2020版高考数学理一轮总温习层级快练第六章数列作业41

专题层级快练(四十一)
(第一次作业)
1．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，假设S 1，S 2，S 4成等比数列，那么a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12
答案 D
解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 1
2－4a
1＋1＝4a 1
2－6a
1⇒a 1＝－1
2
.
2．(2019·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10
a 7＋a 8＝( )
A ．1＋ 2
B ．1－2
C ．3＋2 2
D ．3－2
2
答案 C
解析 因为a 1，12a 3，2a 2成等差数列，因此1
2a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，因此q 2＝1＋2q ，解得q
＝1＋
2或q ＝1－
2(舍)，因此a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8（1＋q ）
a 1q 6（1＋q ）
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2
2.
3．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，那么过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( ) A ．4 B.1
4 C ．－4 D ．－14
答案 C
解析 S 5＝5a 1＋5×4
2d ，因此5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.因此k PQ ＝a 4－a 24－3
＝2d ＝－4.
4．(2016·四川)某公司为鼓励创新，打算逐年加大研发资金投入．假设该公司2021年全年投入研发资金130万元，
在此基础上，每一年投入的研发资金比上一年增加12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()
A．2018年B．2019年
C ．2020年
D ．2021年
答案 B
解析 依照题意，知每一年投入的研发资金增加的百分率相同，因此，从2021年起，每一年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，因此a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，那么n>4.8，即a 5开始超过200，因此2019
年投入的研发资金开始超过200万元，应选B.
5．已知各项均不为0的等差数列{a n }，知足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，那么b 6b 8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
答案 D
解析 因为{a n }为等差数列，因此a 3＋a 11＝2a 7，因此已知等式可化为4a 7－a 72＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，因此b 6b 8＝b 72＝a 72＝16.
6．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，那么由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( ) A ．3n ＋4 B ．6n ＋2 C ．6n ＋4 D ．2n ＋2 答案 C
解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2， 那么d 1＝a 6－a 26－2＝84＝2，d 2＝b 6－b 26－2
＝12
4＝3.
∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.
∴数列{a n }为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{b n }为1，4，7，10，13，16，19，22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.
7．(2019·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有医生、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有医生、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分派，问各得多少．假设五只鹿的鹿肉共500斤，那么不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( ) A ．200 B ．300 C.500
3 D ．400 答案 B
解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a1，a2，a3，a4，a5，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，因此a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.
8．(2019·河南洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9
a 2＋a 3＝( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案 B
解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 42＝a 2a 8，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋7d)，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝3a 1＋12d
2a 1＋3d ＝3.
应选B.
9．(2019·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.301 0)( ) A ．1 631 B ．6 542 C ．15 340 D ．17 424 答案 B
解析 由2n <104，得n<4
lg2≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和S 1＝2×（1－213）1－2＝16
382；同理，数列{3n }在
1到
104之间的项共有
8项，它们的和S 2＝3×（1－38）
1－3＝9 840，∴|S 1－S 2|＝6 542.
10．(2019·温州十校联考)设数列{a n }和{b n }别离是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，那么以下结论正确的选项是( ) A ．a 2>b 2 B ．a 3<b 3 C ．a 5>b 5 D ．a 6>b 6
答案 A
解析 设等差数列的公差、等比数列的公比别离为d ，q ，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3
＝1，
解得⎩⎨⎧d ＝－1，
q ＝314，
那么a 2－b 2＝3－316>3－3
27＝0；应选A.
11．数列{a n }是等差数列，假设a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的持续三项，那么数列{b n }的公比为________． 答案 12
或1
解析 设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 32＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，整理得(a 1＋4d)d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d.当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4别离为－4d ，－2d ，－d ，因此等比数列{b n }的公比为1
2
.
12．(2019·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，那么至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
答案 4
解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1＝1
2，设操作n 次
后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ，那么a n ＋1＝a n ·12，∴a n ＝a 1q n －1＝(12)n ，∴(12)n <1
10
，解得n ≥4.
13．(2021·浙江)已知数列{a n }和{b n }知足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 答案 (1)a n ＝2n ，b n ＝n (2)T n ＝(n －1)2n ＋
1＋2 解析 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.
n ≥2时，b 1＋12b 2＋…＋1n －1b n －1＝b n －1和原递推式作差得1
n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，
因此b n ＝n(n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n·2n ，
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， 因此T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．
14．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q>0，n ∈N *. (1)假设a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线
x 2－
y 2
a n 2
＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 12＋e 22＋…＋e n 2. 答案 (1)a n ＝2n －
1(n ∈N *) (2)n ＋12
(3n －1)
解析 (1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减取得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1取得a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．
因此数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.
由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，
因此a 3＝2a 2，故q ＝2， 因此a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)可知，a n ＝q n －1.
因此双曲线x 2
－y 2
a n
2＝1的离心率e n ＝
1＋a n 2＝1＋q 2（n －1）.
由e 2＝1＋q 2＝2解得q ＝ 3.
