浅谈结构地震反应分析中的阻尼问题

2、阻尼的特性
阻碍结构振动、使振动动能耗散的因素被统称为阻尼(Damping)。 在结构振动方程中具有质量 M、刚度 K，阻尼 C 等三要素。质量 M、刚度 K 都是确定的、可量 测的。而阻尼 C 是个特殊的量，很难有确切的指向。实际上，结构阻尼是个宏观量、综合量。可以 这么认为：所有阻碍振动持续的因素都可以归结为阻尼。 综合多种文献，产生结构阻尼的因素可以有如下多种： 1) 结构材料的内摩擦 (如混凝土微裂缝、钢筋相对滑移、结构主体与附属结构间的摩擦)； 2) 结构材料的迟滞效应 (如混凝土材料本身的粘滞性)； 3) 结构材料部分屈服导致的滞回耗能 (后文具体介绍) 4) 构件连接处的摩擦 (如钢构件的连接节点)； 5) 空气阻力； 6) 结构基础引起土体振动、以及振波在土体内的耗散。
T0 T0 T0 T0 T0 T0
T0 T0 T0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T0 T0 T0
T0 T0 T0
图 1、悬臂柱楼层地震力时程
图 2、3 列出 20 层、76 层超高层结构的层位移曲线，滤波现象更为突出。底层开始，即具有显 著的结构低阶振型的特征。只是 1 层尚有高频的轻微波动，到上部楼层高频波动基本被全部过滤消 除。 由此可见，由于结构存在滤波作用，不同振型的对结构振动反应的贡献不同。基本振型、低阶 振型起主要作用，高阶振型作用很小。 在此基础上，我们进一步分析高阶振型瑞利阻尼的影响。由前面分析可知，瑞利阻尼的与刚度
T 1 1
( T ) 1 M (m ) 1 和 1 (m ) 1 T M ，进一步得到 C M (m ) 1 c (m ) 1 T M M T M
j
cj m
2 j

2 j j mj
(11)
其中 为对角矩阵。 很显然，(11)式只适合(10)式中与质量相关的阻尼 Cm，不适用瑞利阻尼，因为该式中没有包含 刚度 K 的因素。如果采用类似的变换方法用刚度 K 替换其中的 M，也是不合适的，得到的 C 将是 一个非常大的值。(11)式是一个高度近似转换方法，在一些数值算例中，该方法结果与(7)式得到的 瑞利阻尼有数量级的差别，与(10)的质量相关阻尼也有数倍差异。
对于结构阻尼显式积分需要忽略9式中的刚度项阻尼只有与质量的比例关系即10式中第一项am由于忽略了阻尼的刚度项高阶振型或者地震波中的高频分量更多的参与振动作用位移和地震力的反应曲线包含更多的高频波动部分见图所示一五层位移曲线
——原文见《建筑结构》2015 年 12 月
浅谈结构地震反应分析中的阻尼问题
谢靖中 (上海佳构软件科技有限公司)
T
广义荷载。这样(4)式中 n 维多自由度结构，通过振型坐标转换，转化为(5)式中 n 个单自由度结构的 振动问题。 对于第 j 振型对应的单自由度振动方程(5)，定义如下变量，则可以得到与(3)式相同的方程并求 解。
2 j
kj mj
，
j
cj 2m j j
(6)
这里j 为对应于第 j 振型的阻尼比。结构弹性时程分析中的振型叠加法，即采用这种方法。
j c j q j k j q j f j (t ) mjq mj T j M j
1-7
( j 1,2 n)
(5)
cj T j C j k j T j K j
其中，m j 为针对振型 j 的广义质量，为单个数值，c j 广义阻尼，k j 为广义刚度， f j (t ) j F (t ) 为
5、瑞利阻尼的另外表达式
1-9
作者研究发现，当结构质量矩阵 M 为对角矩阵，且计算振型满足一定条件且精度足够时，针对 振型的广义质量 m j j M j 为常量，且为 1，有
T
m1 m2 m j mn ，且 1
由(7)式可得到瑞利阻尼更直接的表达式，
(12) (13)
6、结构的“滤波”作用，高阶振型阻尼的影响
