≥.考点：1.均值不等式求最值;2.还原法解不等式.11.若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．【解析】试题分析：将参数方程1232x ty t =-+⎧⎨=-⎩化为一般方程得：20x y +-=参数方程4cos sin x a y a θθ=+⎧⎨=⎩化为一般方程得：()2224x y a -+=(p ,q)若直线与圆有一个公共点，则圆心到直线的距离为a：d a ===考点：1.直线的参数方程化普通方程;2.圆的参数方程化普通方程;3.直线和圆的位置关系.12.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．【解析】试题分析：抛物线的准线方程为1x =-，又直线1x =-截双曲线的弦长为b ，则有222141b a b -=，解得：5a =. 考点：1.抛物线的定义;2.双曲线的标准方程.13.已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a的取值范围是 ． 【答案】⎛⎝⎦【解析】试题分析： 如图在ABC ∆中，若b a -与a 的夹角为120︒，则60B ∠=︒，又1b =，由正弦定理1sin 60sin a A =︒，则23sin ,0120,0sin 1a A A A =<<︒<<，所以：230,a ⎛∈ ⎝⎦.考点：1.向量的线性运算;2.三角形的正弦定理;3.三角函数值域.14.如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”． 给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】①②③考点：1.平面点和直线的位置关系;2.分类讨论思想.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数2sin 22sin ()sin x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ；最大值为（Ⅱ）()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ).【解析】试题分析：（Ⅰ）若原函数有意义，需满足分母不为零即sin 0x ≠，进而求得原函数的定义域，同时将原函数利用倍角公式化为一角一函数，进而求得其最值；（Ⅱ）利用换元法求得()f x 的单调增区间，同时注意其定义域{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ，进而求得其单调递增区间. 试题解析：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得x k k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x xf x x -=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分 （Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分考点：1.三角函数的定义域及最值;2.三角函数的单调递增区间.16.某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）415；（Ⅱ）X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得甲同学选中C 课程的概率和乙同学选中C 课程的概率，进而求得甲选中而乙未选中的概率为415；（Ⅱ）丙同学选中C 课程的概率为35，进而得到X 的可能取值为：0,1,2,3，进而求得各自的概率，得到其分布列和期望.试题解析：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：EFA()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分考点：1.相互独立事件的概率;2.事件的分布列和期望.17.如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ； （Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，BP =.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明CE ∥平面AGF ，需证明HG ∥CE （其中H 为CD 的中点，G 为DE 的中点）；（Ⅱ）根据勾股定理求得222BG BE GE +=，所以GB BE ⊥，利用面面垂直的判定定理得到GB ⊥平面BEFC ，所以；（Ⅲ）根据题意建立空间直角坐标系，进而求得平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，平面PGE 的法向量，进而利用公式及二面角P GE B --为45.求得2BP =.试题解析：（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点，所以HG ∥CE ．因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE =，2GE =，在△GEB 中，60GEB ∠=，BG ．因为222BG BE GE +=， 所以GB BE ⊥．因为侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，侧面BEFC侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45． 平面BGE 的法向量(0,0,1)=m ，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=，(,0)GE =．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GP GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩A令1z =，得y λ=，x =所以PGE的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ，所以112=，解得[]0,1λ=，故BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45，且2BP =. ………14分考点：1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的性质定理;3.空间向量. 18.已知函数()exf x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.【答案】（Ⅰ）当2=x 时，)(x f 有最小值为3；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用求导求得2'()1e xf x -=-，进而得到()f x 的单调性求得其最小值；（Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a .对原函数()f x 求导，进而对a 分情况，33330,,,0a a e e a e a e --≤≥<<<≤，得到对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立.试题解析：（Ⅰ）当2e a =时，2()exf x x -=+，]3,1[∈x ；因为2'()1e xf x -=-，由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分 （Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a .因为'()1e xf x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增， 所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=. 所以当0≤a 时命题成立.当0>a 时，由0)(='x f 得a x ln =. 则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：考点：1.