因此e 12＋e 22＋…＋e n 2＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋
q 2n －1
q 2－1
＝n ＋12(3n
－1)．
15．(2019·衡水中学调研卷)假设某地域2021年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估量人口总数将发生如下转变：从2016年开始到2025年每一年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每一年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；
(2)假设新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，那么需调整政策，不然继续实施，问到2035年后是不是需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)．
答案 (1)⎩
⎪⎨⎪⎧0.5n ＋45，1≤n ≤10
50×0.99n －
10，11≤n ≤20 (2)不需要 解析 (1)由题意知，当n ≤10时，数列{a n }是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，因此a n ＝45.5＋(n －1)×0.5＝0.5n ＋45.
当11≤n ≤20时，数列{a n }是公比为0.99的等比数列，而a 11＝50×0.99，因此a n ＝50×0.99n －10.
因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5n ＋45，1≤n ≤10，
50×0.99n －
10，11≤n ≤20.
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，那么从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5(万)， 因此新政策实施到2035年人口均值为S 20
20≈48.63<49.
因此到2035年后不需要调整政策．
16．(2019·云、贵、川三省联考)设数列{a n }是公差大于0的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝9，且2a 1，a 3－1，a 4＋1组成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设数列{b n }知足a n b n ＝2n －
1(n ∈N *)，设T n 是数列{b n }的前n 项和，证明：T n <6.
答案 (1)2n －1 (2)略
解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，那么d>0.
因为S3＝9，因此a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3.
因为2a 1，a 3－1，a 4＋1组成等比数列， 因此(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)， 因此d ＝2.因此a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. (2)证明：因为a n
b n ＝2n －1(n ∈N *)，
因此b n ＝2n －12n －
1＝(2n －1)(1
2)n －1，
因此T n ＝1×(12)0＋3×(12)1＋…＋(2n －1)×(1
2
)n －1，①
因此12T n ＝1×(12)1＋3×(12)2＋…＋(2n －3)×(12)n －1＋(2n －1)×(1
2)n ，②
由①②两式相减得
12T n ＝1＋2×(12)1＋2×(12)2＋…＋2×(12)n －1－(2n －1)×(12)n ＝1＋1－（1
2）n －11－12－2n －12n ＝3－1
2n －
2－2n －12n ，整理化简得T n ＝6－2n ＋3
2n －
1.
又因为n ∈N *，因此T n ＝6－
2n ＋3
2n －1
<6.
(第二次作业)
1．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，那么m ∶n 的值为( )
A.1
4 B.12 C ．2 D ．4
答案 A
解析 设等比数列的公比为q ，由根与系数的关系，得1＋q ＋q 2＋q 3＝15，即(q －2)(q 2＋3q ＋7)＝0，因此q ＝2，现在m ＝q 2，n ＝q 4，故m ∶n ＝1∶4，应选A.
2．某林厂年初有丛林木材存量S 立方米，木材以每一年25%的增加率生长，而每一年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现通过两次砍伐后的木材的存量增加50%，那么x 的值是( ) A.S 32 B.S
34 C.S 36 D.S 38 答案 C
解析 [(1＋14)S －x](1＋14)－x ＝(1＋12)S ，x ＝S
36
.
3．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a ＋b ＋c 的值为( )
A.1 C ．3 D ．4
答案 A
解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝3
16
.故a ＋b ＋c ＝1，应选A.
4．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，……，依照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( ) A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68 D ．214－80 答案 B
解析 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每一个30分钟内进入的人数组成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数组成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n ＝n ，故上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4（1－210）
1－2－
10×（1＋10）
2
＝212－57.
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为( ) A ．9根 B ．10根 C ．19根 D ．29根
答案 B
解析 设堆成x 层，得1＋2＋3＋…＋x ≤200，即求使得x(x ＋1)≤400成立的最大正整数x ，应为19.∴200－19（19＋1）
2
＝10. 6．(2019·保定模拟)如下图，矩形A n B n C n D n 的一个边A n B n 在x 轴上，另外两个极点C n ，D n 在函数f(x)＝x ＋1
x (x>0)
的图像上．假设点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，那么a 2＋a 3＋…＋a 10等于( )
A ．208
B ．216
C ．212
D ．220
答案 B
解析 由B n (n ，0)，得C n (n ，n ＋1n )，令x ＋1x ＝n ＋1n ，即x 2－(n ＋1n )x ＋1＝0，得x ＝n 或x ＝1n ，因此D n (1n ，n ＋1n )，
因此矩形A n B n C n D n 的周长a n ＝2(n －1n )＋2(n ＋1
n )＝4n.因此a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.应选B.
7．(2019·河北教学质量监测)已知函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1(k ∈N *)，假设a 1＝16，那么a 1＋a 3＋a 5＝________． 答案 21
解析 由题意，得函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线方程是y －a k 2＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝1
2a k ，
即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，因此a k ＝16·(1
2)k －1＝25－k ，因此a 1＋a 3＋a 5＝
16＋4＋1＝21.