结构有多阶振型，以及各振型相关的阻尼，由于振型阻尼的存在使得各阶振型在振动中的贡献 不同。与此同时，地震波也包含多个频率分量，可以看作是多个频率不同的简谐波叠加而成。作用 于建筑结构底部的地震波，在结构不同高度引起的振动反应是不同的。结构本身的振型特征、振型 阻尼，对作用于基底的地震波的沿结构高度的传播，部分频率的分量被耗散，部分频率的分量被放 大，这里称之为“滤波”作用。 这里通过具体的算例说明。设一个 15m 高悬臂柱，分五层，各层质点 1.0T，用振型叠加法计算 弹性时程反应。悬臂柱基本周期 0.693s，地震波特征周期 0.45s。采用瑞利阻尼，1=2=0.05，其它 振型阻尼比由(8)式计算。绘制各层地震力时程曲线，见图 1。很明显，底部 1~2 层包含地震波的高 频分量，随着楼层增高高频部分逐步被过滤，只剩下与悬臂柱基本频率相同的分量，3~5 层波峰的 间距正好是悬臂柱的基本周期 T0。(注：不同结构基本振型、地震波特征周期滤波的效果会有不同)
j j 1
对于一个给定的结构，其振型是确定的，已知 C 能确定。反过来，如果已知j，由(6)式可以的 到相应的广义阻尼 c j 。如果已知足够多的j，经由振型向量转换，可以得到结构整体的 C 矩阵，如 同振型叠加法时程分析中由十多个振型的广义位移 qj 得到整个结构的位移一样。在实际情况是，我 们所知道的振型阻尼比并不多，多数情况下仅对应基本振型的阻尼比(如混凝土结构的阻尼比 0.05)。由 有限的阻尼比确定整个结构的阻尼矩阵 C，需要另外补充一些条件。 在结构地震反应动力分析中，结构阻尼矩阵 C 与振型阻尼比j 的使用范围不同： 1) 采用振型叠加法时计算动力问题，使用振型阻尼比j。但仅限于结构弹性状态(小震)。 2) 采用直接积分法(显式和隐式积分)，使用阻尼矩阵 C。大震弹塑性时程计算均采用直接积分。
【摘 要】简要介绍结构地震反应分析所涉及到阻尼的概念和方法。指出阻尼是宏观统计量，所有引起振动能量耗散 的因素都属于阻尼。阻尼是结构的属性，而阻尼比与结构振型直接相关，瑞利阻尼通过附加条件建立起由振型阻尼 比得到结构阻尼的方法。指出在非线性动力时程分析中，构件滞回耗能相当于阻尼作用，而材料刚度退化与滞回耗 能的作用效果不同。显式积分、隐式积分中阻尼的需要采用不同的处理方法，显式积分中不宜包含阻尼的刚度分量。 多高层结构对地震波有滤波作用，影响大的是地震波的低频部分。
3、阻尼比，及阻尼比与阻尼 C 的关系
对于单自由度结构，由(1)式可知，阻尼比是阻尼 c 与质量 m 和刚度 k 的比值，体现阻尼作用 的相对大小。 对于多自由度结构，阻尼比j 总是与振型相关，体现了相同阻尼 C 在不同变形形态下对结构振 动的影响。也就是说，对于给定阻尼矩阵 C，不同振型j 的阻尼比j 值可能是不同的。(振型在一些 文献中也称为模态，振型阻尼称为模态阻尼)。根据模型试验和工程实测，一般认为，高阶振型的阻 尼比不小于低阶振型的阻尼比。
3、阻尼器件与结构阻尼的区别
工程中采用的减震阻尼器，生产厂家都提供了一个具体的阻尼值 c，标定该阻尼器在一定的两
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端速度差下产生的粘滞力。 而对于一个建筑结构而言，无法直接确定结构阻尼的具体数值，也无法确定阻尼在结构中的分 布，即不能直接得到(4)式中阻尼矩阵 C。一般通过模型试验、已建工程实测，得到结构的阻尼比， 再按照一定假定间接得到结构阻尼矩阵 C。 我们所熟悉的，是相关设计规范提供的结构阻尼比，如混凝土结构 0.05、钢结构 0.02，这些值 对应结构的低阶振型。
(2)
2x 2x x
对于 n 维多自由度结构，振动方程为：
f(x ) m
(3)
CX KX F( MX t)
其中 M、C、K 分别为为 nn 维质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，X、F 为 n 维向量。
(4)
如果已知该结构各阶振型 {1 , 2 j n } ，定义广义变量 q、并将位移 X 表示为变量 q 经由振型向量的坐标转换 X= q ，代入(4)式，则有
j
其中 m j 、 k j 的意义同(5)式。
am j bk j 2 j m j