利用求导判断单调性;2.分类讨论思想.19.已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x，且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，4e a ==，得到,,a b c 的方程，进而求得椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线AM 的方程为：y kx =，同时联立椭圆方程，由韦达定理进而求得222284(,)1414k k M k k -++，得到228(1)||||14k AM AN k +=+，同理得到222882||14k OP k +=+，进而结论得到证明.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知222,24,a b c c aa ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由 22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+． 所以222284(,)1414k k M k k -++．||AM =214k ==+．||AN ==228(1)||||14k AM AN k +==+．设直线OP 的方程为：y kx =．由 2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+． 所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+． 所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分考点：1.椭圆的标准方程;2.韦达定理.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(3)a a a =≠，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，n *∈N ．(Ⅰ)求证：数列{}n b 是等比数列；(Ⅱ)若1n n a a +≥，n *∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,, 2.n n n e b n =⎧=⎨≥⎩设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ) 12)3(-⨯-=n n a b ；(Ⅱ) a 的最小值为9-；（Ⅲ）没有“指数型和”.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意将原条件化简，得到12n n b b +=，进而利用等比数列的定义，证明数列{}n b 是等比数列；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，利用1,2,n n n a S S n n *-=-≥∈N ，得到数列{}n a 的通项公式，进而得到关于a 的不等式，求得a 的最小值；（Ⅲ）根据(Ⅱ)得到12-=n n b ，再对p 按奇偶性进行分类讨论，进而得到结论.试题解析：(Ⅰ) 因为111132332n n n n n n n b S S b ++++=-=+-=，n *∈N ，且3≠a ， 所以{}n b 是首项为3a -，公比为2等比数列．所以12)3(-⨯-=n n a b ． ………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得12)3(3-⨯-=-n n n a S ，1,2,n n n a S S n n *-=-≥∈N ．12,123(3)2,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩因为n n a a ≥+1，所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为9-． ………9分（Ⅲ）由(Ⅰ)当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，13242n nC -=++++12+=n ，31=C ，所以对正整数n 都有12+=n nC ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(,t p *∈N 且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．① 当p 为偶数时，np p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+pt 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--hg h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以np t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”． ………14分考点：1.等比数列的定义;2.通项公式;3.分类讨论思想.。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则{}12A x x =∈-≤≤Z {}420，，=B A B =（A ） （B ） {}02，{}420，，（C ）（D ）{}4,2,0,1-{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是(0+)∞， （A ） （B ） x y ln =3y x =（C ）（D ）3xy =xy sin =（3）设，则“”是“”的x ∈R 1x >21x >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）当时，执行如图所示的程序框图，3n =输出的值为S （A ） （B ） 68（C ） （D ）1430（5）已知，，则的值为3cos 4α=(,0)2απ∈-sin 2α（A ）（B ） （C （D ）3838-（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，某同学首先选定了与，不A B A B 共线的一点，然后给出了四种测量方案：（△的角，，所对的边C ABC A B C 分别记为，，）a b c①测量，， ②测量，， ③测量，， ④测量，，A C b a b C A B a a b B 则一定能确定，间距离的所有方案的序号为A B （A ）①②③（B ）②③④（C ）①③④ （D ）①②③④（7）已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为(1,3)=a (,23)m m =-b c ，则实数的取值范围是+λμ=c a b (,)λμ∈R m （A ） （B ） (,0)(0,)-∞+∞ (,3)-∞（C ）（D ）(,3)(3,)-∞--+∞ [3,3)-（8）已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△(1,0)M -(1,0)N (2)yk x =-P 是直角三角形，则实数的取值范围是MNP k （A ） （B ） 11[,0)(0,33- [,0)(0, （C ） （D ）11[,33-[5,5]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015年北京市东城区高三二模数学(文)试卷答案及解析
m2 m 0 m 0 ，解得： m 1 ，选 C
3．【答案】C 【解析】 把圆的一般方程 x 2 y 2 2 x 6 y 1 0 进行配方可得：
( x 1)2 ( y 3)2 9 ，所以圆心坐标为： (1,3) ，选 C
4．【答案】A 【解析】 先考察充分性：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 a1 = , 整理得 (n 1)(n 14) 0 ， 解得 1 n 14 . 故满足 Tn 1 0 的最大正整数为 13 . 19．【答案】见解析 【解析】 解： （Ⅰ）由已知可得 a c 2 ， b 2 3 ， 又 b2 a 2 c 2 12 ，解得 a 4 .