8．一种专门占据内存的运算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原
先的2倍，那么开机后通过__________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
答案 45
解析 依题意可知a 0＝2，a 1＝22，a 2＝23，…，a n ＝2n ＋1. 64MB ＝64×210＝216KB ，令2n ＋1＝216得n ＝15. ∴开机后45分钟该病毒占据64MB 内存．
9．一个数字生成器，生成规那么如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，那么数列{a n }的前n 项和S n ＝________；假设x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，那么T 4＝________． 答案 2n －1，10
解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n 1－2
＝2n －1.
当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1，4，第3次生成的数为1，2；－4，7，第4次生成的数为－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T 4＝10.
10．(2019·上海虹口区模拟)某市2018年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和操纵总量，从2018年开始，每一年电动型汽车牌照的发放量按50%增加，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
(1)记2018年为第一年，每一年发放的燃油型汽车牌照数组成数列{a n }，每一年发放的电动型汽车牌照数组成数列{b n }，完成以下表格，并写出这两个数列的通项公式；
(2)从2018答案 (1)a 3＝9，a 4＝8.5，b 3＝4.5，b 4＝6.75 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *
b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *
(2)229.25万张 解析 (1)
当1≤n ≤20且n ∈N *，a n ＝10＋(n －1)×(－0.5)＝－n 2＋21
2
；当n ≥21且n ∈N *，a n ＝0，
∴a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，
0，n ≥21且n ∈N *.
∵a 4＋b 4＝15.25>15，
∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，
6.75，n ≥5且n ∈N *.
(2)a 1＋a 2＋…＋a 20＝10×20＋20×192×(－12
)＝105，
b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋…＋b 20＝2×[1－（32
）4]
1－32＋6.75×16＝124.25.
∴从2018年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．
11．(2019·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝x
2＋sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为
{x n }．
(1)求数列{x n }的通项公式； (2)令b n ＝
x n 2π，设数列{1b n ·b n ＋1
}的前n 项和为S n ，求证S n <32.
答案 (1)x n ＝2nπ－2π
3
(n ∈N *) (2)略
解析 (1)f(x)＝x 2＋sinx ，令f′(x)＝12＋cosx ＝0，得x ＝2kπ±2π
3(k ∈Z )．
由f′(x)>0⇒2k π－2π3<x<2k π＋2π
3(k ∈Z )，
由f′(x)<0⇒2k π＋2π3<x<2k π＋4π
3(k ∈Z )，
当x ＝2kπ－2π
3(k ∈Z )时，f(x)取得极小值，
因此x n ＝2nπ－2π
3(n ∈N *)．
(2)因为b n ＝x n 2π
＝n －13＝3n －1
3，
因此1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3(13n －1－1
3n ＋2
)，
因此S n ＝3(12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2
)＝3(12－13n ＋2)＝32－33n ＋2，因此S n <32.
12．(2019·浙江镇海中学模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，其中a 1＝1，且a 2，a 4，a 6＋2成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，知足2S n ＋b n ＝1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若是c n ＝a n b n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，是不是存在正整数n ，使得T n >S n 成立？假设存在，求出n 的最小值；假设不存在，说明理由．
1
答案(1)a n＝n b n＝
3n(2)存在2
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依条件有a 42＝a 2(a 6＋2)，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d ＋2)，解得d ＝－1
2(因
数列各项均为正数，故舍去)或d ＝1，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n. 由2S n ＋b n ＝1，得S n ＝1
2(1－
b n )．
当n ＝1时，2S 1＋b 1＝1，解得b 1＝1
3
；
当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12(1－b n )－12(1－b n －1)＝－12b n ＋1
2b n －1，
因此b n ＝13b n －1，因此数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列，故b n ＝1
3n .
(2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n
3
n ，
因此T n ＝1×13＋2×132＋3×133＋…＋n ×1
3
n .①
在①式两边同乘13，得13T n ＝1×132＋2×133＋3×134＋…＋n ×1
3n ＋
1.②
由①②两式相减得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n ×13n ＋1，整理化简得T n ＝34－34×13n －n 2×13n ＝34－2n ＋34×1
3n .又因为
S n ＝13（1－1
3n ）1－
13＝12－12×3n ，
因此T n －S n ＝14－2n ＋14×1
3n .
当n ＝1时，T 1＝S 1，
当n ≥2时，14－2n ＋14×13n ＝1
4×3n [3n －(2n ＋1)]>0，
因此T n >S n ，
故所求的正整数n 存在，其最小值是2.
13．(2017·山东，理)是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)取得折线P 1P 2…P n
＋1
，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .
答案
(1)2n －
1
(2)（2n －1）×2n ＋12
解析 (1)设数列{x n }的公比为q ，那么q>0.
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，
x 1q 2－x 1q ＝2，因此3q 2－5q －2＝0.因为q>0，因此q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公比为x n ＝2n －1.
(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足别离为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.
由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）
2
×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，
因此T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1
）1－2
－(2n ＋1)×2n －1. 因此T n ＝（2n －1）×2n ＋1
2.。