1 1 (a b j ) 2 j
(8)
如果已知任意两个振型的阻尼比1、2，由(10)式可以确定常数 a、b 的值。
a
221 (1 2 2 1 ) 2( 2 2 1 1 ) ，b 2 2 2 2 1 2 12
c j a b 2 j
该式揭示了振型阻尼更一般的特征：与质量相关的部分为常量，与刚度相关的部分与振型频率的平 方成正比。 (13)式比(8)式更直观地表现了瑞利阻尼的特征。与质量相关的部分是一个恒定值，各振型值相 同。而与刚度相关的部分随频率增大急剧增大，对于高阶振型阻尼将是一个极大值，使得高阶振型 的广义阻尼很容易超过临界值而对结构实际振动不产生影响。
Cq Kq F (t ) Mq
T j T j T j T T j K j K j 。设阻尼矩阵 C 也满足振型正交性，则(a)成为：
(a)
用 其 中 一 个 振 型 左 乘 (a) 式 ， 由 振 型 针 对 质 量 、 刚 度 的 正 交 性 可 知 ， M M j ，
1、结构振动方程
为了便于后面介绍，这里列出系列基本方程。单自由度体系结构的振动方程为：
cx kx f( mx t)
其中 m 为质量，c 为阻尼，k 为刚度， f (t ) 为外加动荷载。定义圆频率 、阻尼比 为
(1)
2
则(1)式成为：
c c m k ， m 2m 2 k
结构地震反应分析中，与结构本身属性相关的是质量 M、刚度 K、和阻尼 C 等三要素(地震波是 外加作用)。质量 M 和刚度 K 是非常明确的物理量，可以通过试验等手段明确确定其值。但是阻尼 C 与前两者不同。除非单个的阻尼器件，结构的阻尼是无法直接量测的。不同于材料、荷载等可以 触摸的实体，我们无法确切知道阻尼在结构的什么位置、呈现何种形态。 而阻尼是结构地震反应分析中的重要因素，对分析结果产生影响。无论反应谱分析、动力时程 分析，以及拟静力推覆分析，阻尼的取值都影响计算结果。在隔震、减震结构中，得到结构的总体 阻尼(也称附加阻尼)是地震反应分析的一个目标。此外，有关阻尼的各方面问题，最终都落实到具体 结构分析计算中合时数值计算方法的选用，以及具体参数的取值上。因此了解阻尼的概念、范畴， 了解相关的数值方法，并了解阻尼对结构动力反应分析的具体影响，还是必要的。 本文结合相关文献资料，以及作者自身工程实践和数值计算中的体会，就结构地震反应工程应 用所涉及到阻尼各类问题，做一个简洁、全面的介绍。需要指出的是，阻尼问题涉及领域众多，国 内外多有深入研究，这里所讨论范围仅限于建筑结构地震动力反应相关的内容。
4、结构阻尼矩阵 C 的确定，瑞利阻尼
设计规范提供的结构阻尼比(混凝土 0.05、钢结构 0.02)，但结构动力计算需要使用完整的阻尼矩 阵 C(振型叠加法也需要利用 C 得到全部参与振型的j 值)。如前所述，需要一些附加条件。 结构阻尼矩 阵 C 一般假定为质 量 M 、或者刚度 K 成 一定比例 关系。典型是 瑞利阻 尼 (Rayleigh Damping)，阻尼 C 与质量、刚度成线形比例关系 (7) C aM bK 由振型正交性可以得到第 j 振型的阻尼比
(9)
再由(8)可以得到任意振型的阻尼比。 建筑结构相关规范给出了常见结构类型的阻尼比，例如混凝土结构为 0.05，刚结构为 0.02。可 以认为这些阻尼比对应结构的低阶振型。将结构第 1、第 2 振型频率代入(7~9) 式，就可以确定结构 的阻尼矩阵 C。 除瑞利阻尼外，还有仅与刚度、或仅与质量相关的比例阻尼
Cm aM ，或
Ck bK
(10)
瑞利阻尼的前提是假定阻尼与质量、刚度的线性比例关系，在一定程度上是近似。但是，我们 知道阻尼矩阵 C 本身就是“宏观、综合”的不确定量，由阻尼比反推阻尼矩阵本身就是一个近似过 程。从这个角度说，瑞利阻尼是理论上是完备的，与试验、实测也是吻合很好——“没有其它更好 的方法了” 。 瑞利阻尼提供了根据 1~2 个低阶振型的阻尼比确定阻尼矩阵 C 的途径。如果已知(或设定)多阶 振型的阻尼比，利用振型正交性，经适当转换仍可以得到。由 (5)式可得到 C ( ) c ，及