有图可知，可行域均在 y 轴及其左侧，所以， x 0 所以， z 2 x y ，转化为斜截式得： y 2 x z
第二届“易题库杯”命题大赛进行 ing
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由图可知，使得 z 取得最大值的最优解为： A(2, 1) 所以，
zmax 3 ，选 B
8．【答案】A 【解析】 易证四边形 EMFN 为菱形，过点 M 作 MH DD1 于 H ，所以
AM AE 1 . MC ED 2 PF AM 1 因为 FM P AP ，所以 . FC MC 2 1 所以 . 3
因为 EM P CD ，所以 （Ⅱ）因为 AP 2, AE 1, PAD 60o , 所以 PE 3 . 所以 PE AD . 又平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD I 平面 ABCD AD ,
记 ( x , y) 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
(a1 , a2 ) ， (a1 , a3 ) ， (a1 , b1 ) ， (a1 , b2 ) ， (a1 , b3 ) ， (a2 , a3 ) ， (a2 , b1 ) ， (a2 , b2 ) ， (a2 , b3 ) ， (a3 , b1 ) ， (a3 , b2 ) ， (a3 , b3 ) ， (b1 , b2 ) ， (b1 , b3 ) ， (b2 , b3 ) ，共 15 种.
北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1。
23sin()6π-=( ）（A)32-(B ）12- （C ）12 (D)32【答案】C 【解析】试题分析：根据题意23231sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以答案为C 。
考点：1。
诱导公式;2。
常见角的三角函数值。
2.设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ,b ，c 的大小关系是（ ）（A)bc a >> (B ）ac b >> （C ） a b c >>（D)b a c >> 【答案】D 【解析】试题分析：根据对数函数的性质知:4414log1,log 0,1a b c πππ=<=<=>，所以c a b >>，答案为D 。
考点：1。
对数函数的单调性；2.对数比较大小。
3。
已知{}na 为各项都是正数的等比数列，若484aa ⋅=,则567a a a ⋅⋅=（）（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}na 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知:248664,2aa a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B 。
考点:1.等比数列的性质；2。
等比数列的求值。
4.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数,12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（ ） （A ）12xx >，12s s < （B ）12xx =，12s s < （C)12xx =,12s s = （D)12xx <，12s s >【答案】B 【解析】试题分析:根据题意甲，乙的平均数分别为:185x=和285x =，方差分别为：()()()()()()()()22222222211[79857885868585858585848591859285]8s =-+-+-+-+-+-+-+-=1758=；()()22221[778578858s =-+-()()()()()2222283858585858587859285+-+-+-+-+-+()22349385]8+-=；所以12xx =，12s s <,答案为B.考点：1。
2015东城高三文科数学
否 是开始输入n2kS S =+ 1k k =+ 1,0k S ==输出 SS结束?k n ≤ 东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则AB =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C ）378 （D ）378-（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④AB（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是 （A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)(3,)-∞--+∞ （D ）[3,3)-（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33- （B ）33[,0)(0,]33- （C ）11[,]33-（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2015届高三第二学期综合练习(一) 数学文-推荐下载
北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 （文科）
本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
供“高中试卷网（）”
（B） (x , y) D ， x 2 y 2
（D） (x , y) D ， y 1
（B）
（D）
an1
an1
1 3
an
2 5
an
200
180
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（）”
6
个单位后所得图象对应的解析式为
若在区间[ 2 ， 3 ] 上方程 ax+2a f (x) 0 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范
围是________．
（14） C 是曲线 y 1 x2 (1 x 0) 上一点， CD 垂直于 y 轴， D 是垂足，点 A 的坐标是
甲组
90 9
21
（Ⅱ）从成绩不低于10 分且不超过 20 分的学生中任意抽取 3 名，求恰有 2 名学生在乙组的概
（16）（本小题共 13 分）
在△ ABC 中， sin A 3 cos A 2 ． （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）现给出三个条件：① a 2 ； ② B 45 ；③ c 3b ．
HLLYBQ 整理
1
（D）
6
（B） 3
（D） 5
，则下列命题中正确的是
（8）某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐，每星期一有 A ， B 两种菜可供选择．调查资料表明，
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学(文)试卷
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三综合能力测试数学（文）试卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
2015年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析
北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]- 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}AB x x =<≤。
故选B 。
2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D 【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词【难度】1 【答案】D 【解析】因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假， 则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A 【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2； 当n=3时，判断为是，直接输出s=1， 所以s 的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【考点】空间几何体的三视图 【难度】1 【答案】C 【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。
高三数学月考试题及答案-北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)文
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（ ）A.{}2B.{}01，C.{}34，D.{}0,1,2,3,4（2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.2（3）已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（ ） A.(1,3)-- B.(1,3)- C.(1,3) D.(1,3)- （4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.c a b <<（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （ ）A.3B.4C.5D.6（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（ ）A.13B.11C.3D.1（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A.23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈B.31,[0,),22 ()11,[,1].22x xf xx x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩C.22312,[0,],22 ()312(1),(,1].22x xf xx x⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩D.23()222f x x x=-++，[0,1]x∈第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015北京市东城区高三(一模)数 学(文)
