广东省深圳市高二数学上学期期中试题 文

广东省深圳市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．关于x 的不等式x x x 352
>--的解集是（ ） A.}1x 5{-<>或x x B.{5x 1}x x >-<或 C.}5x 1{<<-x D. {5x 1}x -<<
2．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）
A. 15
B.14
C. 13
D. 12 3．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．2
2
a b > B ．ac bc > C ．2
2
ac bc > D ．a c b c ->- 4．在ABC ∆中，45,60,1B C c =︒=︒=，则最短边的长等于（ ）
A ．
63 B ． 62 C ．1
2
D ．32 5．已知不等式2
230x x --<的整数解构成等差数列{}n a 的前三项，则数列{}n a 的第四项是( ) A. 3 B. －1 C. 2 D. 3或－1 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
18
5
B.
4
3
C. 23
D. 87
7．一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）
A. 63
B. 108
C. 75
D. 83 8．在⊿ABC 中，
B
C
b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ．直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 9．设等比数列{}a n 的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 2
＝( )
A ．2
B ．4 C.152 D.17
2
10．设关于x 的不等式：220x ax -->解集为M ，若2,3M M ∈∉，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3(,
)(1,)3-∞+∞U B ．3(,)3-∞ C ．3[,1)3 D ．3
(,1)3
11．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是 ( ) A ．15海里/时 B ．5海里/时 C ．10海里/时
D ．20海里/时
12．将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律,第100 行从左向右的第20个数为( ) A ．9941 B ．9901 C ．9911 D ．9939
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13. 不等式0)2)(3(>--x x 的解集是
14．等差数列}{n a 满足4,1262==a a ，则其公差d=_____________ 15．在ABC ∆中，043
45,22,B c b ===
，那么A ＝____________ 16．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则
① 此数列的公差d ＜0 ② S 9一定小于S 6
③ a 7是各项中最大的一项 ④ S 7一定是S n 中的最大值 其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号）
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. （本题满分10分）△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，
1cos 4
B =
．（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．
18. （本题满分10分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，已知a 2＝6,
6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .
19.（本题满分12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.
20.（本题满分12分）
已知不等式0322
<-+x x 的解集为A ，不等式0542
<--x x 的解集为B ． （1）求B A B A ⋂⋃,；
（2）若不等式02
<++b ax x 的解集为B A ⋂，求02
<++b x ax 的解集．
21.（本题满分12分）
已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1) 求a n 及S n ； (2) 令b n ＝1a 2
n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
22．（本题满分14分） 对于函数 )x (f ，若存在 R x ∈0，使 00x )x (f = 成立，
则称0x 为)x (f 的“滞点”。

已知函数f ( x ) = 2
22
-x x .
（1）试问)x (f 有无“滞点”？若有求之，否则说明理由； （2）已知数列{}n a 的各项均为负数，且满足1)1
(
4=⋅n
n a f S ,求数列{}n a 的通项公式；
（3）已知n
n n a b 2⋅=,求{}n b 的前项和n T ．
高二数学（文科）参考答案
1—5 ACDAD 6—10 DACCC 11—12 C D
13 {}
32><x x x 或 ；14 -2 ； 15 75° 或15° ； 16 ①②④ 17. 解：（1）由余弦定理，2
2
2
2cos b a c ac B =+-， ………………………………2分
得2
2
2
1
23223104
b =+-⨯⨯⨯
=， ……………………………………………３分 ∴10b =． …………………………………………………………………５分∴
(2)2
15
sin 1cos B B =-=
． …………………………………７分 根据正弦定理，
sin sin b c
B C
=
， ………………………………9分 得153sin 364sin 10
c B C b ⨯
===． …………………………10分 18．解：由题设得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝6，
6a 1＋a 1q 2
＝30.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，
q ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
q ＝3.
当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1
，S n ＝3 (2n
－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3
n －1，S n ＝3n
－1.
19. 解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=
3
2
, ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 ,
a·b=2, ∴c 2=a 2+b 2－2a·bcosC=(a+b)2
－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , S △ABC =12 absinC=12 ×2×32 =3
2
.
20. 解：（1）由0322
<-+x x 13<<-∴x 即}13{<<-=x x A ……2分
由0542
<--x x 51<<-∴x 即}51{<<-=x x B ……4分
}1{-1B <<=⋂∴x A ……5分 }5{-3B <<=⋃x A ……6分 （2）可知方程02
=++b ax x 的根是-1,1 ……7分 由⎩⎨
⎧-=⨯-==+-=-111011b a ⎩
⎨⎧-==⇒10
b a ……9分
012
<-=++∴x b x ax 即1<∴x ……10分
所以，不等式的解集为 }1{<x x ……12分 21. 解：析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝7，
2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，
于是a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1； (2) 由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝
1
a 2
n －1
＝12n ＋12
－1＝14·1n n ＋1＝14·(1n －1n ＋1
)， 于是T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1
n ＋1)＝
n
4n ＋1
， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝
n
4n ＋1
.
22. 解：（1）Θ)1(2)(2
-=x x x f 令,)(x x f = 分2ΛΛΛ
,022=-x x 得解得2,0==x x 或
即f(x)存在两个滞点0和2 分4ΛΛΛ （2）由题得)11(2)1(
42-=⋅n
n n a a S ，ΛΛΛ2
2n
n n a a S -=∴①分5ΛΛΛ 故ΛΛΛ2
1112+++-=n n n a a S ②
由②-①得2
21112n n n n n a a a a a +--=+++，0)1)((11=+-+∴++n n n n a a a a
0<n a Θ11-=-∴+n n a a ，即{}n a 是等差数列，且1-=d 分9ΛΛΛ
当n=1时，由122112
111-==-=a a a a S 得
n a n -=∴ 分11ΛΛΛ
(3)ΛΛΛΘn
n n T 223222132⋅--⋅-⋅-⋅-=③
ΛΛΛ143222)1(2322212+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅-=∴n n n n n T ④
由④-③得1
3222222+⋅-++++=n n n n T Λ
11122222
1)
21(2+++⋅--=⋅---=
n n n n n n 分14ΛΛΛ。