2015北京市东城区高三（一模）数学（文）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）2．（5分）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x3．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣14．（5分）已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0 B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2 D．∃（x，y）∈D，y≤﹣18．（5分）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+180二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为．10．（5分）把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为．11．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k= ．12．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a4= ，a2015= ．x 1 2 3f（x） 3 2 113．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．14．（5分）C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）= ，f（θ）的最大值为．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．17．（14分）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．18．（14分）已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．19．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20．（13分）已知等差数列{a n}中，a1=5，7a2=4a4，数列{b n}前n项和为S n，且S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）把数列{a n}和{b n}的公共项从小到大排成新数列{d n}，试写出d1，d2，并证明{d n}为等比数列．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【解答】复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．2．【解答】双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．3．【解答】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．4．【解答】若直线a，b不相交，则直线a，b为异面直线或者为平行直线，故p是q的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为：P（3x﹣1＜0）=．故选：D．6．【解答】当a=1时，b=1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2，a=2；当a=2时，b=2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3；当a=3时，b=4满足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填a≤2，故选：A7．【解答】集合对应的平面区域如图：由图象知对应的区域在x+2y=﹣2的上方，y=﹣1的上方，x ﹣2y=0的上方和下方都有，x=2的左右都有，故满足条件的是x+2y ≥﹣2，故选：B8．【解答】依题意得，消去b n 得：a n+1=a n +150．故选：A ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】若A ⊊B ，必有1=2m ﹣1，解可得m=1，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1．10．【解答】把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为：y=sin2x11．【解答】如图所示，在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．12．【解答】∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1…，∴a n+2=a n，∴a2015=a1007×2+1=a1=3．故答案分别为：1；3．13．【解答】在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（﹣2，0）且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB==，k CA==，故实数a的取值范围是：，故答案为：14．【解答】如右图，连结CO，由图可知，θ∈[，），∵∠CAO=θ，∴∠COA=180°﹣2θ，∴点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin（180°﹣2θ））；即点C的坐标为（cos2θ，sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣cos2θ，故f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣cos2θ=﹣2cos2θ+2cosθ+1=﹣2（cosθ﹣）2+，故当cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为：2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．【解答】（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.8×5所以x=3，y=8；（Ⅱ）成绩不低于（10分）且不超过（20分）的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c）恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）所以概率为P==．16．【解答】（1）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．（2）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，∵A+B+C=π，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，∴S=absinC=×2×2×=+1．17．【解答】（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…（1分）∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．…（3分）又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE．…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．…（6分）∵，∴==．…（8分）（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．…（9分）证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG⊄平面ACD，∴OG∥平面ACD．…（10分）在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，OF⊄平面ACD，∴OF∥平面ACD，…（11分）∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．…（12分）18．【解答】（Ⅰ）∵x=1是的一个极值点，f′（x）=2﹣+，∴f′（1）=0，即2﹣b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，∴﹣，又∵x＞0（定义域），∴函数的单调减区间为（0，1]．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），∴，即2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣2=0，令h（x）=lnx+，，∴x=2．∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∵h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e2）=＞0，∴h（x）与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．19．【解答】（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，则，所以0＜|y0|≤因为△MF1F2面积为|y0||F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，△MF1F2面积有最大值．20．【解答】（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=5，7a2=4a4，∴7（5+d）=4（5+3d），解得d=3．∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2．∵数列{b n}前n项和为S n，S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．∴当n=1时，b1=2（b1﹣1），解得b1=2．b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，化为b n=2b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为2，∴b n=2n．11 / 12（II ）∵数列，∴当n为偶数时，T n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=+=．当n（n≥3）为奇数时，T n=T n﹣1+a n =+3n+2=++，经检验n=1时上式也成立．∴T n =．（III）由a n=3n+2，b n=2n．∴d1=8=a2=b3，d2=d2=a10=b5=32．假设d n=a m=b k=2k（k∈N*）．则3m+2=2k，∴b k+1=2k+1=2×2k=2（3m+2）=3（2m+1）+1不是数列{a n}中的项；b k+2=4×2k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，是数列{a n}中的项．∴d n+1=a4m+2=b k+2=2k+2，∴==4．∴数列{d n}为等比数列，首项为8，公比为4．12 / 12。
北京市东城区高三数学5月综合练习试题(二)文
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合{4}A x x =∈≤N ，{2}B x x =∈>N ，那么A B =I（A ）{3,4} （B ）{0,1,2,3,4} （C ）N （D ）R （2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（A ）10 （B ）12 （C ）13 （D ）16（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（A ）16 （B ）34 （C ）910 （D ）1112（4）已知A ，B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为 （A ）30x y +-= （B ）30x y -+= （C ）370x y +-= （D ）310x y --= （5）设a ，b 为实数，则“1ab <”是“10a b<<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数()()g x f x x =-是偶函数,且(3)4f =，则(3)f -=（A ）4- （B ）2-（C ）0 （D ）4（7）已知向量(cos ,sin )OA ββ=u u u r，将向量OA u u u r 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB uuu r(090)θ<<o ，则下列说法不正确的是（A ）OA OB OA OB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r（B ）2AB <u u u r（C ）OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r（D ）()()OA OB OA OB +⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r（8）如图，在边长为m 的正方形组成的网格中，有椭圆1C ，2C ，3C ，它们的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（A ）123e e e =< （B ）231e e e =< （C ）123e e e => （D ）231e e e =>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学(文)试题 含解析
第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1。
已知全集U =R ，集合{}012A =，，,{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（ )（A){}2 （B ）{}01， （C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】试题分析：根据题意及图像可知图中阴影部分为(){}0,1AC A B ⋂=，所以答案为B 。
考点：1。
集合的运算；2。
属数形结合. 2。
若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（ )（A ）1- （B ）0 （C)1 （D ）2【答案】C 【解析】试题分析：若复数2()i m m m -+为纯虚数，则必有200m m m ⎧-=⎨≠⎩解得：1m =,所以答案为C 。
考点:1.纯虚数的定义;2.解方程. 3.已知圆的方程为222610xy x y +--+=,那么圆心坐标为（ ）(A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- (C ）(1,3) （D ）(1,3)- 【答案】C 【解析】试题分析：将圆的方程化为一般方程为：()()22138x y -+-=,根据圆的标准方程知圆心坐标为()1,3，所以答案为：C 。
考点：1.配凑法；2。
圆的标准方程.4。
设点),(y x P ,则“1x =且2y =-"是“点P 在直线30l x y --=：上”的（ ） (A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.充要条件的判断；2。
点和直线的位置关系。
5.设0.8log0.9a =, 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ）（A)a b c << （B)a c b << （C)b a c << (D)c a b << 【答案】C 【解析】试题分析：根据对数函数的性质和指数函数的性质知：0.90.8 1.10log 0.91;log 0.90;1 1.1 1.1<<<<<,所以b a c <<，答案为C 。
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北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）（1）已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（A ）{}2 （B ）{}01， （C ）{}34， （D ）{}0,1,2,3,4（2）若复数2()i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（3）已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（A ）(1,3)-- （B ）(1,3)- （C ）(1,3) （D ）(1,3)- （4）设点),(y x P ,则“1x =且2y =-”是“点P 在直线30l x y --=：上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是C （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b <<（6）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（7）若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的最大值为（A ）13 （B ）11 （C ）3 （D ）1（8）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点,点M 是1BB 上的动点,过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =,平行四边形EMFN 的面积为S ,设2y S =,则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为正（主）视图（A ）23()222f x x x =-+，[0,1]x ∈ （B ）31,[0,),22()11,[,1].22x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩（C ）22312,[0,],22()312(1),(,1].22x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--+∈⎪⎩（D ）23()222f x x x =-++，[0,1]x ∈ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知抛物线22y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到抛物线的焦点F 的距离为 . （10）在△ABC 中，已知2,3a b ==， 那么sin sin()AA C =+ .（11）函数22(0)y x x x=+<的最大值为 . （12）若非零向量a ，b 满足+a b =-a b =2a ，则向量b 与+a b 的夹角为 .（13）设函数()cos f x x =，(0,2)x ∈π的两个的零点为1x ，2x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根3x ，4x ．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m = ．（14）如图,△ABC 是边长为1的正三角形,以A 为圆心,AC 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA 延长线于1A ，记弧1CA 的长为1l ；以B 为圆心，1BA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于2A ，记弧12A A 的长为2l ；以C 为圆心，2CA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC 延长线于3A ，记弧23A A 的长为3l ，则123+l l l += .如此继续以A 为圆心，3AA 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交1AA 延长线于4A ，记弧34A A 的长为4l ，，当弧长8n l =π时，n = .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心 角均为15，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外 完全相同)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.（16）（本小题共13分）已知函数)π322cos()3π2cos()(+++=x x x f ，()cos 2g x x =. （Ⅰ）若)2π,4π(∈α，且353)(-=αf ，求()g α的值； （Ⅱ）若x ]3π,6π[-∈，求)()(x g x f +的最大值.（17）（本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 上一点，四边形BCDE 为矩形，60PAD ∠=，PB =22PA ED AE ===.（Ⅰ）若()PF PC λλ=∈R ，且PA ∥平面BEF ,求λ的值； （Ⅱ）求证：CB ⊥平面PEB .（18）（本小题共13分）已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且12234,,2a a a 成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，1F 为左焦点，且12AF =，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆22+16x y =上（点,A B 除外），设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ,2k ，若1234k k =，证明：A ,P ,Q 三点共线．（20）（本小题共14分）已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）． （Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．北京市东城区2014-2015学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）252 （10）32 （11） 4- （12）6π（13）23-（14）4π 12 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：设顾客去甲商场，转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2r π（r 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为22142126S r r ππ=⨯⨯=.所以，2216()6rP A r π==π. …………………………5分 设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B ，记盒子中3个白球为1a ，2a ，3a ，3个红球为1b ，2b ，3b ，记(,)x y 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共15种.摸到的2个球都是红球有12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b ，共3种. 所以，()P B =31155=. …………………………11分 因为()()P A P B <，所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由)π322cos()3π2cos()(+++=x x x f 得()f x x x x x 2sin 232cos 212sin 232cos 21---=x 2sin 3-=. …………………………4分因为353)(-=αf ，即3532sin 3-=-α，所以532sin =α. 又因为)2π,4π(∈α，所以)π,2π(2∈α. 故542cos -=α，即54)(-=αg . …………………………7分 （Ⅱ）)()(x g x f +x x 2cos 2sin 3+-=)3π2cos(2+=x . 因为x ]3π,6π[-∈，所以]π,0[3π2∈+x . 所以当03π2=+x ，即6π-=x 时，)()(x g x f +有最大值，最大值为2. ………………13分 （17）（共13分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点M ，连接FM .因为PA 平面BEF ，平面PAC平面BEF FM =，所以FM AP . 因为EM CD ，所以12AM AE MC ED ==. 因为FM AP ，所以12PF AM FC MC ==. 所以13λ=. …………………………6分（Ⅱ）因为2,1,60,AP AE PAD ==∠=所以PE =所以PE AD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =,PE ⊥平面ABCD ，所以PE CB ⊥.又BE CB ⊥,且PE BE E =,所以CB ⊥平面PEB . …………………………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列， 所以12243a a a +=.整理得122a a =，即112a a q =，解得2q =.又414(12)512a S -==-，解得113a =. 所以1123n n a -=⨯. …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1a -1=3-,所以172+(1)()33n nb n -=-=-.n T 72+(13)3=26n n n n --⨯=. …………………………10分 所以由10n T ->，得[13(1)](1)06n n --->， 整理得(1)(14)0n n --<， 解得114n <<.故满足10n T ->的最大正整数为13. …………………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=，b =22212b a c =-=，解得4a =.故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(4,0)A -，(4,0)B .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--. 因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y +=，即22113124y x =-. 所以2112131234164PA x k k x -⋅==--.又因为1234k k =， 所以21PA k k ⋅=-. （1）由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥.所以21QA k k ⋅=-. （2） 由(1)（2）可得PA QA k k =． 因为直线PA ，QA 有共同点A ，所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分（20）（共14分）解：（Ⅰ）设()g x 在1x =处的切线方程为5y kx =-，因为21()37,(1)11g x x x g x''=++=， 所以11k =，故切线方程为115y x =-.当1x =时，6y =，将(1,6) 代入327()ln 2g x x x x b =+++， 得32b =． …………………………3分（Ⅱ）()2'35f x x x a =++，由题意得方程3232535x x ax b x x ax x +++=+++有唯一解， （Ⅲ）2()ln ,F x ax x x =--所以221'()x ax F x x-+=-.因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x -+=-=在),0(+∞上有根，即方程0122=+-ax x在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥.显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意； 所以方程必有两个不等正根．记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+21ln 14222-+-=a a >15ln 2- ,解得162>a ，满足0∆>.又1202ax x +=>，即0a >， 故所求a 的取值范围是),4(+∞． …………………………14分。